自爬升電梯導軌安裝機器人系統設計及誤差分析

付玉行，韓龍光，趙延治,* ，李 偉，余發國，賀 勇

(1.燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統重點實驗室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，河北 秦皇島 066004；3.廊坊精雕數控機床制造有限公司，河北 廊坊 065000；4.秦皇島齊二數控機床有限公司，河北 秦皇島 066004)

0 引言

電梯安裝最主要的一項工作是進行電梯導軌的安裝，電梯導軌安裝的質量將決定整個電梯的運行質量。目前，無論是國內還是國外，電梯本身生產與制造技術已日臻完善與成熟，但在電梯導軌安裝方面，即使全球著名品牌電梯公司，長久以來也一直依靠人工作業來完成安裝。近年來隨著電梯安裝行業勞動力成本高和危險性高引起的“用工難、用工荒”頻現，甚至出現無人安裝的境況，多年來一直延續的電梯導軌安裝人工作業模式，已成為嚴重制約電梯行業發展的痛點，亟待實現技術變革。

針對電梯巷道這一特殊作業環境，國內外許多學者對電梯導軌自動化設備進行了研究。楊付龍等[1]設計了一種導軌軌距及垂直度自動測量儀，使導軌檢測技術實現自動化；戚政武等[2]設計了一種電梯導軌攀爬機器人，該機器人可以實現電梯導軌的水平偏差、軌距偏差的監測；天津市特種設備監督檢驗技術研究院王璇等[3]設計了一種電梯導軌多功能檢測機器人，可實現導軌間距、導軌接頭處臺階、導軌支架距離及導軌垂直度等項目的自動檢測；迅達公司研發了電梯導軌機器人，該機器人可以在巷道壁打孔并放入膨脹螺栓，但整體導軌支架的安裝還是依靠人工進行。

導軌安裝最重要的是要保證導軌的安裝精度，導軌的安裝精度決定了電梯運行的效果，導軌安裝精度的研究屬于幾何誤差建模分析類問題，國內外已對此類問題擴展了系列研究，先后提出了D-H矩陣微分法[4]、矢量微分法[5]、指數積建模法[6]以及螺旋理論[7-8]等方法。其中D-H矩陣微分法應用最為廣泛，通過構建相鄰坐標系變換矩陣的乘積和微分運算，建立幾何誤差源與末端位姿誤差之間的映射關系。矢量微分法通過對空間閉環矢量方程做一階攝動，合成幾何參數誤差對應的微小位移矢量，進而獲得機器人幾何誤差的傳遞關系。

為了定量分析和對比幾何誤差源的影響程度，靈敏度分析法被廣泛應用到精度分析中。學者們分別根據誤差傳遞模型和誤差概率模型定義了多種形式的靈敏度指標。王鑫輝等[9]利用靈敏度分析法求解出3-PRR全柔順并聯機構的最佳構型和靈敏度。Caro等[10]通過分析Orthoglidc機構的靈敏度分析支鏈中同類誤差源對末端位置誤差影響。Cheng等[11]也采用該方法分析了多種并聯機構的誤差特性，根據分析結果確定零部件制造的公差等級。李官明等[12]針對一種含閉環支鏈的平面結構冗余并聯機構進行誤差敏感度分析，基于誤差模型,得到了評價機構誤差敏感度的指標。張吉旺等[13]以一種三自由度并聯機構為基礎,分析其位姿誤差并提出了補償誤差的方法。

經國內外調研發現，當前電梯導軌安裝機器人多針對電梯導軌安裝過程中的部分工序實現自動化，如垂直度檢測、軌距偏差測量、打孔及膨脹螺栓安裝，但能實現導軌及支架安裝過程中復雜工序，并且可保證垂向大行程、大載荷移動的機器人卻鮮有報道。因此，設計研發兼具多作業任務協同技術和垂向大載荷自行走技術的電梯導軌安裝機器人，已成為電梯安裝領域亟待解決的問題。

為解決當下人工安裝電梯導軌困難的問題，本文將傳統電梯導軌安裝流程與特種機器人技術相結合，針對電梯導軌安裝中具體需求與實際工藝流程，創新設計自升式電梯導軌安裝機器人系統，并對該系統機構的自由度、輸入選取和位置正反解等進行了分析。除此之外，分析了不同誤差源對導軌安裝精度的影響，找到了對導軌位置誤差影響較大的主要因素，為實現電梯導軌自動化安裝奠定基礎。

1 電梯導軌安裝機器人系統設計

為方便設備運輸，實現巷道內快速組裝，整體采用模塊化結構設計，本文設計的電梯導軌安裝機器人系統共分為4個模塊，分別是爬升模塊、下工作模塊、上工作模塊和運軌模塊，前三個相鄰模塊之間通過導向定位機構進行連接，運軌系統模塊通過卷揚機與機器人本體連接。爬升模塊用于爬升和整體固定，上、下工作模塊用于完成具體安裝作業任務，運軌模塊用于運輸待安裝導軌。電梯導軌安裝機器人機械系統方案如圖1所示。

圖1 電梯導軌安裝機器人機械系統方案Fig.1 System solution for installing robots on elevator guide rails

1) 爬升模塊由上層卷揚機和底層爬升模塊組成，卷揚機使機器人實現快速移動，底層爬升模塊實現機器人的精確定位，由伺服電機通過齒輪減速驅動絲母旋轉，伺服電機和絲杠可以保證機器人的爬升精度，使機器人實現垂向高精度移動；

2) 下工作模塊的功能是完成導軌提升、導軌接頭和下檔導軌支架的安裝，該模塊主要由夾軌裝置、焊接裝置、擰緊裝置、機架、下工作動平臺組成；

3) 上工作模塊的功能是完成井壁打孔、導軌固定、上檔導軌支架的安裝，該模塊主要由夾軌裝置、打孔裝置、擰緊裝置、機架、上工作動平臺組成；

4) 運軌模塊的功能是完成待安裝導軌的運輸,將地面安裝好支架的導軌運輸到機器人所在的位置，為機器人安裝提供原料。

電梯導軌安裝機器人系統整體方案示意圖如圖2所示，為更清晰地體現出各模塊之間的關系，其中擰緊、打孔等具體功能執行裝置未做示意。

圖2 電梯導軌安裝機器人整體方案示意圖Fig.2 Schematic diagram of the overall structure of the elevator guide rail installation robot

2 電梯導軌安裝機器人運動分析

2.1 電梯導軌安裝機器人機構簡化

將電梯導軌安裝機器人整體模型簡化，以單根導軌的安裝為例：當進行導軌安裝時，機器人整體框架固定在已安裝導軌上，故可以將機器人整體框架等效成靜平臺；兩個夾軌器分別固定于上下動平臺上的十字滑臺上，上下兩個動平臺可以沿Z軸移動，因此將上下兩個動平臺等效成沿垂直方向的兩個移動副，上下兩個動平臺上十字滑臺等效成兩個相互垂直的移動副；夾軌器夾持待安裝導軌進行位姿的調整，將待安裝導軌等效為剛體，兩個夾軌器夾持待安裝導軌等效成兩個萬向鉸；待安裝導軌由兩個分支夾持進行安裝作業，故將待安裝導軌等效成動平臺，機器人夾持待安裝導軌構成兩個閉合回路，因此電梯導軌安裝機器人單根導軌安裝等效為一個兩分支并聯機構2-PPPU。該并聯機構兩個分支為：分支一：上動平臺-十字滑臺1-夾軌裝置-待安裝導軌；分支二：下動平臺-十字滑臺2-夾軌裝置-待安裝導軌。等效機構如圖3所示。

通過分析機器人安裝導軌過程，可以看出整個電梯導軌安裝的精度與每根導軌的安裝位置有關系，而四根待安裝導軌使用同一個機器人安裝，四根導軌之間會相互影響，電梯整體的安裝精度由四根導軌的安裝精度共同決定。因此，在分析導軌安裝時將四根待安裝導軌等效成并聯機構動平臺，已安裝導軌為固定平臺，固定平臺與運動平臺之間由四個分支連接，每個分支由2-PPPU并聯機構組成。該機器人導軌安裝等效機構如圖4所示。

圖3 電梯導軌安裝機器人機構簡圖Fig.3 Schematic diagram of elevator guide rail installation robot mechanism

圖4 電梯導軌安裝機器人等效機構Fig.4 Elevator rail installation robot equivalent mechanism

2.2 自由度分析與輸入選擇

1) 自由度計算

建立如圖5所示的坐標系O-XYZ，對該并聯機構使用運動螺旋進行分析，各分支螺旋及坐標系如圖5所示。

圖5 電梯導軌安裝機器人機構運動螺旋Fig.5 Elevator guide rail installation robot mechanism motion spiral

根據螺旋理論[14]，第i(i=1,2)分支運動螺旋系為

對支鏈i的運動螺旋系求反螺旋，得到其約束螺旋系為

2) 輸入選擇

電梯導軌安裝機器人有兩個分支，共有5個自由度，實際工作時選取一個分支的3個移動副和另一個分支的兩個移動副為驅動副，兩個支鏈中的運動副輸入耦合，對兩個分支的輸入選擇進行討論，驗證驅動副的選取是否合理[15]。

將分支一的3個移動副鎖死，分支一對動平臺所有的約束反螺旋為

a) 當分支二Z、Y軸驅動副鎖死后，分支二對動平臺的總的約束反螺旋為

則兩個分支對動平臺總的約束反螺旋系為

通過計算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

b) 當分支二Z、X軸驅動副鎖死后，分支二對動平臺總的約束反螺旋為

則兩個分支對動平臺總的約束反螺旋系為

通過計算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

c) 當分支二Y、X軸驅動副鎖死后，分支二對動平臺總的約束反螺旋為

則兩個分支對動平臺總的約束反螺旋系為

通過計算可得dim($r)=6，所以選取的輸入較為合理。

三種輸入方式都可以滿足自由度輸入，根據實際應用情況輸入加載的方便性，選取分支一的3個移動副和分支二X和Y軸的移動為輸入副。

2.3 2-PPPU并聯機構位置分析

2.3.12-PPPU機構坐標系

2-PPPU并聯機構的模型及坐標系的建立如圖6所示：機器人框架上建立并聯機構基坐標系O-XYZ，在待安裝導軌上建立動坐標系P-xyz，其中P點位于待安裝導軌底端中心，Z軸沿待安裝導軌長度方向，Y、X與定坐標系相應的軸線平行。兩個分支分別由X、Y、Z三個方向的移動副和一個虎克鉸組成。A1、B1、C1、D1分別為分支一運動副的中心，A2、B2、C2、D2分別為分支二運動副的中心。

圖6 2-PPPU機構坐標系Fig.6 Coordinate system of 2-PPPU mechanism

2.3.2位置正反解

設動平臺繞X軸轉動α繞Y軸轉動β，此時動平臺相對定平臺的姿態變換矩陣為

R=R(x,α)R(y,β)=

通過姿態變換矩陣建立D1點在不同坐標系下的關系：

oD1=RpD1+oP，

(1)

通過構型分析，可以得到

(2)

聯立以上兩式，可以得到

對上式矩陣計算可得分支一的輸入表達式

通過D2點建立在不同坐標系下的關系：

oD2=RpD2+oP，

(3)

通過構型分析，可以得到

聯立上式可以得到方程組

綜上，已知動平臺位姿時，可以得到并聯機構2-PPPU反解為

(4)

通過式(4)可知，已知末端位置，可求出并聯機構唯一的輸入驅動變量。

根據2-PPPU結構可得兩個分支與動平臺的鉸接點OD1、OD2在定坐標系中的坐標分別為

根據點OD1、OD2可以求出過兩點的直線方程為

(x-d3-l1)/(d5-d3)=(y-d2)/(d4-d2)=

(z-d1)/(l-d1)。

設動平臺坐標原點坐標

則可得

由上式可得到正解：

2.3.3位置正反解驗證

給定2-PPPU機構的初始位姿，假設該機構兩個分支移動副與定坐標系之間的距離l10=3 200 mm、l20=700 mm，h1=2 750 mm、h2=250 mm，l0=690 mm。假設機構動平臺參考坐標點沿某一運動軌跡進行位姿變換，給定動平臺運動軌跡為

(5)

通過式(5)中給定的動平臺運動軌跡方程求出在給定動平臺位姿軌跡時各驅動的大小，圖7為計算出的各驅動隨時間變化曲線，可根據該曲線進行機器人運動的控制。

圖7 機器人位置反解Fig.7 Inverse solution of robot position

2.4 多根導軌安裝運動分析

在巷道全局坐標系下，假設巷道不同高度待安裝導軌參考點位姿滿足函數關系：

F(x,y,z,α,β,H)=0，

(6)

式中，H為巷道高度，x、y、z、α、β分別為當前高度待安裝導軌理想安裝位姿坐標。

初始狀態時已安裝導軌固定在巷道墻壁上，導軌安裝機器人沿已安裝導軌向上爬升H固定在已安裝導軌的端部，導軌安裝機器人夾持待安裝導軌進行安裝對接。理想狀態下，電梯導軌安裝機器人夾持待安裝導軌在空間內運動，使待安裝導軌滿足理想安裝位姿公式(6)，同時保證待安裝導軌下端面陰榫與已安裝導軌上端面陽榫對接。當完成當前導軌安裝后，機器人整體向上爬升到已安裝導軌固定位置進行下一根導軌的安裝。以此類推完成巷道導軌的安裝。

對單根導軌連續安裝進行分析，首先建立全局坐標系M-XYZ，Z軸沿巷道軸線豎直向上，X軸與兩側轎廂導軌連線平行方向指向右側轎廂導軌，Y軸方向按右手法則確定。每一根待安裝導軌固連一個坐標系Pi-xyz，如圖8所示。

圖8 連續導軌安裝示意圖Fig.8 Schematic diagram of continuous rail installation

在機器人進行導軌安裝時，機器人框架坐標系{O′}固定在機器人框架整體的底面，其坐標軸方向與巷道整體坐標系方向相同。待安裝導軌固定在已安裝導軌上，當安裝第i根導軌時，可得

人工首先安裝基準導軌，記做第0根導軌。當安裝第i根時，已知巷道參數：

Fi(xi,yi,zi,αi,βi,Hi)=0

激光測距儀和陀螺儀測得此時框架整體的位姿參數為Oi(xi′,yi′,zi′,αi′,βi′,0)，由于機器人整體沿四根導軌豎直向上爬升，Z方向的旋轉誤差幾乎不存在，不考慮框架繞Z軸的旋轉，則

根據式(7)可以得第i根導軌相對于機器人框架的位姿矩陣：

3 電梯導軌安裝機器人誤差建模

3.1 機構坐標系

使用矢量法建立機構運動學誤差模型，首先建立坐標系，如圖9所示，機構靜坐標系{O}坐標原點O位于已安裝導軌底端，動坐標系{O′}坐標系原點O′位于待安裝導軌底端，對于分支i(i=1,2)，Ai為桿一在Z軸移動副的初始位置，同時也是坐標系{Ai}的坐標原點。在理想狀態下，{Ai}各坐標軸與機構靜坐標系的坐標軸方向相同，RAi為坐標系{Ai}相對于靜坐標系的姿態變換矩陣，Bi點為桿二移動副的中心點，以此點建立坐標系{Bi}，在理想狀態下，坐標系各坐標系的坐標軸方向與機構相應的坐標軸方向相同。RBi為坐標系{Bi}相對于坐標系{Ai}的姿態變換矩陣，Ci為桿三移動副原點，以此點為原點建立坐標系{Ci}，坐標系各軸方向與機構相應的坐標軸方向相同，Di為桿三與動平臺的鉸接點。

3.2 導軌安裝綜合誤差建模

由圖9可知該并聯機構存在兩個矢量閉環，分支一的矢量閉環如圖10所示。

圖9 2-PPPU并聯機構坐標系Fig.9 2-PPPU parallel mechanism coordinate system

圖10 分支一矢量鏈閉環Fig.10 Branch-vector chain closed loop

RAi=R(X,θAix)R(Y,θAiy)R(Z,θAiz)=

其中，θAix、θAiy、θAiz為坐標系{Ai}相對于坐標系{O}繞X軸、Y軸和Z軸的轉動角度，轉動角度誤差為δθAix、δθAiy、δθAiz，桿一驅動桿長為li1，桿長誤差δli1。

RBi=R(X,θBix)R(Y,θBiy)R(Z,θBiz)=

其中，θBix、θBiy、θBiz為坐標系{Bi}相對于坐標系{Ai}繞X軸、Y軸和Z軸的轉動角度，轉動角度誤差為δθBix、δθBiy、δθBiz，驅動桿長為li2，桿長誤差δli2。

桿三做直線運動的方向為ei3，其理論位置與實際位置的存在一定的偏差，導軌沿X軸做直線運動，向量修正的位姿變換矩陣

RCi=R(X,θCix)R(Y,θCiy)R(Z,θCiz)=

其中，θx、θy分別為動平臺繞X軸和Y軸的轉動角度。

根據上述建立的坐標系和假設變量，建立分支i的矢量閉環方程。

對第i個閉環矢量方程兩端進行微分可得

dli1RAiei1+li1dRAiei1+dli2RAiRBiei2+

li2dRAiRBiei2+li2RAidRBiei2+dli3RAiRBiRCiei3+

li3dRAiRBiRCiei3+li3RAidRBiRCiei3+

li3RAiRBidRCiei3+dli4wi+li4dwi=dPi+dRai+Rdai,

對于任意姿態變換矩陣R有δR=ΔR×R，其中：

令

分別為旋轉誤差向量，則可以得到

dRAi=δθAi×RAi,dRBi=δθBi×RBi,

dR=δθ×R,dRCi=δθCi×RCi，

li1(RAiei1×wi)T+li2(RAiRBiei2×wi)T+li3(RAiRBiRCiei3×wi)T

考慮兩個分支，令

則可以得到

(7)

式(7)表達了零部件誤差與動平臺姿態誤差之間的傳遞關系，由于兩個分支結構對稱，假設各分支中相同零部件的制造誤差相等，于是在F中只有8個元素獨立。

(8)

式(8)即為2-PPPU并聯機構運動學誤差模型，從上式中可以看出該并聯機構共包含26項誤差，動平臺的誤差影響因素為：各移動副驅動桿長δl、移動副軸線偏差δθi和動平臺與連桿鉸接點的位置誤差向量δai。

3.3 機器人誤差分析

由誤差表達式可以看出機構末端位姿誤差與機構驅動桿長誤差有很大的關系，通過對驅動桿長誤差規律進行仿真，得到了驅動桿長誤差對末端位姿誤差的影響規律，本節主要討論驅動桿長變化對機器人末端輸出誤差的影響。

當不考慮移動副軸線偏轉誤差，即δθA1=δθB1=δθC1=δθA2=δθB2=δθC2=0時，設定零點誤差(初始位置沒有回歸零點的誤差)分別為(假設各零點誤差均為正)：

δl11=2.5,δl12=1,δl13=1.5，

δl22=1.2,δl23=1。

給定每個輸入軸運動函數為

考慮各移動副軸線誤差對動平臺輸出誤差的影響，在給定輸入的情況下，討論不同軸線角度誤差對動平臺的輸出影響進行探究，繪制如圖11所示曲線。

圖11(a)、(b)分別表示輸入誤差對X軸、Z軸的位置誤差。除此之外，輸入誤差對Y軸的位置誤差以及對各軸線的末端角度輸出誤差影響較小，在實際安裝過程中不受影響。

當不考慮驅動誤差時，討論各移動副軸線偏角誤差對末端位姿的影響。通過MATLAB仿真計算得到3個方向的轉角誤差對末端誤差的影響。討論Z向導軌軸線偏角誤差對末端位姿的影響。假設δθA1y=0.2°,δθA1z=0.3°，考慮導軌X方向誤差對末端位姿的影響，如圖12(a)、(b)所示；令δθA1x=0.1°,δθA1z=0.3°，考慮導軌Y方向轉角誤差對末端位姿的影響,如圖12(c)、(d)所示；令δθA1x=0.1°,δθA1z=0.3°考慮導軌Z方向轉角誤差對末端位姿的影響，如圖12(e)、(f)所示。

圖11 驅動誤差對末端位姿的影響Fig.11 The influence of drive error on end pose

圖12 動平臺軸線誤差對末端位姿的影響Fig.12 Influence of axis error of moving platform on end pose

考慮Y向導軌軸線偏角誤差對末端位姿的影響，假設δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°考慮導軌X方向偏角誤差對末端位姿的影響，如13(a)、(b)所示；令δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°考慮導軌Y方向偏角誤差對末端位姿的影響，如圖13(c)、(d)所示；令δθB1x=0.1°,δθB1z=0.3°；考慮導軌Z方向偏角誤差對末端位姿的影響，如13(e)、(f)所示。

考慮X向導軌誤差對末端位姿的影響。令δθC1y=0.2°,δθC1z=0.3°考慮導軌X偏角誤差對末端位姿的影響，如圖14(a)、(b)所示；令δθC1x=0.1°,δθC1z=0.3°考慮導軌Y軸偏角誤差對末端位姿的影響，如圖14(c)、(d)所示；令δθC1x=0.1°,δθC1z=0.3°考慮導軌偏角誤差對末端的影響，如圖14(e)、(f)所示。

圖13 Y向導軌軸線誤差對末端位姿的影響Fig.13 The influence of Y-direction guide axis error on end pose

圖14 轉角誤差對末端位姿的影響Fig.14 The influence of angle error on end pose

當分別給定3個移動副軸線偏角誤差，討論每個移動副軸線偏角誤差對末端位置和姿態的影響，通過以上曲線可以看出，各移動副軸線誤差對末端位姿的影響隨誤差的變化成線性變化。從各曲線變化范圍可以看出，軸線偏轉誤差對末端姿態的影響較小，但對位置的影響較大，為后續誤差補償提供了方向。

4 結論

將傳統電梯導軌安裝流程與特種機器人技術相結合，針對電梯導軌安裝中具體需求與實際工藝流程，設計了具有多作業任務的機器人作業單元本體實現方案和垂向大載荷安裝機器人自爬升方案，可代替傳統人工安裝實現電梯導軌的自動化安裝。將設計的電梯導軌安裝機器人簡化為2-PPPU并聯機構，并對該并聯機構自由度、輸入選取和位置正反解等進行了分析，得到了等效動平臺的運動規律，為機器人的運動控制提供了參考。采用矢量法構造出2-PPPU并聯機構誤差模型，分別分析了驅動桿長誤差、移動副軸線偏轉誤差對導軌安裝末端位姿的影響，結果表明移動副軸線偏轉誤差對導軌位置的影響較大，為后續的誤差補償提供了理論參考。