基于FOPI+FOPD控制器的單區域電力系統頻率控制及電壓調節

崔明勇，曹 朋，朱大偉，唐英干，陸 瑤，呂 靜

(1.燕山大學 河北省電力電子節能與傳動控制重點實驗室，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004；3.呼和浩特市城市燃氣熱力集團有限公司，內蒙古 呼和浩特010020)

0 引言

電力系統頻率與電壓穩定是衡量電能質量的標準，較小的頻率偏差和良好的端電壓響應是可靠電源的特征。有功功率需求的變化影響頻率，而無功功率的變化影響電壓。自動發電控制單元包含負荷頻率控制與自動電壓調節，其中負荷頻率控制是保持頻率偏差在規定范圍內；自動電壓調節是通過控制勵磁電壓將同步發電機的端電壓保持在規定的水平[1-2]，故上述兩方面的研究對提高電力系統的穩定性起著至關重要的作用。

隨著互聯電網的發展，電力系統對電壓和頻率質量的要求越來越高，選擇一個性能可靠的控制器顯得尤為重要，控制器的選取涉及到兩方面的內容，即控制器結構的選取與控制器參數的獲取與調整。傳統的PID控制器結構簡單，易于實現，控制效果較理想，所以在相關控制領域中得到了廣泛的應用。但是由于實際電力系統通常具有非線性、時變不確定性、強干擾等特性，應用常規PID控制器難以達到理想的控制效果。隨著分數階微積分理論的發展，在科學與工程領域實現了分數階PID(Fractional Order Proportional Integral Differential，FOPID)控制器的應用[3-7]。文獻[8]指出FOPID控制器比傳統PID控制器具有更強的魯棒性，并且FOPID控制器對非線性過程具有很強的適應性。文獻[9]指出單獨使用模糊PI控制器在瞬態響應中表現不佳，而單獨使用模糊PD控制器在消除穩態誤差的能力上表現欠缺，所以可將PI與PD控制器進行級聯操作，混合兩種控制器的不同特點和優勢，能夠在干擾傳遞到系統其他部分之前將其快速抑制。

對于控制器參數的選取與調整，文獻[10-13]分別采用遺傳算法、粒子群優化算法、細菌覓食優化算法、蟻群算法優化PID控制器參數，這些算法雖能夠獲得較快的收斂速度，但是可能會出現陷入局部最優的問題，而基于Levy變異的帝國競爭算法相比于傳統的帝國競爭算法以及傳統的優化算法具有收斂速度快、避免陷入局部最優、尋優精度高等優點[14]。故本文采用基于Levy變異的帝國競爭算法對控制器參數進行優化。

本文在FOPID以及PI+PD控制器的基礎上，提出分數階比例積分(Fractional Order Proportional Integral，FOPI)與分數階比例微分(Fractional Order Proportional Differential，FOPD)級聯的FOPI+FOPD控制器，并將其應用到單區域電力系統負荷頻率控制及自動電壓調節中。采用基于Levy變異的帝國競爭算法優化控制器參數，在加入負荷擾動以及改變系統參數的情況下，通過與傳統PID、FOPID控制器對比分析可以得出，單區域電力系統采用FOPI+FOPD控制器具有更好的穩定性以及魯棒性。

1 負荷頻率控制及自動電壓調節

在電力系統中負荷頻率控制是指控制有功功率和頻率，自動電壓調節是指控制無功功率和電壓，負荷頻率控制與自動電壓調節都可以看作是一個簡單的閉環控制系統，如圖1所示。針對一定的運行條件對負荷頻率控制與自動電壓調節控制器參數進行設置，并根據負載需求的微小變化，調整汽輪機的進氣量以及發電機的勵磁，從而可以將頻率和電壓保持在規定的限值內。

1.1 負荷頻率控制模型

負荷頻率控制系統是通過調節發電機的調速器，將頻率保持在標稱范圍內，包含4個主要部分：調速器、汽輪機、發電機負荷和控制器。其中調速器、汽輪機、發電機負荷構成主回路，這個主回路不足以獲得零穩態誤差，因此需要增加一個控制器構成次回路。本文采用FOPI+FOPD控制器，如圖2所示。考慮到電網因頻率波動會引起汽輪機調速器頻繁動作，故設置調速器死區，以保護調速器，延長其使用壽命。調速器死區是一個具有滯后性的非線性問題，其輸入與輸出的關系為

當函數Y接近正弦關系時，可以用描述函數法將Y用傅立葉級數展開，并取前3項得

其中，各式系數為

其中，ω0是系統角頻率，A是系統角頻率對應的周期分量幅值，將具有死區的調速器線性化后，其傳遞函數為

圖1 負荷頻率控制與自動電壓調節示意圖Fig.1 Schematic diagram of load frequency control and automatic voltage regulation

圖2 負荷頻率控制模型Fig.2 Model of load frequency control

1.2 自動電壓調節模型

自動電壓調節系統是保持發電機端電壓恒定的局部閉環控制系統，將電壓傳感器測得的電壓和參考電壓之間的誤差放大并饋送到勵磁回路，通過調節發電機的勵磁調整無功功率平衡，保持系統電壓在限值之間。自動電壓調節系統包括放大器、勵磁機、發電機、傳感器和控制器，本文同樣采用FOPI+FOPD控制器，如圖3所示[15]。

圖3 自動電壓調節模型Fig.3 Model of automatic voltage regulation

1.3 負荷頻率控制和自動電壓調節組合模型

本文采用的組合模型如圖4所示，其中所涉及的系統參數如表1所示，常數增益如表2[16]所示。圖4中的ΔPLD為區域負荷波動引起的功率偏差，當出現負荷擾動時，該區域頻率會出現偏差，并且端電壓也會發生變化，此時整個系統對頻率偏差及端電壓偏差進行抑制。

表1 系統基本參數Tab.1 Basic parameters of system

表2 常數增益Tab.2 Constant gain

最后通過考察區域內的頻率偏差Δf以及系統端電壓響應，評判控制系統的穩定性及其動態性能的優劣。

圖4 負荷頻率控制與自動電壓調節組合模型Fig.4 Combination model of load frequency control and automatic voltage regulation

2 FOPI+FOPD控制器設計

2.1 分數階微積分的定義

現代分數階微積分計算理論是由Riemann-Liouville和Caputo等人建立與完善的，其中應用最廣的是Riemann-Liouville提出的定義：

(1)

其中，a是為初值，β為分數階微分的階次。

分數階控制系統的傳遞函數可以描述為

(2)

式中，α0<α1<…<αn，β0<β1<…<βm。

2.2 FOPI+FOPD控制器

FOPI+FOPD控制器如圖5所示，包含FOPI控制器與FOPD控制器，通過級聯方式連接。通過調節FOPI+FOPD控制器的6個參數，使FOPD控制器輸出值最小。

圖5 FOPI+FOPD級聯控制器Fig.5 FOPI+FOPD cascade controller

FOPI+FOPD控制器的微分方程為

u(t)=[(Kp1+KiD-λ)×(Kp2+KdDμ)]e(t)，

(3)

式中，u(t)為控制器輸出；e(t)為控制器的誤差輸入；D為微分算子；Kp1與Kp2為比例增益；Ki、Kd分別為積分系數、微分系數；λ和μ分別為積分階次、微分階次。

則FOPI+FOPD控制器的傳遞函數為

式中，μ>0,λ>0。

根據λ和μ的取值不同，可得到不同形式的FOPI+FOPD控制器。FOPI+FOPD控制器優勢明顯，可將λ和μ改成任意階次，比整數階PID控制器操作靈活，應用更加廣泛。

FOPI+FOPD控制器既具有PID控制器的優點，又有單獨使用PI控制器與PD控制器時的特征，所以其適用范圍更廣，操作更加靈活，可調參數更多，具有良好的調節和追蹤能力，從而能獲得更好的系統性能。FOPI+FOPD控制器既適用于分數階系統，也適用于傳統的整數階系統。

3 FOPI+FOPD控制器參數優化

本文利用基于Levy變異的帝國競爭算法對FOPI+FOPD控制器參數進行優化。本文將對負荷頻率控制器、自動電壓調節控制器的參數進行優化，將時間乘誤差絕對值積分(Integral of Time multiplied Absolute Error，ITAE)作為目標函數，其結果可反映時域動態響應[17]。

3.1 帝國競爭算法

帝國競爭算法(Imperialist Competitive Algorithm，ICA)是一種基于群體而衍生的智能優化算法[18]，流程圖如圖6所示。

圖6 帝國競爭算法流程圖Fig.6 Flow chart of imperialist competitive algorithm

3.2 基于Levy變異的帝國競爭算法

變異是遺傳算法和進化算法中的基本算子。本文采用Levy變異算子，從而保證其可覆蓋更廣的區間范圍。Levy變異根據Levy分布產生隨機數，在分布關于z=0對稱時，其概率密度函數為

(4)

式中，α為控制率密度函數的形狀，通常規定范圍為0<α<2；γ為尺度縮放因子，γ>0。

在ICA中，帝國集團的搜索過程與優化結果直接相關。由于各個帝國集團的殖民地國家都朝帝國移動，一旦帝國陷入局部最優，其所屬的殖民地則有可能陷入局部最優，從而發生早熟現象。同時，種群的分散性也就丟失了。因此本文在帝國上增加變異操作。設P=[p1,p2,…,pNvar]表示帝國，變異過程實現如下:

式中，r為按照Levy分布產生的隨機數；k為尺度參數。

變異操作分別針對向量中的各個維度進行，如果解的質量有所提高，則變異成功。為了提高變異的成功率，本文對每一維進行5次變異[19]。

3.3 負荷頻率控制與自動電壓調節控制器參數優化

3.3.1負荷頻率控制器參數優化

首先，將國家表示為向量形式，即P=[Kp1,Kp2,Ki,Kd,λ,μ]，P為FOPI+FOPD控制器的控制參數，并分別對P中的參數設置范圍、限定條件。單區域電力系統負荷頻率控制的目標函數為

(5)

其約束條件為

負荷頻率控制系統采用基于Levy變異的ICA算法得到的性能指標ITAE收斂曲線如圖7所示，在FOPI+FOPD控制器參數優化的過程中，采用基于Levy改進的ICA算法相比PSO、ICA算法具有更快的收斂速度以及更高的收斂精度，可以獲得更小目標函數值，故基于Levy變異的ICA算法能夠提高算法的全局收斂能力以及尋優精度。

圖7 負荷頻率控制系統在不同算法下的ITAE收斂曲線Fig.7 ITAE convergence curves of load frequency control system under different algorithms

基于Levy變異的ICA算法優化的負荷頻率控制器參數如表3。為了與FOPI+FOPD控制器的性能作對比分析，同樣采用該算法，得出PID控制器、FOPID控制器的參數記錄于表3中。

表3 負荷頻率控制器參數Tab.3 Load frequency controller parameters

3.3.2自動電壓調節控制器參數優化

在自動電壓調節系統中，同樣采用基于Levy變異的ICA算法求解以式(6)為目標函數的最優的FOPI+FOPD控制器參數，得到最佳的Kp1、Kp2、Ki、Kd、λ，μ最終獲得具有良好動態響應特性的自動電壓調節控制器。

(6)

H是以ITAE準則獲取得目標函數，與3.3.1類似，自動電壓調節系統采用基于Levy變異的ICA算法得到的性能指標ITAE收斂曲線如圖8所示。該算法具有更加良好的尋優精度和收斂速度，對于同一種FOPI+FOPD控制器，基于Levy變異的ICA算法可獲得更小的ITAE目標值。

圖8 自動電壓調節系統在不同算法下的ITAE收斂曲線Fig.8 ITAE convergence curves of automatic voltage regulation system under different algorithms

將該算法優化的FOPI+FOPD控制器、PID控制器、FOPID控制器優化參數記錄于表4。圖9給出了優化目標收斂圖，可以看出采用FOPI+FOPD控制器得到控制器參數更優。

表4 自動電壓調節控制器參數Tab.4 Automatic voltage regulation controller parameters

圖9 不同控制器在相同算法下的ITAE收斂曲線Fig.9 ITAE convergence curves of different controllers under the same algorithm

4 仿真結果與分析

為了評估單區域電力系統采用不同控制器的穩定性與魯棒性，本文在不同負荷擾動以及系統參數變化下，針對圖4所示系統進行仿真，對比分析不同控制器作用下系統的調整時間、上升時間、超調量、ITAE參數，以及整體動態響應性能。

4.1 動態響應性能分析

為了驗證本文所提出的控制器在不同初始條件下具有更優的整體動態性能，系統分別采用PID控制器、FOPID控制器、FOPI+FOPD控制器，在初始條件為無擾動、加+0.1pu負荷擾動、加-0.1pu負荷擾動進行仿真，系統響應曲線如圖10所示。

(a) 采用PID控制器

(b) 采用FOPID控制器

(c) 采用FOPI+FOPD控制器

根據系統頻率偏差響應曲線，系統采用FOPI+FOPD控制器對頻率超調的抑制效果更加明顯，其最大超調量分別是采用FOPID控制器、PID控制器的1/3與1/4，能夠有效地抑制負荷擾動引起的系統頻率波動，并且整體響應速度快，具有較好的整體動態性能。

4.2 控制器穩定性分析

1) 加入瞬時負荷擾動

當系統穩定運行后，在12 s時加入+0.1pu階躍負荷擾動，頻率偏差Δf及端電壓響應曲線如圖11所示，系統的各項瞬態響應性能參數如表5所示。

(b) 端電壓響應曲線

表5 各控制器瞬態響應特性Tab.5 Transient response characteristics of each controller

從圖11(a)頻率偏差響應曲線中可以看出，負荷頻率控制采用FOPI+FOPD控制器時，其瞬態響應性能優于傳統的PID控制器和FOPID控制器，能夠很好地抑止系統頻率偏差，使系統很快達到穩定狀態。采用FOPI+FOPD控制器時，系統產生的ITAE為0.35，比FOPID控制器減小了23.9%；Δf的調整時間為2.25 s，比傳統PID控制器快4 s左右。仿真結果可以看出，采用FOPI+FOPD控制器可比其他控制器更快、更平穩地使系統頻率波動減小到零。

從圖11(b)端電壓響應曲線中可以看出自動電壓調節控制器采用FOPI+FOPD控制器的優越性，電壓調整時間為0.67 s，上升時間為0.13 s，大大縮短了端電壓從波動到穩態的時間，并且能夠實現與額定電壓的穩態誤差為零，對擾動具有較強的抗干擾性。

2) 加入隨機負荷擾動

為了驗證系統采用FOPI+FOPD控制器的穩定性，本文加入隨機負荷擾動，擾動發生時間與幅值為：3 s發生-0.1pu擾動、10 s發生+0.08pu擾動、15 s發生-0.06pu擾動，系統的頻率偏差與端電壓響應曲線如圖12所示。

(a) 頻率偏差Δf響應曲線

(b) 端電壓響應曲線

從圖12(a)可以看出，系統仿真時間為25 s，在每次出現負荷擾動時，采用FOPID控制器時頻率偏差較大，需要較長的時間消除擾動帶來的影響。而采用FOPI+FOPD控制器時，超調量明顯下降，且系統能快速恢復穩定，各項性能指標都具有優越性。從圖12(b)端電壓響應曲線可以看出，采用FOPI+FOPD控制器時響應迅速，具有更好的穩定性，電壓響應得到很好的改善。

4.3 控制器魯棒性分析

為分析采用FOPI+FOPD控制器時系統參數變化對其響應性能的影響，本文將勵磁機時間常數Te、放大器時間常數Ta改變+50%與-50%，得出的系統響應曲線如圖13、14所示，動態響應性能指標如表6所示。

(a) 頻率偏差Δf響應曲線

(b) 端電壓響應曲線

從上述仿真結果可以看出，當系統參數變化時，對系統的響應影響較小，調節時間、上升時間、ITAE差別也較小，說明本文采用的FOPI+FOPD控制器具有較強的魯棒性，能夠很好地抵御系統參數變化帶來的影響，保持系統的整體穩定性。

(a) 頻率偏差Δf響應曲線

(b) 端電壓響應曲線

表6 系統參數變化時動態性能指標Tab.6 Dynamic performance index when system parameters change

5 結論

本文針對電力系統頻率控制以及自動電壓調節系統發生擾動時控制器響應速度較慢以及超調量較大的問題，提出了在單區域電力系統中采用FOPI+FOPD級聯控制器，并通過基于Levy變異的ICA算法優化控制器參數。仿真驗證了系統采用FOPI+FOPD控制器相比于傳統的PID控制器、分數階PID控制器時系統頻率與電壓的調整時間分別縮短了13%以及18%，能夠更快速地將電力系統頻率波動減小到零、端電壓恢復到額定值。在負荷擾動以及系統參數變化時，控制器能為系統提供較強的阻尼，將頻率與電壓偏差保持在規定的限值內，系統可以獲得更小的ITAE與時域動態性能指標，以及能夠獲得更好的穩定性與魯棒性。