固體火箭發(fā)動機多層結構超聲信號傳輸的數學模型

郭旭飛

(1 呂梁學院物理系，山西 呂梁 033001；2 中北大學信息探測與處理山西省重點實驗室，太原 030051)

0 引言

當前針對固體火箭發(fā)動機多層結構殼體的脫粘問題，主要研究都集中于技術測試與應用，理論上的分析與建模并不多見。段方勇等[1]采用傳輸矩陣法建立了多層結構超聲回波幅度譜模型,分析了由不同材料構成的多層結構的幅頻特性。張建生[2]提出了鋼-橡膠多層結構的超聲卷積模型，并采用同態(tài)濾波解卷積等信號處理方法分析界面脫粘的特征。簡曉明[3]根據聲壓和質點速度在界面處的連續(xù)性推導了超聲脈沖回波的解析表達式,并對二界面粘接情況進行了評價。H?gglund等[4-5]提出了參數模型，并推導出了模型參數的最大似然估計，然后用于廣義似然比檢驗(GLRT)來檢測多層結構中的缺陷。閆鑫[6]利用輸入阻抗來描述多層結構的反射譜，并分析了界面粘接缺陷的反射譜特征。

在文獻[2,5]的基礎上，文中將多層結構的超聲模型進行簡化，并對部分公式進行修正，得到任意多層結構的超聲信號傳輸的數學模型，為后續(xù)對多層結構進行信號分析與處理奠定理論基礎。

1 多層結構的數學模型

1.1 線性系統(tǒng)

在系統(tǒng)識別中，被研究的材料或結構可以被視為線性系統(tǒng)，而傳遞函數可以描述線性系統(tǒng)的特征,即描述了輸出信號y(t)和輸入信號u(t)之間的關系，如圖1所示。與時域分析相比，離散的頻域分析有許多優(yōu)點[7]。

圖1 在時域和頻域中的線性系統(tǒng)

輸出和輸入在頻域的關系為:

Y(jω)=Htf(jω)U(jω)

(1)

式中:Y(jω)，U(jω)分別為輸出信號和輸入信號的傅里葉變換；ω為角頻率。

1.2 單層結構超聲傳輸模型

單層結構的超聲傳輸模型如圖2所示，為了描述方便，信號垂直輸入，均在圖中表示斜入射，且未考慮材料的衰減。

圖2 單層結構反射信號傳輸示意圖

當超聲信號垂直入射到單層結構，在介質中會形成多層反射。

第一次反射為：

Y1(jω)=T01R12T10e-jωτ1U(jω)=T01T10R12e-jωτ1U(jω)

(2)

第二次反射為：

(3)

第三次反射為：

(4)

?

第n次反射為：

(5)

則第n次反射與第(n-1)次反射滿足關系：

Yn(jω)=R10R12e-jωτ1Yn-1(jω),n≥2

(6)

式(2)～式(5)中:T為界面透射系數;R為界面反射系數;τ1為界面反射兩次的時間，可表示為2d1/c1,d1為單層介質的厚度，c1為超聲傳播速度。單層結構總輸出超聲信號為：

(7)

進一步整理得到：

(8)

則單層結構的傳遞函數為：

(9)

式中，τ0為超聲的時間延遲。由于一般耦合介質很薄，τ0影響可忽略，則

(10)

1.3 多層結構超聲傳輸模型

對于多層結構，由于不同層之間非連續(xù)性聲阻抗特性，所以超聲信號存在多次反射和折射。從圖3可以看到增加了層數使得信號傳播路徑復雜化。但其中每一層超聲傳播和單層介質類似，傳遞函數容易求出。只要求出任意層的傳遞函數，那么多層結構的傳遞函數是各層傳遞函數的級聯。

圖3 多層結構超聲信號傳播示意圖

假設第q層為多層結構中的任意一層(q>1)，則超聲在其內部傳輸和接收分為3種情況：

1)信號從第(q-1)層下行入射到第q層，經多次反射，從第q層上行透射到第(q-1)層。

圖4 信號從第(q-1)層下行到第q層，再上行到第(q-1)層傳播示意圖

這種情況與單層結構的超聲傳播類似，對應的傳遞函數為：

(11)

式中:τq為信號在上下界面依次反射一次的傳播時間，可表示為2dq/cq,dq和cq分別為第q層的厚度和波速。

2)信號從第(q-1)層下行入射到第q層，經多次反射，從第q層下行透射到第(q+1)層。

圖5 信號從第(q-1)層下行到第q層，再下行到第(q+1)層傳播示意圖

信號從第(q-1)層入射到第q層，再透射到第(q+1)層的總信號為：

(12)

對應的傳遞函數為：

(13)

3)信號從第(q+1)層上行入射到第q層，經多次反射，從第q層上行透射到第(q-1)層。

圖6 信號從第(q+1)層上行到第q層，再上行到第(q-1)層傳播示意圖

信號從第(q+1)層入射到第q層，再透射到第(q-1)層的總信號為：

(14)

對應的傳遞函數為：

(15)

2 多層結構界面脫粘幅頻特性和相頻特性

固體火箭發(fā)動機多層結構模型如圖7所示，圖中虛線表示橡膠層不同的厚度,各層材料參數見表1[3]，各層材料不考慮聲衰減。主要利用傳遞函數模型來研究多層結構1界面脫粘和2界面脫粘的幅頻特性和相頻特性，其中2界面脫粘的深度逐漸增大，如圖7中的虛線變化。其中,d1=3 mm。

圖7 多層結構示意圖

表1 多層結構的材料參數

當1界面脫粘時，假設耦合介質很薄，則其傳遞函數為：

(16)

當2界面脫粘時，其傳遞函數為：

(17)

式(16)～式(17)中，不同的透射系數T和反射系數R可由材料聲阻抗求解[4]。

2.1 幅頻特性變化

圖8為多層結構界面脫粘幅頻特性圖，可以觀察到1界面脫粘幅頻明顯不同2界面脫粘的幅頻特性。對于2界面脫粘，文中其深度d2從0.95 mm開始以Δd為0.5 mm的厚度增加到5.95 mm。從圖8中可以看出，隨著2界面脫粘深度的增大，其對應的幅頻特性曲線也發(fā)生細微變化。

圖8 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的幅頻特性

2.2 相頻特性變化

圖9為多層結構界面脫粘相頻特性圖，可以觀察到1界面脫粘相頻特性明顯不同2界面脫粘的相頻特性。隨著2界面脫粘深度的增大，其對應的相頻特性曲線也發(fā)生一定程度的變化。

圖9 1界面脫粘和2界面脫粘深度變化時的相頻特性

3 結論

從信號傳輸的角度，建立了固體火箭發(fā)動機多層結構的數學模型，研究了多層結構脫粘時其幅頻特性和相頻特性的變化特點，主要結論如下：

1)多層結構1界面的脫粘，可通過其傳遞函數的幅頻特性和相頻特性來表征。

2)多層結構2界面脫粘深度的增大，其傳遞函數的幅頻特性和相頻特性也會發(fā)生相應的變化。

該研究為后續(xù)多層結構超聲信號的分析與處理提供了理論基礎,后續(xù)研究應該考慮材料對超聲傳播的衰減因素。