基于VMD變分模態分解的沖擊波信號時頻分析

郭佳輝，高一軒，劉昌偉，祖旭東

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引言

爆炸沖擊波是戰斗部毀傷效能評估的重要指標之一。大量的研究表明，爆炸沖擊波作用時的毀傷效能，并非總是與超壓峰值、正壓作用時間成正比，其毀傷效能還與爆炸沖擊波的頻率特性有關。目前針對沖擊波時域特征的分析較多，而對其頻率特性的研究較少。因此，開展爆炸沖擊波信號從時域分析到時頻分析的探討對爆炸沖擊波毀傷效應的研究和工程防護的發展具有重要意義。

爆炸沖擊波信號上升沿陡峭、突變快、持續時間短、包含多種噪聲干擾，是典型的瞬態非平穩信號。通常采用小波變換、經驗模態分解(EMD)和變分模態分解(VMD)等方法對其進行時頻分析。小波變換由于其窗函數可變，具有良好的時頻局部化特性，被廣泛應用于信號分析中。李麗萍等通過基于小波包的改進HHT(希爾伯特-黃變換)方法，馬倫等結合Morlet小波采用尺度相關能量分布確定尺度參數的方法，提高了信號分解計算的精度。但上述研究由于窗函數的選取在整個分析過程中無法更換，所以小波變換缺乏對信號處理的自適應性。EMD方法可以實現對信號的自適應濾波，但這種遞歸模式分解方法存在一些問題，特別是各個模態之間存在不同程度的模態混疊與端點效應。VMD是一種新的非遞歸、變分模態分解估計方法。該方法利用交替方向乘子法(ADMM)迭代搜索變分模型最優解，令每個模態的估計帶寬之和最小，實現信號的自適應分解，解決了EMD和LMD在遞歸模式分解過程中的模態混疊、對頻率相近的分量無法正確分離、受采樣頻率影響等缺點，且時頻分辨率強，噪聲魯棒性高。

文中從VMD算法的原理出發，探討該方法在爆炸沖擊波分解領域的適用性。依據實測爆炸沖擊波信號的時頻特征對算法中分解級數和懲罰因子的取值方法進行討論，給出同時保持時域保真度和頻域分辨率的爆炸沖擊波信號分解方法；分析信號各級分量的時頻特性，得到沖擊波能量的時頻分布規律。

1 VMD算法原理

VMD是2014年由Dragomiretskiy等提出的一種信號處理方法。其分解過程可以概括為將原始信號通過篩選，將頻率占優信號分解為調幅調頻信號的集合。假設每個“模態”的有限帶寬有中心頻率，使每個模態的估計帶寬的和最小，實現信號的自適應分解，約束條件為各模態之和等于輸入信號。固有模態函數(IMF)，即是通過幅頻調制的諧波信號。

階IMF分量可以表示為：

()=()cos(())

(1)

式中：()為()的瞬時幅值；()為()的瞬時頻率；()是一組離散的子信號，在時頻譜中每個子信號的帶寬稀疏不同。

1.1 變分問題構造

由于VMD分解時具有一定的稀疏性，在進行階分解時，為了獲得IMF分量的帶寬，可以將其看作約束變分問題。

VMD方法在評估IMF分量帶寬時，首先對于每個IMF分量進行希爾伯特變換計算出相應的解析信號，以獲得一個單邊頻譜；然后加入指數項調整各中心估計頻率，將IMF分量的頻譜移至“基帶”上；最后利用調制信號進行高斯平滑估計帶寬，如平方范數的梯度。約束變分模型表達式為：

(2)

式中：為分解得到的IMF分量；為IMF分量的中心頻率。

最優解約束條件為：

(3)

1.2 變分問題求解

為了求取上述約束變分問題的最優解，引入二次懲罰因子和拉格朗日乘子，則

利用交替方向乘子算法求取上述增廣Lagrange函數的鞍點，即為約束變分模型的最優解，從而將原始信號分解為個IMF分量。

(5)

(6)

利用傅里葉變換，將迭代后的結果轉變到頻域可得：

(7)

(8)

2 沖擊波超壓曲線測試試驗

2.1 試驗內容

為測試炸藥在空氣爆炸時不同特征點的超壓時程曲線，設計了爆炸試驗。采用自由場超壓傳感器，將30 g TNT爆炸后的爆炸沖擊波壓力信號轉換成電信號，通過傳輸電纜將信號輸入數據采集儀，由壓力傳感器的靈敏度和信號傳輸、記錄的放大倍數，計算出沖擊波超壓時程，確定峰值超壓。圖1為沖擊波超壓試驗的測試原理圖，所用炸藥的規格為30 g TNT圓柱裝藥(裝藥尺寸Φ25 mm×38 mm)，起爆方式為單端起爆；超壓傳感器為壓電式，測量過程中感應面朝向爆心；傳感器支架具備所需的剛度，并固定可靠；傳輸電纜有良好保護，測試時與動態測試儀連接。

圖1 爆炸沖擊波信號測試原理圖

如圖2所示，此次試驗設置2個測點，分別距爆心300 mm和500 mm。試驗過程中，2個測點錯開布置，避免測試過程中儀器間的相互干擾。同時，為確保試驗沖擊波波形和峰值超壓結果的可靠性，試驗共重復3次，每次試驗的布局完全相同。試驗現場炸藥布置和測點布置如圖3所示。

圖2 傳感器測點布置圖

圖3 試驗現場圖

2.2 試驗結果

通過試驗得到30 g TNT空氣中爆炸后在距離爆心300 mm和500 mm處的爆炸沖擊波超壓時程曲線，如圖4所示。

圖4 沖擊波超壓時程曲線

3 沖擊波信號VMD分解

3.1 VMD分解參數討論

下面對圖4(a)進行變分模態分解。VMD算法中的關鍵問題是需預設懲罰因子、模態分解級數、保真系數及收斂條件等參數。其中懲罰因子和模態分解級數對分解結果的影響最為顯著。的取值會影響分解精度，其取值越低，各IMF分量的帶寬越大；相反取值越高，IMF分量的帶寬越小，甚至會使得程序進入死循環，無法得到結果。的取值直接影響分解結果，值太小導致信號分段不足，某些模態下的子信號會被當成噪聲；值太大會捕獲額外的噪聲，出現模態混疊現象。由于爆炸沖擊波信號復雜多變，和通常難以確定。如何選定合適的參數組合，是決定VMD方法在沖擊波信號分解上適用性的關鍵所在。對此，相關學者通過排列熵法、樣本熵法、遺傳變異粒子群算法等對和的取值進行尋優，獲得了較好的分析結果。含較大趨勢項的爆破信號經過VMD算法分解后，得到的一階IMF分量為信號趨勢項，分解結果與的取值無關。然而，由于不確定原理的存在，時域和頻域的精度無法同時保證，上述尋優方法的求解結果受適應度函數影響較大，經檢驗這些方法的適應度函數對爆炸沖擊波這種頻域較寬的短脈沖信號適應較差，不宜作為尋優標準。

綜合前面的討論，擬通過信號自身的時頻特性來確定和的取值。如圖5所示，首先將原始沖擊波時域信號通過傅里葉變換得到其頻譜圖，然后依據沖擊波信號的頻譜特征將沖擊波信號頻譜圖分為4段，可近似認為信號主要由4個頻率帶組成，因此，取模態分解級數=4。

圖5 沖擊波信號頻譜圖

懲罰因子主要影響IMF分量的收斂速度，其取值與信號的長度有關，多數情況下，將設置為2倍的輸入信號長度，即=2。然而，經嘗試發現重構后的時域信號會出現嚴重的失真和端點效應，頻域分辨率較高，但會出現部分高頻信號的缺失，見圖6。

圖6 α=2N時分解曲線

當≤0.1時，重構信號的時域保真度較高，但頻域的低頻部分出現模態混疊，見圖7。

圖7 α=0.1N時分解曲線

綜合以上討論，的取值應在同時保證時域保真度和頻域分辨率之間進行平衡。經過嘗試發現在015～05范圍內取值時，重構信號時域失真較小且頻域分辨率較高，是較為理想的分解結果，見圖8。

圖8 α=0.3N分解曲線

3.2 VMD結果分析

取=4，=0.3對爆炸沖擊波信號進行VMD分解，分解后得到4個基本IMF分量。各分量的時域和頻域對照圖見圖9。

可以看出爆炸沖擊波信號的頻譜范圍很寬，所含頻率成分較多。隨著IMF分量的分解級數增加(由IMF至IMF)，其時域幅值減小，持續時間增加。其頻域幅值減小，頻譜帶寬增加。頻域的幅值幅度變化程度較時域更大。

VMD分解所得到的IMF分量具有物理意義。其中IMF分量為實測沖擊波信號的優勢子頻帶，IMF、IMF分量為信號的中低頻部分，IMF分量為信號的高頻部分。爆炸沖擊波能量主要集中在中低頻部分和優勢子頻帶部分，而在高頻部分噪聲能量占比較大，沖擊波的能量分布相對較少。在低頻部分的IMF分量幅值較大，頻帶較窄，在高頻部分的IMF分量幅值較小，頻帶較寬。

圖9 各級IMF分量的時域和頻域對照圖

4 結論

對爆炸沖擊波信號進行了變分模態分解，通過對分解結果的處理和分析，得到以下結論：

1)變分模態分解算法在爆炸沖擊波信號時頻分析方面適用性較好，當懲罰因子取0.15～0.5倍信號長度，且分解級數取幅頻曲線分段數時，可以獲得重構信號失真小、頻率分辨率高的分解結果。

2)采用VMD方法對沖擊波信號進行分解可以得到各分量的時域波形和各頻率分量的分布范圍,為爆炸沖擊波時頻分析提供了一種新思路。

3)爆炸沖擊波所含頻率成分較多，頻譜范圍較寬,其中沖擊波的能量主要集中在中低頻段幅值大頻帶較窄，高頻分量幅值小頻帶較寬。