例談不等式證明中的轉化思想

周恩東

(吉林油田第十一中學)

數學因轉化而簡約,因簡約而精彩.不等式的證明何嘗不是如此,不等式的證明歷來是高考的一個難點,然而轉化思想能讓它化難為易.

1 借助函數進行轉化

構造函數,利用函數的單調性,可以證明不等式.

例1 設a,b,c∈R,且它們的絕對值不大于1,求證:ab＋bc＋ca＋1≥0.

分析 直接證明比較困難,觀察不等式的結構特點,構造函數f(a)＝(b＋c)a＋bc＋1,該題可以轉化為證明當|a|≤1時,f(a)≥0恒成立,然后用一次函數的性質完成證明.

證明 設關于a的函數f(a)＝(b＋c)a＋bc＋1,由題設知－1≤a≤1,－1≤b≤1,－1≤c≤1.

若b＋c≠0,則f(a)是關于a的一次函數.由于

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝(b＋1)(c＋1)≥0,f(－1)＝－(b＋c)＋bc＋1＝(1－b)(1－c)≥0,由一次函數f(a)的單調性知,當|a|≤1時,f(a)≥0恒成立,即ab＋bc＋ca＋1≥0.

若b＋c＝0,則f(a)＝bc＋1≥0.

綜上,ab＋bc＋ca＋1≥0.

本題構造了以a為變量的一次函數,需注意對a的系數是否為零進行討論.

2 借助方程進行轉化

構造一元二次方程,若方程有兩個不同的解,則其判別式大于零.

分析 直接證明,頗費思量,轉化為方程問題,立竿見影.

本題證明構思精妙,利用根與系數的關系構造方程,又利用判別式證明不等式,體現了不等式與方程之間的內在聯系.

3 借助勾股定理進行轉化

對于含有根式的不等式可以通過構造平面圖形證明.

圖1

所證不等式形如兩邊之和大于第三邊,故考慮通過構造三角形,利用勾股定理證明.

4 借助簡單幾何體進行轉化

證明 如圖2 所示,構造三棱錐S-ABC.設SA＝x,SC＝y,SB＝z且∠ASC＝120°,∠ASB＝∠BSC＝60°,

于是A

圖2

欲證不等式形如兩邊之差小于第三邊,如何構造三角形是關鍵.

5 借助解三角形進行轉化

把未知數看成用余弦定理所表示的邊長,也可以構造三角形,證明不等式.

例5 若x,y,z∈R*,求證:

分析 觀察不等式兩邊都有根號且有交叉項,聯想到三角形兩邊之和大于第三邊、斜三角形中余弦定理中的距離公式,不妨構造如圖3所示的△ABC.

圖3

6 借助平面向量進行轉化

巧妙構造向量的坐標,將不等式看成平面向量的數量積形式,運用向量的性質,也可以證明不等式.

例6 已知m,n∈R*,求證:

m3＋n3≥m2n＋n2m.

合理構造平面向量的坐標形式,是利用平面向量證明不等式的關鍵所在.

7 借助空間向量進行轉化

當所證不等式出現三元時,構造空間向量,同樣可以證明不等式.

例7 若x,y,z∈R*,且x＋y＋z＝1,求證: