談數(shù)列復習需要關注的四個問題

張 輝特級教師 趙 濤

(北京市陳經(jīng)綸中學)

數(shù)列的特點在于數(shù)字排列的有序性和規(guī)律性,數(shù)列問題的研究是要找出數(shù)列背后本質(zhì)關系.數(shù)列是特殊的函數(shù),除了有自身的研究方法,從函數(shù)角度研究數(shù)列是高考重點考查的內(nèi)容之一,內(nèi)容多并且與其他知識關聯(lián)性強.本文主要談數(shù)列復習中四個值得關注的問題.

1 尋找項an 與項數(shù)n 的關系是探求數(shù)列特點的關鍵

1.1 歸納是尋找項an 與項數(shù)n 關系的根本方法

表1

圖1

表2

因為an＝n(n＋1),且44×45＝1980,所以運動了1980秒時到點A44(44,44),又由運動規(guī)律知,A1,A2,…,An中,奇數(shù)點處向下運動,偶數(shù)點處向左運動,到達A44(44,44)時,再向左運動42秒到達點(2,44),即運動2022秒這個粒子所處位置為(2,44).

上面兩個例子都是通過歸納找出一般性規(guī)律,再去解決特殊問題,歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)列一般規(guī)律的重要方法.例2中,觀察前后項關系由a1＝2,a2＝6,a3＝12,a4＝20,….a2－a1＝2×2,a3－a2＝2×3,a4－a3＝2×4,…,an－an－1＝2n(n≥2,n∈N*),將以上各式相加有an－a1＝2×(2＋3＋4＋…＋n),所以an＝n(n＋1).

1.2 遞推是尋找項an 與項數(shù)n 關系的常用方法

解決數(shù)列問題時,有時也可以找到前后項的關系,利用它們的關系求出數(shù)列的特殊項,有時甚至能求出數(shù)列的通項公式.例2點評中就是利用遞推關系求數(shù)列通項公式的累加法.這種方法源于課本等差數(shù)列通項公式的推導,課本中推導等比數(shù)列通項公式所采用的方法是累乘法.

例3 正整數(shù)按如圖2所示的形式排列,位于對角線位置的正整數(shù)1,3,7,13,…構(gòu)成數(shù)列{an},則a7＝_________,通項公式an＝_________.

圖2

2 運用函數(shù)思想分析項an(前n 項和Sn)與項數(shù)n 的關系是解決數(shù)列問題的有效路徑

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),等差(比)數(shù)列的通項公式以及前n項和公式都可以看作是特殊的函數(shù),所以借助數(shù)列的復習可以再一次學習和體會函數(shù)思想在解題中的作用.

例5 數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋kn＋2,且滿足a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…,求實數(shù)k的取值范圍.

當4n－34＝0時,n＝8.5,即當n≤8時,an＜0;n＞8時,an＞0,所以Sn的最小值為S8,即當n＝8時Sn取得最小值.

3 明確Sn 與an 的關系,重視求和時的分類與整合思想

數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,其中S1＝a1,S2＝a1＋a2,S3＝a1＋a2＋a3,….任給一個n,都有唯一的Sn與之對應,所以Sn是n的函數(shù),{Sn}也是數(shù)列,其中a1＝S1,a2＝S2－S1,a3＝S3－S2,…,an＝Sn－Sn－1.所以,an＝Sn－Sn－1是在n≥2,n∈N*的條件下才能成立的.

例8 已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1,公差d＞0,且第2 項、第5 項、第14 項分別為等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項.

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;

4 關注數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交叉、滲透與整合

總之,數(shù)列在數(shù)學知識體系中發(fā)揮著橋梁的作用,一方面它連接了函數(shù)、不等式等內(nèi)容,另一方面它又為學習極限等高等數(shù)學知識奠定了基礎.數(shù)列在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,復習過程中要抓住數(shù)列的本質(zhì)特征以及數(shù)列與其他知識的關聯(lián)性,淡化技巧性,將數(shù)學學科核心素養(yǎng)與高中數(shù)列教學進行融合,這樣才能達到良好的復習效果.

鏈接練習

1.用火柴棒按如圖3所示的方法搭三角形.

圖3

按圖示的規(guī)律搭下去,則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù)n之間的關系式可以是_________.

2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件