高等數(shù)學(xué)視角下的高考概率統(tǒng)計(jì)題的背景分析與研究

張本紅

(青島中學(xué))

高考概率統(tǒng)計(jì)解答題的出題背景越來越復(fù)雜,目前對高考數(shù)學(xué)試題的研究較多,但對高考試題出題背景的研究較少,尤其是對概率統(tǒng)計(jì)出題背景的研究.筆者以2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第21題為例,從馬氏鏈、差分方程等高等數(shù)學(xué)的視角出發(fā),對高考概率統(tǒng)計(jì)題的試題背景進(jìn)行分析,并給出一個(gè)典型例題,便于讀者進(jìn)一步研究.

1 試題回顧

題目 為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得－1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得－1分;若都治愈或都未治愈,則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分,pi(i＝0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0＝0,p8＝1,pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2,…,7),其中a＝P(X＝－1),b＝P(X＝0),c＝P(X＝1).假設(shè)α＝0.5,β＝0.8.

(ⅰ)證明:{pi＋1－pi}(i＝0,1,…,7)為等比數(shù)列;

(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

2 試題背景分析與研究

事實(shí)上,用Xn表示甲藥在第n輪試驗(yàn)中的得分,

其中fn＝(0,0,0,1,0,0,0,0).

根據(jù)題設(shè)給出的信息,可以得出條件概率即該馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率為

公式①從高等數(shù)學(xué)視角給出了關(guān)于pi的遞推公式.

在實(shí)際試驗(yàn)的研究過程中,要進(jìn)行成本控制,控制試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù),用Tk＝infn{n|Ym＋n＝8,Ym＝k}表示甲藥的累計(jì)得分為k時(shí)轉(zhuǎn)移至吸收狀態(tài),即試驗(yàn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),令τk＝E(Tk),即為此次動(dòng)物試驗(yàn)的平均次數(shù).由離散隨機(jī)變量的期望,有如下遞推公式:

由邊際條件得τ0＝τ8＝0.

公式②的含義是對試驗(yàn)的平均次數(shù)而言,甲藥從累計(jì)得分為k轉(zhuǎn)移至8,會(huì)比下一次試驗(yàn)后再轉(zhuǎn)移至8分多一次.在下一次試驗(yàn)中,甲藥分別以概率a,b,c得1分、得0 分、得－1 分,如果甲藥的累計(jì)得分為k＋1,那么到試驗(yàn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為1＋τk＋1;如果甲藥的累計(jì)得分為k,那么到試驗(yàn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為1＋τk;如果甲藥得－1 分,累計(jì)得分為k－1,那么到試驗(yàn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為1＋τk－1.

由公式②得非齊次線性差分方程

以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景命制的試題往往新穎創(chuàng)新,學(xué)生如果沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué),很難辨別試題的真實(shí)背景.然而此類試題的解答不會(huì)超過學(xué)生的認(rèn)知,結(jié)合基礎(chǔ)的概念、性質(zhì)、法則等,考查學(xué)生用初等方法解決問題的能力.通過高等數(shù)學(xué)初等化的方式,還可以考查學(xué)生是否具備進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的潛質(zhì),體現(xiàn)了高考的選拔性、創(chuàng)新性和導(dǎo)向性.

3 典型例題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題,當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)常常出現(xiàn)“題海戰(zhàn)術(shù)”,但這未必有利于學(xué)生思維遷移性和延展性的發(fā)展.學(xué)生面對新穎的題目時(shí),可能會(huì)出現(xiàn)束手無策的情況.教師應(yīng)當(dāng)以深厚的知識(shí)儲(chǔ)備和敏銳的洞察力精選試題,深入問題的本質(zhì),研究高考試題的背景和命題思想.從高等數(shù)學(xué)的視角研究高考試題,可以更好地理解和認(rèn)識(shí)高考試題背后的知識(shí)本源以及命題思想,既可以提升教師試題命制水平,又可以在教學(xué)活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.