探究數列問題的致錯根源

舒 靜

(云南省曲靖市第二中學)

數列是高中數學知識的基本模塊,主要涉及等差數列、等比數列的概念、性質問題,以及求與這兩個數列相關的通項公式、前n項和問題.學生在解題中由于對相關概念的理解不全面,不注意公式應用的條件,以及n的范圍等,易造成無謂失分.下面針對這些失分點舉例分析,給學生提個醒,避免錯誤再次出現.

1 對數列概念的理解不充分

等差數列、等比數列是兩個最基本的數列模型,高考中與數列有關的命題,大多以這兩個數列或可以轉化為等差數列、等比數列的問題為背景,因此我們要準確把握這兩個數列的概念.

例1 已知Sn為數列{an}的前n項和,且Sn－Sn＋1＝an,則數列{an}一定是( ).

A.等差數列

B.等比數列

C.常數列

D.無法判斷

剖析 等比數列的定義:從第二項起,每項與其前一項之比為常數.因其中涉及兩數之比,故等比數列中不能有為0的項.本題中若an＝0,則Sn＋1,Sn均為0,滿足Sn－Sn＋1＝an,此時數列{an}不是等比數列.故選D.

2 對數列的性質認識不全面

等差數列與等比數列有很多重要的性質,在某些問題的求解中,靈活應用這些性質可簡化解答過程.但這些性質的成立是有條件的,如果解題中沒有注意這些條件,往往會造成錯誤的判斷.

例2 已知{an}是公比為q的等比數列,現有如下3個命題:

①若q＞1,則?n∈N*,都有an＋1＞an;

②數列{an}的依次每n項之和仍為等比數列;

其中正確命題的個數是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

錯解 在解答此題時,由于對等比數列的性質認識不全面,選擇B,C或D 的學生大有人在.

剖析 對于①,等比數列的通項公式為an＝a1qn－1,其增減性除了和q有關外,還與首項a1的正負有關.當a1＞0時,若q＞1,{an}單調遞增;若0＜q＜1,{an}單調遞減;當a1＜0時,若q＞1,{an}單調遞減;若0＜q＜1,{an}單調遞增.故①錯誤.

對于②,依次每n項之和,即Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,其為等比數列的條件是Sn≠0.若Sn＝0,則這一性質不成立,如數列1,－1,1,－1,1,－1.故②錯誤.

3 忽視公式成立的條件

剖析 本解法的錯誤之處就是在利用等比數列求和公式時,未能對q≠1及q＝1進行討論,從而出現錯解.

由2Sn＝Sn＋2＋Sn＋1,即2Sn＝(Sn＋an＋1＋an＋2)＋(Sn＋an＋1),容易得到2an＋1＋an＋2＝0,故q＝－2.

4 忽視n 為正整數的限制

數列可視為以n為自變量的函數,因此某些數列問題可類比函數進行處理,但要注意與函數不同的是數列中的n的取值為正整數,若忽視這一性質,則可能在解題時出現錯誤.

5 忽視結論成立的充分性

6 忽視n 的范圍

通常情況下數列中n的范圍是正整數,但在某些關系式的限制下,n的范圍并不是所有的正整數,此類問題的求解中要注意考慮n的范圍.

例6 在數列{an}中,a1＝1,an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1,則數列{an}的通項公式為_________.

7 求和時對項數的統計出錯

無論是等差數列還是等比數列,在求某些項的和時,除了要知道公差或公比外,還要知道具體的項數,而對某些數列求和時,其項數并不易直觀判斷,學生在解題中常出現項數統計出錯的情況.

8 在求Sn 的最值問題中忽視零項的存在

以等差數列為例,若公差d＜0,則其前n項和有最大值;若公差d＞0,則其前n項和有最小值.對于取得最值時n的值為多少,若忽視為0的項的存在,則易出現漏解的情況.