舉例題的特點及破解策略

陳 龍

(甘肅省酒泉市酒泉市實驗中學)

近年新高考數學試卷中,出現了舉例題這類創新開放題型.新高考中數學舉例題的創新引入與設置,是開放與創新的集中體現,給試卷帶來了創新的亮點,突出了數學核心概念,強化了基礎知識和基本技能的有效落實.本文結合實例,剖析數學舉例題的基本類型及其對應的破解策略,總結解題的技巧和方法,以期引導數學教學與復習備考.

舉例題要求學生通過給出的已知結論、性質和定理等條件,從題干中獲取信息、整理信息,直接寫出符合題干的結論或具體實例;或從題目條件入手,根據操作要領進行轉化與化歸,寫出符合題目條件的相關結論或實例.舉例題對學生數學思維要求較高,既要有較扎實的數學基礎,又要有豐富的創新經驗.

舉例題的特點:1)問題的準確性——語言敘述準確;2)問題的簡潔性——語言敘述簡潔;3)問題的思維性——問題有思考空間;4)問題的創新性——創設的問題要有創新性.

下面結合實例對常見的兩類舉例題——直接舉例問題與變式舉例問題進行剖析,總結規律,拋磚引玉.

1 直接舉例問題

直接舉例問題是根據題設條件,直接寫出一個符合題意的答案,經常在填空題中出現.此類問題是開放問題,答案往往不唯一,只要寫出任何一個符合題意的答案即可,具有很高的靈活性與開放性.

分析 根據條件中給出的三個創新關系式,抽象并確定相應函數的基本性質,綜合同時滿足這三個基本性質的函數,直接舉例說明,最終確定滿足三個條件的函數解析式.

解 根據函數的基本性質知,冪函數是滿足性質①的函數,同時,冪函數滿足性質③,而滿足性質②的函數在(0,＋∞)上單調遞增.

根據三個性質例舉一個滿足條件的函數即可,為不同水平的學生提供了充分發揮數學能力的空間,能很好地提升思維的靈活性與開放性,以創設開放性情境,考查創新意識與創新精神.

2 變式舉例問題

變式舉例問題是從題意入手,根據操作要領進行分析處理,創新列舉符合題目條件的變式結論或相關命題.此類開放創新問題的形式各樣,變化多端,具有較高的靈活性、拓展性與開放性,只要按條件創新舉例即可.

例3 問題:求出一個數學問題的正確結論后,將其作為條件之一,提出與原來問題有關的新問題,我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.

給出問題:已知圓C:x2＋(y－1)2＝5,直線l:mx－y＋1－m＝0,若m＝3,求直線l被圓C截得的弦長.

(1)解答該問題;

(2)給出該問題的一個有意義的“逆向”問題,并解答你所給出的“逆向”問題.

分析 (1)直接結合參數的取值情況確定對應的直線方程,利用圓心到直線的距離進行求解,結合弦長公式直接計算即可;(2)通過舉例提出問題,并直接解答所提出問題.這里給出幾個樣本,實際操作時提出的問題可能更為多樣,沒有統一答案.

問題2 (面積最值問題)已知圓C:x2＋(ya)2＝b2,直線l:3x－y＋1－ 3＝0,若直線l被圓C所截得弦AB的長為 17,求圓C面積的最小值.

問題3 (軌跡問題)已知圓C:x2＋(y－1)2＝5截直線l所得弦長為 17,求弦的中點P的軌跡方程及該軌跡圖形與圓C的面積差.

解決問題:

此題以變式舉例問題的形式加以創設,給定的問題情境是直線與圓的位置關系.包括原問題在內的這4個問題涉及面較廣泛,在對原問題進行求解,深刻理解了問題的本質以后,再逆向思考提出問題進行變式舉例,并加以解答,需要的能力必是經過數學研究性學習的訓練成果.

舉例題的設計面較寬,創設的基本模式主要包括:1)提出逆向數學問題;2)給定某些限制條件,提出一個正向的數學問題;3)給定一個數學結論或數學模型,提出一個有實際背景的應用問題等.借助學生能否完整地用文字語言、符號語言、圖形語言、關系語言敘述一個具有數學方法、數學思想、數學內涵的具體問題,全面考查學生的“四基”以及各方面的能力,是數學創新應用與深入拓展的一大場所,高考創新情境特色的一大重要創新體現.