轉換主元的思想在函數與導數問題中的應用

李樹森

(南昌縣蓮塘第一中學)

在函數與導數的綜合問題中,常常涉及多個變量(如x,a等),解題的常規思路是將函數看成關于x的函數,其他變量視為參數,這樣常常可以通過分類討論或分離參數使問題獲解,但是面對一些導數試題這樣操作可能會導致問題復雜化.如果處理問題時能善于分析題目的結構特征,轉換視角,嘗試將另外一個變量視為主元,通過研究函數的性質,求函數最值,這樣另辟蹊徑,往往能使問題得到簡化.本文先對一道簡單、常見的問題進行分析,談變換主元處理與不等式有關的導數壓軸題,供讀者參考.

1 引出問題

例1 設不等式mx2－2x－m＋1＜0 對滿足|m|≤2的一切m都成立,求x的取值范圍.

解法1 可以將原不等式化為

解法2 將不等式化為(x2－1)m＋1－2x＜0,設f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,當|m|≤2 時,有f(m)＜0,由

解法1視x為自變量,m為參變量,先分離參變量m,再利用分類討論處理問題.解法2視mx2－2x－m＋1＜0為關于m的不等式,通過構造以m為變量的函數f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,再求解問題.上述兩種解法都運用了“主元思想”.所謂主元思想是指在含有兩個或兩個以上的未知量問題的解決過程中,選擇一個未知量作為主要研究對象,而其他未知量視作為參數或常量.從解題過程來看,例1視m為主元比視x為主元要簡便得多.事實告訴我們,若能稍微改變一下思維習慣,在含有多個變量的問題中,合理運用“主元思想”,優先考慮如何選擇主元是十分必要的.

用“主元思想”解決函數與導數的壓軸題會有意想不到的效果,接下來我們運用此思想繼續探究一道高考真題.

2 真題再現

例2 (2021年天津卷20,節選)已知a＞0,函數f(x)＝ax－xex.若存在a,使得f(x)≤a＋b對任意x∈R成立,求實數b的取值范圍.

解法1 將不等式f(x)≤a＋b化為ax－xexa－b≤0.設φ(x)＝ax－xex－a－b,則問題可轉化為φmax(x)≤0,易知存在唯一實數m,使得φmax(x)＝φ(m)≤0,則必有φ′(m)＝0,即a＝(1＋m)em,又a＞0,m＞－1,所以

令h(x)＝(x2－x－1)ex(x＞－1),若存在a,使得f(x)≤a＋b對任意x∈R 成立,等價于存在x∈(－1,＋∞),使得h(x)≤b,即b≥hmin(x).h′(x)＝(x－1)(x＋2)ex(x＞－1),當x∈(－1,1)時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減;當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增,所以hmin(x)＝h(1)＝－e,故b≥－e.

綜上,實數b的取值范圍為[－e,＋∞).

解法2 將不等式f(x)≤a＋b化為a(x－1)－xex－b≤0,可研究關于a的函數g(a)＝(x－1)axex－b.由題意知存在a＞0,使得不等式(x－1)axex－b≤0,可將問題轉化為gmin(a)≤0,下面我們研究關于a的函數g(a)＝(x－1)a－xex－b.

當x≥1時,gmin(a)＝g(0)＝－xex－b≤0,依題意,只需要對于任意x≥1,不等式－xex－b≤0恒成立,即任意x≥1,b≥－xex恒成立,只需要b≥－e.

綜上,實數b的取值范圍為[－e,＋∞).

3 解后反思

例2有三個未知元a,b,x,處理問題需要抓住“存在”“任意”“恒成立”等字眼將問題逐步轉化,解法1是常規的處理方法,將變量x視為函數的自變量也就是主元.在解決問題的過程中,將不等式恒成立轉化為函數的最值,充分利用好最值與極值的關系找到了參數a與極值點m之間的關系a＝(1＋m)em(m＞－1),將存在a轉化為存在m,利用了隱零點代換的思想處理,這樣可以將三元轉化為二元,得到不等式(m2－m－1)em－b≤0,此問題轉化為學生易于操作的問題.在處理過程中突顯減元思想,這也是處理多元函數問題常規的方法.解法2并沒有將其看成關于x的函數,而是打破了常規視角,注意到未知元a,b之間的無依賴關系,轉換視角視未知元a為主元,將其轉化為關于a的函數,構造函數g(a)＝(x－1)axex－b,此時未知元b,x在此構造的函數中充當了參數.將原問題轉化為存在a＞0,使得不等式(x－1)a－xex－b≤0有解,即轉化為函數φmin(a)≤0,這樣就可以將三個未知元減少為二個未知元,進一步將問題轉化為關于x的函數,根據x的任意性,問題又轉化為恒成立問題.在高考的壓軸題中經常會遇到含參數的函數問題,有時求導很復雜、分離參數難以奏效,如果采用轉換主元的思想來處理問題,會大大簡化運算過程.

4 “主元思想”的典型應用

4.1 主元轉換、換元輔助

4.2 變量獨立、主元切換

“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同.”從不同的角度看問題,結果也會不一樣.處理導數與不等式有關綜合問題的習慣性思維是以x為主元,當解答比較困難時,我們可以嘗試改變分析問題的角度,關注變量的構成,改變主元,逐步減元,排除參數的干擾,最終達到簡化問題的目的.

函數思想貫穿于整個高中數學學習之中,本文通過運用函數知識、函數思想、函數方法解決函數綜合題,突出對數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養的考查.