五法求解數(shù)列通項公式的思路例析

馬應(yīng)雄

(陜西省漢中市鎮(zhèn)巴中學(xué))

數(shù)列不僅在高中數(shù)學(xué)中占有不可或缺的地位,而且在高考中也有重要地位,求解數(shù)列的通項公式是經(jīng)常考查的知識點,通項公式能夠直接反映出數(shù)列的實質(zhì),是解答數(shù)列問題的關(guān)鍵所在.求解數(shù)列通項公式的題型多樣,求解方法靈活多變,很多學(xué)生還未真正掌握求解通項公式的方法.本文將利用幾個具有代表性的例題幫助學(xué)生理解和掌握求解數(shù)列通項公式的幾種常用方法,希望能夠幫助學(xué)生厘清思路,正確求解問題.

1 公式法

公式法是求解數(shù)列通項公式最簡單、最基礎(chǔ)的方法,主要利用等差數(shù)列或等比數(shù)列對應(yīng)的公式求解,即an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn,適用于能直接解得數(shù)列的首項和公差(或公比)的題目.利用公式法求數(shù)列通項公式的具體步驟如下:1)根據(jù)具體題意確定數(shù)列的類型;2)分析數(shù)列的首項、公差或公比,并利用對應(yīng)的公式計算,解得所求的數(shù)列通項公式.

2 累加法

累加法,也叫逐差疊加法,指的是多次相加求解的意思,其本質(zhì)是恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1),適用于差值不是相等就是有規(guī)律變化的情形.當(dāng)給定條件最終可轉(zhuǎn)化為形如an＋1＝an＋f(n)的形式時(f(n)可以是常數(shù),也可以是等差數(shù)列或關(guān)于n的一次函數(shù)、分?jǐn)?shù)函數(shù)等),便可利用累加法求解通項公式.利用累加法求通項公式的具體步驟如下:1)根據(jù)題意將已知條件轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)的形式;2)利用累加法,將各個等式等號左、右兩邊分別相加,計算解得通項公式;3)檢驗n＝1時上述通項公式是否成立,得到最終答案.

例2 若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n＋1,a1＝1,求數(shù)列{an}的通項公式.

分析 本題是一個典型的an＋1＝an＋f(n)型數(shù)列,將其整理成an＋1－an＝2n＋1的形式,直接利用累加法,解得an＝n2(n≥2),檢驗n＝1時上式也成立,確定an＝n2.

當(dāng)n＝1時,a1＝1,也滿足上式.因此,數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2.

3 累乘法

4 遞推作差法

遞推作差法是根據(jù)遞推公式采用逐項相減的方法求解問題,一般指的是利用公式Sn－Sn－1＝an求解數(shù)列的通項公式,適用于已知Sn與an的題目.利用遞推作差法求通項公式的具體步驟如下:1)作差,將題設(shè)中的等式兩兩相減解得出當(dāng)n≥2時的通項公式(Sn－Sn－1＝an)或公差;2)結(jié)合題意分析數(shù)列首項的值,進而解得數(shù)列的通項公式.

例4 (1)已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,an＞0,且滿足a2n＋2an＝4Sn＋3,求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－10n,求數(shù)列{an}的通項公式.

因為an＞0,所以an＋1－an＝2,當(dāng)n＝1 時,由a21＋2a1＝4S1＋3,解得a1＝3或－1(舍).因此,數(shù)列{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列.

綜上,{an}的通項公式為an＝2n＋1.

(2)當(dāng)n≥2 時,an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當(dāng)n＝1 時,a1＝S1＝12－10×1＝－9,也滿足an＝2n－11.因此,數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－11.

5 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是求解數(shù)列通項公式的常用方法,它是將一個多項式表示成含有待定系數(shù)的形式,進而得到一個恒等式,利用恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,再求出待定系數(shù)或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式.待定系數(shù)法適用于遞推式為an＋1＝pan＋q(p≠1,pq≠0)或an＋1＝pan＋qn＋1(p,q為常數(shù))等類型問題.利用待定系數(shù)法求通項公式的具體步驟如下:1)構(gòu)造等比數(shù)列,根據(jù)具體問題構(gòu)造形如an＋1＋x＝p(an＋x)的等式,解得x的值;2)代入x的值計算數(shù)列{an＋x}的通項公式,并借此解得所求數(shù)列的通項公式.

數(shù)學(xué)歸納法也是求解數(shù)列通項公式的常用方法,此方法對學(xué)生的能力要求較高,除此之外,還有一種簡單的方法——觀察法,即直接分析前幾項數(shù)列的規(guī)律和特點,直接解得通項公式.