例談非常規數列求和的方法

吳佳濤 馬煜彤 魏春強

(安康學院數學與統計學院)

1 裂項相消法

當數列的各項為分式時常用此方法.思路是把每一項分解成兩項和的形式使之在各項相加時消去一部分項,簡化解題過程.

例1 已知等比數列{an}的各項均為正數,且2a1＋3a2＝1,a23＝9a2a6.

(1)求數列{an}的通項公式;

2 倒序相加法

3 分段求和法

若觀察到一些非常規數列某些項的和具有特殊性質時,可以先將這些項放在一起求和,再求Sn.

例3 已知數列{an}滿足a1＝1,a2＝3,a3＝2,…,an＋2＝an＋1－an,求S2002.

由題意得a1＝1,a2＝3,a3＝2,a4＝－1,a5＝－3,a6＝－2,a7＝1,a8＝3,a9＝2,a10＝－1,a11＝－3,a12＝－2,…,a6k＋1＝1,a6k＋2＝3,a6k＋3＝2,a6k＋4＝－1,a6k＋5＝－3,a6k＋6＝－2,故S2002＝a1＋a2＋… ＋a2002＝(a1＋… ＋a6)＋(a7＋…＋a12)＋…＋(a6k＋1＋…＋a6k＋6)＋…＋(a1993＋…＋a1998)＋a1999＋a2000＋a2001＋a2002＝0＋…＋0＋a1999＋a2000＋a2001＋a2002＝a6k＋1＋a6k＋2＋a6k＋3＋a6k＋4＝5.

本題的難點在于發現數列{an}是以6 為周期的周期數列,從而把此求和問題轉化成了只要計算出前6項就能求解的問題,達到了化繁為簡的效果.此題的求解鍛煉了學生分析、推理能力.

4 并項求和法

當數列的通項公式中含有周期性的部分時,可考慮將數列的兩項或三項合并為一項將之轉化為等差數列或等比數列再求和.

例4 已知數列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－2),求S60.

當n＝2k－1 時,a2k－1＝(－1)2k－1[3(2k－1)－2]＝－6k＋5;當n＝2k時,a2k＝(－1)2k(3×2k－2)＝6k－2.構造新數列bk＝a2k－1＋a2k＝－6k＋5＋6k－2＝3,故S60＝a1＋a2＋…＋a60＝b1＋b2＋…＋b30＝3×30＝90.

數列{an}的通項公式中(－1)n具有周期性,且周期是2,據此將原數列每兩項看成一項,并項求和.

5 錯位相減法

求解形如An＝BnCn,其中{Bn}為等差數列,{Cn}為等比數列的求和問題時,先對數列An進行求和,列出Sn,記為式①,再將式①的每一項乘{Cn}的公比q,記為式②,然后錯開一位后用式①減去式②,從而完成對An的求和.

例5 (2021年天津卷19)已知{an}是公差為2的等差數列,其前8項和為64.{bn}是公比大于0的等比數列,b1＝4,b3－b2＝48.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

本題求解的關鍵是通過化簡計算發現所求式具備明顯的特征,即符合An＝BnCn的形式,其中{Bn}為等差數列,{Cn}為等比數列,適用錯位相減法求解.錯位相減法思路清晰,但步驟較多,解題時應細心,避免出錯.