巧借調整策略,妙解數列問題

李壽陽

(山東省濟南市章丘區第一中學)

以數列為問題背景的交會融合與創新應用問題,是近年新高考數學試卷中比較常見的一類問題.特別地,在數列中融入調整思維,可以很好地交會數列的概念、性質、公式等相關內容,還可以融入函數與方程、三角函數、不等式等其他相關知識,實現高考“在知識交會處命題”的指導方針,實現數學基礎知識、數學思想方法和數學能力的和諧統一,備受命題者的青睞.本文結合調整策略在求解相應的數列創新應用問題中的應用加以實例剖析,展示創新調整策略,總結問題的基本類型、破解問題的思維方法與技巧策略,以期拋磚引玉.

1 不動點調整策略

通過構建數列所涉及的“不動點”方程確定“不動點”的情況,結合題目條件,從“不動點”入手合理調整并創新應用.

分析 將數列的遞推關系式所對應的特征函數與直線y＝x聯立,構建“不動點”方程,確定對應的“不動點”.結合題目條件以及“不動點”加以合理調整與分類討論,進而確定數列不等式的恒成立問題,最終確定參數的取值范圍.

因為對任意的正整數n,都有an＞3,所以a1＝a＞3,結合圖像可知,當3＜a1＜4時,數列{an}單調遞增,有3＜a1＜an－1＜an＜4恒成立,符合題目條件.當a1＝4 時,數列{an}為常值數列,有an＝an－1＝a1＝4＞3 恒成立,符合題目條件;當a1＞4 時,數列{an}單調遞減,有3＜4＜an＜an－1＜a1恒成立,符合題目條件.

圖1

綜上,可知a＝a1＞3,故選B.

2 分組調整策略

結合題目條件對數列中滿足條件的不同情況進行合理分組,進而巧妙調整,從而得以確定滿足條件的數列屬性.

例2 (2021年上海卷12)已知ai∈N*(i＝1,2,3,…,9),對任意的k∈N*(2≤k≤8),ak＝ak－1＋1或ak＝ak＋1－1中有且僅有一個成立,且a1＝6,a9＝9,則a1＋a2＋…＋a9的最小值為________.

分析 基于對題目條件的直觀理解,考慮到原數列對相鄰兩項的創新規定,通過合并相鄰兩項加以分組處理.對數列的前兩項(或后兩項)的不同分組情況進行分類討論,并加以分組調整,確定對應數列的和式的最小值,比較兩者不同情況下所得的最小值,即可得所求的答案.

解 將兩個數視為一組來考慮,則有ak－1＋ak≥1＋2＝3(k≥2).

下面只需要考慮以下兩種情況即可.

若a1,a2為同一組,則有a1＋a2＋…＋a9＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＋a9≥(6＋7)＋3＋3＋3＋9＝31.

若a8,a9為同一組,則有a1＋a2＋…＋a9＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋(a6＋a7)＋(a8＋a9)≥6＋3＋3＋3＋(8＋9)＝32.

綜上,a1＋a2＋…＋a9的最小值為31.

解決涉及數列問題中唯一性成立條件的問題,經常借助條件成立的不同情況進行合理分組,結合分組情況適當調整與變換,從而得以展開與應用.

3 局部調整策略

分析 利用題目條件巧妙構造數列,通過等差數列的定義分析與判斷所構造數列的類型,結合數列所對應的關系式進行局部調整,構建涉及參數的一次方程,進而確定對應的參數值問題.

解決涉及含參的數列創新應用問題時,可以結合題目條件中的等量關系,合理構造一個新的數列,通過研究新數列的定義、通項等合理變形與轉化,從而確定參數的取值.

4 整體調整策略

結合題目條件對數列中滿足條件的情境進行合理變形與轉化,構建對應的函數、方程,或利用其他相關知識進而巧妙調整,結合整體思維的應用,從全局角度分析相應的數列問題.

分析 將題目條件中滿足方程組的數列的通項an用首項a1和公差d表示,并進行轉化,確定d的表達式.根據方程組從整體視角合理調整,結合三角函數關系式中變量的取值(三角函數的有界性)以及對應的系數關系進行分析,進而確定相應的最值.

解 因為a1sinx1＋a2sinx2＋a3sinx3＋…＋a9sinx9＝25,由等差數列得

解決涉及多變量的數列創新應用問題,關鍵是綜合利用數列的概念、性質以及其他相關知識,抓住全局思維與條件限制,借助整體思維巧妙推理與分析,從而解決問題,考查了數學運算能力、分析與解決問題能力以及邏輯推理能力.

數列創新應用問題具有新穎創新、變化多端、形式多樣的特點,很好地實現數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相關知識的交會與融合,具有較好的選拔性與區分度.調整思維、整體思維以及邏輯推理能力的應用,在數學解題能力的提高以及核心素養的培養等方面都有很好的促進作用.