數(shù)學(xué)解題的金鑰匙
——化歸與轉(zhuǎn)化

張欣然

(北京中學(xué))

1 思想概述

在解題實(shí)踐中,尋求正確有效的解題思路,意味著尋找一條擺脫困境、繞過(guò)障礙的途徑.因此,思考的重點(diǎn)就是把所需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已能解決的問(wèn)題.也就是說(shuō),在直接求解不易或從正面難以找到解題途徑時(shí),我們往往通過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式,從側(cè)面或反面尋找突破口,直到最終把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)或若干個(gè)熟知的或易解決的問(wèn)題,這就是數(shù)學(xué)思維中重要的思想——化歸與轉(zhuǎn)化思想.

在用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),一個(gè)必要的前提是,化歸變形后的問(wèn)題必須是易解決的(即化歸后所得到的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)比原來(lái)的問(wèn)題簡(jiǎn)單或是已經(jīng)解決的問(wèn)題).因此,化歸與轉(zhuǎn)化的方向應(yīng)當(dāng)是由抽象到具體、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、由難到易、由繁到簡(jiǎn).

每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都是在不斷地轉(zhuǎn)化中獲得解決的,即使是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法(如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等)也都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的表現(xiàn)形式.

2 轉(zhuǎn)化方法

2.1 “正”與“反”的轉(zhuǎn)化

在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),從正面思考是常用的思維方式,但有些問(wèn)題若按這種常規(guī)的思維方式求解可能會(huì)遇到困難,此時(shí),用逆向思維即從反面去思考,往往能夠化難為易.

當(dāng)正面考慮問(wèn)題困難或情況較復(fù)雜時(shí),可以從反面入手求解,這樣求解具有既嚴(yán)謹(jǐn)又簡(jiǎn)捷的優(yōu)勢(shì).

2.2 “一般”與“特殊”的轉(zhuǎn)化

對(duì)于一時(shí)難以入手的問(wèn)題,一種簡(jiǎn)單易行的化歸途徑是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化.由于特殊的事物與普通規(guī)律有著自然的聯(lián)系,所以這種方法有兩種類型:一是將簡(jiǎn)單情形作為解決問(wèn)題的突破口;二是特殊對(duì)象(包括著眼于極端情形)為求解問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

圖1

分析 可以從點(diǎn)P的特殊位置——橢圓與y軸交點(diǎn)B入手分析.

2.3 “數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩種最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以相互轉(zhuǎn)化.利用數(shù)形結(jié)合思想,不但容易找到解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

例3 已知方程f(x)＝x3－3x,如果方程|f(x)|－m＝0有六個(gè)不同的解,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

分析 要保證“帶有絕對(duì)值符號(hào)的三次方程有六個(gè)解”,從正面思考比較困難,但是可以化歸為研究函數(shù)y1＝|f(x)|與y1＝m的圖像交點(diǎn)問(wèn)題.

解 因?yàn)閒(x)＝x3－3x,所以f′(x)＝3x2－3,令f′(x)＝0,得到x＝1或－1.當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在[1,＋∞)和(－∞,－1]上單調(diào)遞增,當(dāng)－1＜x＜1時(shí),f′(x)＜0,所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減.知f(－1)＝2,f(1)＝－2,畫(huà)出y＝|f(x)|的圖像,如圖2所示.方程|f(x)|－m＝0有六個(gè)不同的解,則y＝|f(x)|的圖像與y＝m的圖像就有六個(gè)交點(diǎn),觀察圖像可以得出0＜m＜2.

圖2

要想靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題,要注意以下三點(diǎn):1)需要平時(shí)在二者的“結(jié)合”上多下功夫,多積累常見(jiàn)的“結(jié)合點(diǎn)”;2)畫(huà)圖盡量準(zhǔn)確,這就需要學(xué)生打好扎實(shí)的畫(huà)圖基本功;3)利用數(shù)形結(jié)合思想解題在書(shū)寫(xiě)步驟時(shí),一定要敘述嚴(yán)謹(jǐn),防止發(fā)生因解題不規(guī)范而失分的現(xiàn)象.

2.4 “高維”向“低維”的轉(zhuǎn)化

由“高維”向“低維”的轉(zhuǎn)化是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常用方法,是“以退為進(jìn)”策略的一種體現(xiàn).主要是將空間問(wèn)題平面化,將高次問(wèn)題低次化,通過(guò)轉(zhuǎn)化使問(wèn)題獲解.

圖3

分析 線段CP在平面BC1C內(nèi),線段PA1在平面A1BC1內(nèi),這兩個(gè)平面有公共交線BC1,因此可以考慮把這兩個(gè)平面展開(kāi)在同一平面內(nèi),這樣就能把一個(gè)“三維”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)“二維”問(wèn)題.

圖4

解 連接A1B,將△CBC1展開(kāi)與△A1BC1在同一平面內(nèi),如圖4 所示,連接A1C,則A1C的長(zhǎng)度就是CP＋PA1的最小值.

將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解,是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法,探索空間內(nèi)兩點(diǎn)距離的最短問(wèn)題時(shí),常用“展開(kāi)”變換,化曲(折)為直,從而把“折線拉成直線,曲面展成平面”,使問(wèn)題得以巧妙解決.

2.5 “整體”與“局部”的轉(zhuǎn)化

當(dāng)a＞1時(shí),2a＞a＋1.當(dāng)x＞2a或0＜x＜a＋1時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)a＋1＜x＜2a時(shí),f′(x)＜0.因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a＋1)和(2a,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(a＋1,2a).

當(dāng)0＜a＜1時(shí),2a＜a＋1.當(dāng)x＞a＋1或0＜x＜2a時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)2a＜x＜a＋1時(shí),f′(x)＜0.因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2a)和(a＋1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(2a,a＋1).

當(dāng)a＝1時(shí),2a＝a＋1,f′(x)≥0(只在x＝2a處等于0),所以函數(shù)f(x)在定義域(0,＋∞)上是增函數(shù).

當(dāng)不能對(duì)問(wèn)題所給的對(duì)象進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類,然后分別研究每一類,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.實(shí)際上,分類討論就是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略.

3 備考建議

1)熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ),平時(shí)要養(yǎng)成善于反思的好習(xí)慣,注意歸納總結(jié)一些常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化模型,如不等式恒成立問(wèn)題常可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題.

2)在化歸與轉(zhuǎn)化時(shí)要明確三點(diǎn):a)將什么東西轉(zhuǎn)化,即轉(zhuǎn)化的對(duì)象;b)轉(zhuǎn)化到何處去,即轉(zhuǎn)化的目標(biāo);c)如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即轉(zhuǎn)化的方法.

3)注意化歸的等價(jià)性,確保邏輯正確.化歸包括等價(jià)化歸和非等價(jià)化歸,等價(jià)化歸后的問(wèn)題與原問(wèn)題本質(zhì)是一樣的,不等價(jià)化歸則部分改變了原對(duì)象的本質(zhì),需要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正.