一道高考試題的母題探究與變式研究

鄭慶剛

(山東省濟南市萊蕪第一中學)

本文主要以2021年全國乙卷的數列試題為研究對象,對該題的母題來源進行分析,并以該題為基礎進行變式研究,以期達到會一題、通一類的效果.

1 真題分析

2 母題探究

母題1 (2020年全國Ⅰ卷理17)設{an}是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.

2021年全國乙卷的數列試題在2020年的基礎上增加了難度,但從解析中可以清晰地發現,考點和解決方法完全吻合,第(1)問都是以等比數列為背景,要結合等差中項進行計算,列出的式子也是關于公比的一元二次方程,第(2)問都是考查了錯位相減法求和.區別僅在于2021年的試題增加了等比數列的求和.

母題2 設等差數列{an}的公差為d,前n項和為Sn,且滿足d＝－2,S4＝76.等比數列{bn}滿足b1＋b3＝10,b2＋b4＝20.

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

(2)設cn＝(23－an)bn,求數列{cn}的前n項和Tn.

分析試題發現2021 年的全國乙卷的數列{bn}和本題的數列{cn}相對應,都是考查了錯位相減法求和,題干都是以等差數列、等比數列為命題背景,該題考查了等差數列的前n項和公式,真題則是考查了等比數列的前n項和公式.

3 變式研究

通過對真題的分析發現,解決數列問題首先應掌握數列的基礎知識,要掌握常見的數列求和方法.下面以母題為原型,對該題進行深入探究,作出以下變式,供讀者賞析.

變式1 已知數列{an}是公差為2的等差數列,它的前n項和為Sn,且a1,a3,a7成等比數列.

(1)求數列{an}的通項公式;