多元條件最值問題的求解方法

翁 標

(福建平潭嵐華中學)

多元條件最值問題是高考的一個熱點,代數變形、合理轉化、換元消元、配方化簡是常見的解題技巧,解題時要對主元思想、方程觀點、函數思想等不斷琢磨、反復思考.本文對處理多元條件最值問題的常用求解方法進行歸納總結,以期幫助學生開闊解題思路,鍛煉學生靈活應用知識分析和解決問題的能力.

1 判別式法

判別式法是將所求的最值問題轉化為一元二次方程有根的問題,然后利用方程有根的充要條件,得到判別式大于或等于零,進而求解所需最值.

例1 已知2x2＋3xy＋2y2＝1,求z＝x＋y＋xy的最小值.

2 消元法

消元法是依據題設條件消去部分變量,將問題轉化為一元函數的最值問題,這一方法體現了數學中的轉化思想.

3 三角換元法

4 基本不等式法

5 柯西不等式法

柯西不等式是一個非常重要的不等式,巧妙地運用它可以使一些較為困難的問題迎刃而解.在使用柯西不等式求最值時,往往要采取一些技巧,如巧拆常數、巧變結構、巧設數組等.

6 幾何法

幾何法是受到線性規劃問題的啟發,將多元條件和所求式子同時體現在圖形中,運用數形結合思想求最值.

例6 已知x2＋y2＝1,求2x＋y的最大值和最小值.

圖1

實戰演練 設實數x,y滿足條件x2＋y2－2x＋2y＋1＝0,求x－y的最大值.

答案 2＋2.

多元條件最值問題技巧性強,方法靈活多變,我們在練習的過程中要注重不同方法間的比較.對于同一道題目,可以嘗試用不同的方法求解,在不斷練習的過程中體會其中蘊含的數學思想,品味數學世界的妙趣橫生.