坐標系與參數方程的題型與解法

廖永福

(福建省廈門第二中學)

坐標系與參數方程是人教A 版高中數學教材《選修4-4》的內容,也是高考全國甲卷和乙卷的選考內容,一般以解答題的形式出現,難度中等,分值10分,主要考查極坐標方程、參數方程與直角坐標方程的互化,極坐標方程與參數方程的應用等.本文以近幾年高考試題為例,說明如下.

1 直角坐標方程與極坐標方程的互化

例1 (2018年北京卷理10)在極坐標系中,直線ρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0)與圓ρ＝2cosθ相切,則a＝________.

分析 根據公式ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,將直線與圓的極坐標方程分別化為直角坐標方程,再根據圓心到直線的距離等于半徑列出方程,求出a的值.

解 由ρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0),得x＋y＝a(a＞0).由ρ＝2cosθ,得ρ2＝2ρcosθ,即x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.

2 直角坐標方程與參數方程的互化

3 極坐標方程的應用

例5 (2017 年全國Ⅱ卷理22)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.

圖1

4 參數方程的應用

5 綜合應用