數列求和模型的探究與應用

高成龍

(天津外國語大學附屬外國語學校)

數列是高中數學中的重要知識,其中《普通高中數學課程標準2017年版2020年修訂》在數列部分指出:一方面,要培養學生從實際問題抽象出數列模型的能力;另一方面,要體現數列是一種特殊的函數,通過列表、圖像、通項公式表示數列,將數列融入函數中.因此,學習數列可以培養學生的數學建模能力,另外它獨特的遞推關系又可以培養學生的數學抽象、直觀想象與邏輯推理能力.(an2＋bn＋c)·qn型數列涵蓋了高中學習的等差數列、等比數列、差比數列、{(－1)n·(an2＋bn＋c)}型數列.本文利用特殊到一般的思想,對(an2＋bn＋c)·qn型數列中的a,b,c,q進行分類討論,依次得到了以上數列的求和模型,最后給出一般的(an2＋bn＋c)·qn型數列求和模型.

1 等差數列求和模型

需要說明的是常數C,B的形式復雜,不要求強制記憶,解題時可根據S1,S2利用待定系數法求得.

2 等比數列求和模型

當a＝b＝0,c≠0時,an＝c·qn,此時{an}為等比數列,下面給出等比數列求和模型.

模型2 設{an}是首項為a1,公比為q(q≠1)的等比數列,則數列{an}前n項和模型為Sn＝Aqn－A,其中常數A可以由a1,q唯一確定.

3 差比數列求和模型

4 (an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0)型數列求和模型

當a≠0,q＝－1時,an＝(an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0),下面我們探究該類型數列的求和模型.

模型4 若數列{an}滿足an＝(－1)n·(an2＋bn＋c),則{an}的前2n項和模型為S2n＝2an2＋(a＋b)n.

5 (an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1)型數列求和模型

模型5 若數列{an}滿足an＝(an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1),則數列{an}的前n項和模型為Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A),其中A,B,C為待定系數,可以利用a1,a2,a3求得.

證明an＝(an2＋bn＋c)·qn＝aqn2·qn－1＋(bn＋c)·qn.

由模型3-1得數列{(bn＋c)·qn}的前n項和為An＝A1＋qn·(B1n－A1).

(an2＋bn＋c)·qn型數列求和模型Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A)是一個通用模型,它是數列求和模型的紐帶,利用該模型能研究等差數列、等比數列、差比數列等系列數列的求和問題.總之,利用數列求和模型求解數列前n項和將數列求和問題轉化為方程組的求解問題,體現了系列問題模型化、抽象問題直觀化、復雜問題簡單化的數學思想.作為教師,我們在教學中要善于總結規律,要鼓勵和引導學生建立一些常見的數學模型并能通過數學模型求解問題,讓學生親身經歷將數學問題抽象成數學模型并應用的過程,讓學生從中獲得知識的同時發展思維能力、情感態度與價值觀.另外在教學中我們提倡模型多元化,對于同一問題可以選擇用不同的模型去求解,這一過程可以培養學生根據問題特點及運算的條件合理選擇運算方法的能力,進一步提升學生的數學運算素養,培養學生勇于創新的精神.