廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)異步故障檢測濾波

張志涵,戴菲菲,朱鳳增,彭 力,3

(1.江南大學 物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)教育部工程中心，江蘇 無錫 214122; 2.臺州市產(chǎn)品質(zhì)量安全檢測研究院，浙江 臺州 240610;3.無錫太湖學院 江蘇省物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)重點建設(shè)實驗室，江蘇 無錫 214064)

0 引言

馬爾科夫跳變系統(tǒng)作為一種可以模擬結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生突然變化的特殊隨機混合系統(tǒng)，在過去幾十年里受到廣泛關(guān)注，其應(yīng)用涵蓋了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等多個領(lǐng)域[1-2]。 相比于傳統(tǒng)的馬爾科夫跳變系統(tǒng)，廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)是一種更為復(fù)雜的混雜動態(tài)系統(tǒng)，可以更精確地描述系統(tǒng)動態(tài)特性。 對離散廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)進行分析時，需要考慮系統(tǒng)的正則性、因果性、穩(wěn)定性，目前，針對廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的研究也越來越多[3-5]。 例如，文獻[3]針對一類Markov跳變參數(shù)的離散廣義系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)移概率部分未知的情況下，研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定控制問題；文獻[4]研究了具有時變時滯的非線性不確定離散廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的H∞濾波問題；文獻[5]研究了具有執(zhí)行器飽和的離散廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的H∞控制問題。

隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展，人們對被控制系統(tǒng)的安全性和可靠性越來越重視。 文獻[6]從提升系統(tǒng)可靠性的角度出發(fā)，借助Markov過程模型，針對系統(tǒng)的可靠性進行量化分析。 在這種情況下，針對系統(tǒng)在運行過程中可能發(fā)生的故障，及時有效地進行檢測，對保證系統(tǒng)安全、可靠地運行有重要意義，所以故障檢測技術(shù)得到了很大關(guān)注。 但由于實際系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)變化隨機性強，因此對馬爾科夫跳變系統(tǒng)這一隨機混合系統(tǒng)的故障檢測問題也得到了很多關(guān)注。 文獻[7]采用T-S模糊方法研究了非齊次馬爾科夫跳變系統(tǒng)的故障檢測濾波問題；文獻[8]中研究了具有時變時滯和參數(shù)不確定性的廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的故障檢測濾波問題；文獻[9]針對部分轉(zhuǎn)移概率未知的廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)，設(shè)計了一種故障檢測觀測器，此觀測器不僅對故障敏感，而且對干擾具有魯棒性。

濾波或估計是通過量測值重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，它以“預(yù)測-實測-修正”的順序遞推，根據(jù)系統(tǒng)的量測信息，剔除隨機干擾信息，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的測量值從被“污染”的系統(tǒng)中估計系統(tǒng)的實際面目。濾波技術(shù)在眾多應(yīng)用領(lǐng)域中都發(fā)揮著重要作用，如信號處理、目標跟蹤和圖像處理等，文獻[10]就研究了魯棒邊緣粒子濾波算法，并在平面跟蹤模型中進行了仿真驗證。在針對馬爾科夫跳變系統(tǒng)的故障檢測研究中，故障檢測濾波器是指采用解析模型的方法，設(shè)計一個基于濾波器的故障檢測方案，通過濾波器的濾波功能估計離散廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的狀態(tài)值，得到殘差信號，也就是說將以濾波器為基礎(chǔ)的故障檢測問題最終轉(zhuǎn)化成了H∞濾波問題，然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造一個與殘差信號相關(guān)的評價函數(shù)以及閾值，通過評價函數(shù)與閾值的比較來判斷故障是否已經(jīng)發(fā)生，系統(tǒng)是否會產(chǎn)生故障警報，最終實現(xiàn)對系統(tǒng)的故障檢測功能。

現(xiàn)有的針對馬爾科夫跳變系統(tǒng)的研究成果中，通常假設(shè)控制器或濾波器可以精確獲得系統(tǒng)模態(tài)信息。 然而，在實際工業(yè)應(yīng)用中，由于有限的物理裝置存在識別系統(tǒng)模態(tài)不及時、傳輸丟包等現(xiàn)象，導致這種假設(shè)在實際中很難實現(xiàn)。 為了克服模態(tài)依賴控制器或濾波器的缺點，一種解決方案是設(shè)計模態(tài)獨立的控制器或濾波器[11-12]。 顯然，在模態(tài)獨立的設(shè)計方法中，系統(tǒng)模態(tài)信息即使是可用的，也被完全忽略了，因此模態(tài)獨立的設(shè)計方法并不是處理系統(tǒng)模態(tài)與濾波器模態(tài)之間復(fù)雜異步現(xiàn)象的最佳選擇，該方法具有一定程度的保守性。 為了解決這一問題，一種新的濾波器方法，即異步濾波器引起了越來越多的關(guān)注[13-15]。 例如，文獻[13]設(shè)計了一種異步濾波器，研究了具有傳感器非線性的馬爾科夫跳變系統(tǒng)的l2-l∞濾波問題；文獻[14]中為時變時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)設(shè)計了一種異步H∞狀態(tài)反饋控制器；文獻[15]研究了衰落信道下非線性馬爾科夫跳變系統(tǒng)在頻域內(nèi)的異步故障檢測問題。

在一些通信帶寬有限的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中，采用事件觸發(fā)機制可以有效地節(jié)約通信資源。 與時間觸發(fā)機制相比，事件觸發(fā)機制僅在滿足事件觸發(fā)條件時才會傳輸信號，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，有效地降低了系統(tǒng)資源消耗，已經(jīng)引起了人們廣泛關(guān)注[16-17]。 文獻[16]研究了事件觸發(fā)機制下的離散馬爾科夫跳變系統(tǒng)的故障檢測濾波問題；文獻[17]中研究了具有事件觸發(fā)通信機制的離散時變系統(tǒng)的分布式濾波問題。

因此，本文研究了具有事件觸發(fā)機制的廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的異步故障檢測濾波問題。 考慮了系統(tǒng)模態(tài)和濾波器模態(tài)之間的異步現(xiàn)象，使用兩種不同的馬爾科夫鏈分別代表系統(tǒng)模態(tài)和濾波器模態(tài)，提出了一種異步故障檢測濾波器設(shè)計方法，這種方法可以充分利用系統(tǒng)的模態(tài)信息，比模態(tài)獨立的故障檢測濾波器設(shè)計方法的保守性小；引入了事件觸發(fā)機制，與時間觸發(fā)機制相比，減少了數(shù)據(jù)傳輸量，降低了網(wǎng)絡(luò)上的通信負擔；以線性矩陣不等式的形式給出了使殘差誤差系統(tǒng)正則、因果和隨機穩(wěn)定的且滿足H∞性能的充分條件。 最后通過一個仿真例子說明該方法的有效性并對比分析了在不同的事件觸發(fā)閾值參數(shù)下的性能情況。

1 故障檢測濾波器的算法描述

在固定概率空間下，考慮如下離散廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)模型：

(1)

其中:x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，ω(k)∈Rl為外部干擾輸入向量，f(k)∈Rq為被檢測的故障向量，設(shè)ω(k)和f(k)均為l2范數(shù)有界向量，y(k)∈Rp為系統(tǒng)測量輸出向量，矩陣E∈Rn×n為奇異矩陣，并滿足rank(E)=r

為了降低通信負擔，節(jié)約有限的通信資源，引入如下的事件觸發(fā)機制：

g(k)=εΤ(k)ε(k)-σyΤ(k)y(k)

(2)

其中:ε(k)=y(ku)-y(k)，k表示當前時刻，ku表示在當前時刻之前最新的事件觸發(fā)時刻，u標記為傳輸時刻。

注1:系統(tǒng)測量輸出的最新數(shù)據(jù)只有當滿足觸發(fā)條件ku+1=min{k∈N|k>ku，g(k)>0}時才會發(fā)送到相應(yīng)的故障檢測濾波器。 與傳統(tǒng)的時間觸發(fā)機制相比，事件觸發(fā)機制可以減少冗余信息的傳輸，通過事件觸發(fā)閾值參數(shù)σ來平衡網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)耐ㄐ咆摀岣吡速Y源利用率。

然后設(shè)計如下的異步故障檢測濾波器：

(3)

其中:xf(k)∈Rn為狀態(tài)估計，r(k)∈Rp為故障檢測濾波器的殘差輸出，Af(δ(k))，Bf(δ(k))，Cf(δ(k))為待確定的參數(shù)矩陣。 與系統(tǒng)模態(tài)θ(k)不同，濾波器中引入了新的隨機變量δ(k)來描述濾波器模態(tài)。

注2:在實際系統(tǒng)中，模態(tài)依賴濾波器可能存在無法準確獲得系統(tǒng)模態(tài)的缺點，為了克服這一缺點通常選擇模態(tài)獨立濾波器，但顯然模態(tài)獨立濾波器由于完全忽略了系統(tǒng)的模態(tài)信息，具有一定的保守性，且不能很好地解決系統(tǒng)模態(tài)與濾波器模態(tài)之間復(fù)雜的異步現(xiàn)象。 因此為了處理這一復(fù)雜的異步現(xiàn)象，在式(3)中引入了一種新的故障檢測濾波器，即異步故障檢測濾波器。 使用兩個不同的馬爾科夫鏈分別代表系統(tǒng)模態(tài)θ(k)和濾波器模態(tài)δ(k)，這個濾波器模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)是異步的，但是與系統(tǒng)模態(tài)之間又存在一定的概率關(guān)系，δ(k)不僅與δ(k-1)有關(guān)，而且還與θ(k)有關(guān)，這意味著故障檢測濾波器可以充分利用系統(tǒng)模態(tài)的信息。 與模態(tài)獨立的故障檢測濾波器相比，降低了保守性。

(4)

其中:

本文的目的是在考慮系統(tǒng)模態(tài)和濾波器模態(tài)異步的情況下，設(shè)計如式(3)所示的異步故障檢測濾波器，對所有系統(tǒng)干擾輸入，系統(tǒng)(4)是正則、因果、隨機穩(wěn)定的并且給定一個標量γ>0，使得殘差誤差re(k)滿足如下的Η∞性能指標：

(5)

在本小節(jié)的最后部分，介紹一下后續(xù)證明將用到的定義、引理及檢測故障所用到的評價函數(shù)和閾值的公式。

定義1[18]:對于系統(tǒng)(4)：

那么系統(tǒng)(4)是隨機穩(wěn)定的；

④如果系統(tǒng)(4)是正則，因果和隨機穩(wěn)定的，那么它是隨機容許的。

本文選擇評價函數(shù)和閾值分別如下：

(6)

其中:k0表示初始評價時刻，S表示選擇的時間窗寬度。 從評價函數(shù)和閾值的公式中可以看出：評價函數(shù)是由殘差信號r(k)所構(gòu)造的，用來評估所設(shè)計的故障檢測濾波器的檢測效果，閾值則為不存在故障時的評價函數(shù)的最大值。 且時間窗寬度S越大，代表需要累加計算的殘差數(shù)據(jù)越多，所需要的故障檢測判斷的時間就越長，而采用較小的時間窗寬度，代表了所需要的故障檢測判斷的時間較短，故障檢測靈敏度更高。

通過式(7)所示的故障判斷規(guī)則檢測系統(tǒng)是否發(fā)生故障，當評價函數(shù)的數(shù)值高于閾值時，系統(tǒng)是存在故障的，發(fā)出警報，當評價函數(shù)的數(shù)值小于或者等于閾值時，系統(tǒng)則沒有故障，正常工作：

(7)

引理1[19]:如果存在矩陣A，R=RΤ以及Q>0使得AΤQA-R<0，那么存在一個矩陣G使得:

(8)

2 故障檢測濾波器的性能分析

本節(jié)將通過定理1給出系統(tǒng)(4)是正則、因果和隨機穩(wěn)定并且滿足Η∞性能指標的充分條件。

(9)

證明:首先證明系統(tǒng)(4)是正則和因果的。 構(gòu)造非奇異矩陣M和N為以下形式：

其中:H是具有適當維數(shù)的非奇異矩陣。

經(jīng)過簡單的計算容易得到不等式：

(10)

ΔV={V(k+1)|V(k)}-V(k)=

之后通過進一步的計算就可以得到:

因此:

(11)

顯然，利用Schur引理，式(9)中隱含Λip<0。 因此，我們可以得到:

(12)

也就是說，在式(12)的兩邊同時累加，且滿足趨于∞時，可以得到不等式:

(13)

定義性能函數(shù)為:

(14)

由簡單計算可以得到：

(15)

利用Schur引理，式(9)等于Ψip，因此Ψip<0，滿足成立，即系統(tǒng)(4)具有Η∞性能。 以上推導得到了系統(tǒng)(4)是正則、因果、隨機穩(wěn)定并滿足Η∞性能的充分條件，定理1證明完畢。

3 故障檢測濾波器的設(shè)計

上一節(jié)證明了系統(tǒng)(4)是正則、因果、隨機穩(wěn)定和滿足式(5)所示的Η∞性能指標的，并給出了詳細的分析過程。 基于上述分析，本小節(jié)將針對廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)，主要研究事件觸發(fā)基礎(chǔ)下的異步故障檢測濾波器的設(shè)計問題。

<0

(16)

Ξ33=Ξ44=Ξ96=Ξ99=Ξ1010=-I，Ξ55=Ξ66=-γ2I，

那么系統(tǒng)(4)是隨機容許且穩(wěn)定的，并且具有Η∞性能，且期望的故障檢測濾波器的參數(shù)可以表示為：

(17)

(18)

接下來定義:

用T及其轉(zhuǎn)置分別左乘和右乘式(18)的左邊和右邊，并定義滿足下式:

通過計算可以得到:

之后利用線性變換經(jīng)過簡單的計算，即可解出期望的故障檢測濾波器參數(shù)，如式(17)所示。

定理2證明完畢。

注4:使用MATLAB中的LMI工具仿真可以得到所期望的異步故障檢測濾波器，式(6)給出了閾值和通過殘差構(gòu)造的評價函數(shù)的計算方法，通過式(7)所示的故障判斷規(guī)則，比較評價函數(shù)和閾值之間的大小情況，就可以判斷出系統(tǒng)是否發(fā)生了故障。

在很多實際應(yīng)用中，性能指標γ是一個系統(tǒng)的重要指標，為了獲得最小Η∞性能指標γ，線性矩陣不等式(16)可以轉(zhuǎn)化為如下凸優(yōu)化問題的求解。

s.t. 式(16).

4 仿真設(shè)計與分析

根據(jù)上述分析，本節(jié)將通過一組參數(shù)矩陣，利用MATLAB仿真，證明所提出的廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的事件觸發(fā)異步故障檢測濾波器的有效性并對其性能進行分析。

針對廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)(1)，其選取的參數(shù)矩陣如下所示：

假設(shè)廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)(1)包含兩個系統(tǒng)模態(tài)，相應(yīng)的馬爾科夫鏈θ(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

以及假設(shè)所設(shè)計的異步故障檢測濾波器(3)有三個模態(tài)，則其馬爾科夫鏈δ(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為[13]:

即當θ(k)為模態(tài)1時，異步故障檢測濾波器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率符合矩陣Γ1中的概率情況，當θ(k)為模態(tài)2時，異步故障檢測濾波器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率符合矩陣Γ2中的概率情況。

假設(shè)初始時間k0=0，時間寬度S=80，如圖1所示，選取系統(tǒng)的干擾輸入ω(k)為幅值小于0.2的隨機信號，故障信號f(k)的模型如下，只在20≤k≤40時有數(shù)據(jù)，其余時刻則為零，也就是說假設(shè)系統(tǒng)只在20≤k≤40時存在故障，其余時刻則沒有故障，即:

圖1 外部干擾ω(k)

選取事件觸發(fā)閾值參數(shù)σ=0.3，利用MATLAB的LMI工具箱可以得到所設(shè)計的異步故障檢測濾波器參數(shù)矩陣如下：

圖2為事件觸發(fā)閾值參數(shù)σ=0.3時的系統(tǒng)輸出釋放時間和釋放時間間隔，可以看出在事件觸發(fā)機制的作用下，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸率僅有62.5%，與時間觸發(fā)機制相比，系統(tǒng)只在滿足事件觸發(fā)機制條件(2)時才會傳輸數(shù)據(jù)，這大大降低了系統(tǒng)的通信負擔，節(jié)約了通信資源。 圖3為故障檢測濾波器的殘差信號r(k)，從圖中可以明顯看到，當20≤k≤40即故障信號f(k)存在時，殘差信號r(k)的曲線發(fā)生了明顯的變化，遠遠高于沒有故障信號存在時的情況，當k≤20或k≥40即故障信號為0時，殘差信號r(k)的曲線趨于平穩(wěn)。

圖2 事件觸發(fā)釋放時間和時間間隔的關(guān)系圖

圖3 殘差信號r(k)

圖4為殘差評價函數(shù)J(r，k)的曲線，分別用實線表示系統(tǒng)無故障時的情況以及用虛線表示系統(tǒng)有故障時的情況。

圖4 殘差評價函數(shù)J(r,k)

上述證明了本文所設(shè)計的故障檢測濾波器的有效性，下面給出當選取不同的事件觸發(fā)閾值參數(shù)σ時，對濾波器的性能影響、數(shù)據(jù)傳輸率變化以及相應(yīng)的故障檢測時間的影響，如表1所示。

表1 不同σ值下的參數(shù)值

表1的結(jié)果表明，σ值越大，則γ值越大，數(shù)據(jù)傳輸率會降低，相應(yīng)的故障檢測時間越長。 與時間觸發(fā)機制相比，事件觸發(fā)機制的數(shù)據(jù)傳輸量要低于時間觸發(fā)機制的數(shù)據(jù)傳輸量，隨著事件觸發(fā)閾值參數(shù)σ的增大，數(shù)據(jù)傳輸率會逐漸降低，對故障檢測的靈敏度產(chǎn)生一定的影響，也就是說若選取的參數(shù)σ過小，則結(jié)果會類似于時間觸發(fā)方案，不能很好地節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源，但如果選取的參數(shù)σ過大，可能會由于數(shù)據(jù)傳輸少而導致影響濾波性能，延長檢測到故障所需的時間。因此，事件觸發(fā)閾值參數(shù)過大或者過小，都有可能導致系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，利用事件觸發(fā)機制降低數(shù)據(jù)傳輸量和通信負擔的前提是要保持系統(tǒng)穩(wěn)定性和保證檢測故障所需時間，保證系統(tǒng)可以穩(wěn)定運行。

表2 不同σ值下兩種故障檢測濾波器的γ值對比

5 結(jié)束語

本文研究了基于事件觸發(fā)機制的離散時間廣義馬爾科夫跳變系統(tǒng)的異步故障檢測濾波問題。 為了解決系統(tǒng)模態(tài)與濾波器模態(tài)之間的異步現(xiàn)象，使用兩個不同的馬爾科夫鏈分別代表系統(tǒng)模態(tài)和濾波器模態(tài)，設(shè)計了一個異步的故障檢測濾波器。 然后引入了事件觸發(fā)機制以減少通信負擔，節(jié)約通信資源。 以線性矩陣不等式的形式給出了濾波器存在的充分條件，所設(shè)計的濾波器能夠使殘差誤差系統(tǒng)是正則、因果、隨機穩(wěn)定的并且滿足Η∞性能。 最后通過仿真例子證明了所設(shè)計的異步故障檢測濾波器是有效的。