L1范數估計平差原理及抗差性分析

王冠宇

（山東理工大學，山東 淄博 255000）

粗差會對最小二乘估計造成不良影響，即觀測值中含有粗差時，采用最小二乘法求得的參數估值變得不再可靠[1]。L1范數最小估計作為一種穩健估計方案，雖然在計算效率方面弱于最小二乘，但在抗差方面有較為明顯的優勢[2]。目前對L1范數估計在測量數據處理中的應用已有大量研究，如L1范數在控制網觀測值粗差探測，以及衛星定位中的應用等[3-4]。

在進行平差處理時，對于小樣本觀測的情形，計算效率并不是考慮的主要因素，保證精度為首要目標。在一般的觀測過程，粗差出現的概率在1%~10%，且不服從正態分布[5-6]。此時若使用單純最小二乘估計進行平差解算，參數估計必然會失實；若采用L1范數最小估計，是否會取得較高精度的參數平差值有待驗證。

基于上述理論，本文詳細解釋了L1范數在平差過程中的應用原理，并采用matlab軟件模擬觀測值，通過平差實驗，從內、外符精度等方面對最小二乘估計和L1范數最小估計方案的抗差性以及殘差特性作出討論。實驗表明，最小二乘會使粗差等概率分配到正常觀測值上，即不能從殘差分布上探測到粗差；L1范數則不受影響，對粗差觀測值作出有效探測。

1 L1范數估計模型及平差原理

1.1 L1估計兩種算法平差模型

設有誤差方程[7]：

基于線性規劃理論，對式（1）采用單純形法求解，其估計準則[8]：

其中：n為觀測值個數；pi為獨立觀測值的權，vi為第i個觀測值的殘差；P和V為相應的權陣和殘差向量。求解L1范數估計時通常使用基于線性規劃的單純形法或選權迭代法，解得待估參數及殘差V。將參數平差式（1）作為約束條件的L1估計數學模型[9]：

將（4）代入模型式中可得到線性規劃的標準形式[10]：

式（5）為具有概括性的L1范數平差模型。基于選權迭代法求解L1范數，取ρ函數為ρ（ν）=|ν|，則估計準則[11]：

式中：νi為觀測值改正數；ρ（νi）為觀測值權函數，式（6）對求導，得

如此進行法方程解算并迭代，直到前后兩次解的差值符合限差要求為止。選權迭代法解算L1范數已有較多討論，在此不多贅述，本文使用算法和模型相對完備的單純形法對L1范數估計進行求解。

1.2 單純形法求解L1范數原理

標準形式的單純形法用向量形式表示如下[12]：

約束方程組的系數矩陣的任意非奇異子方陣B，其列向量線性無關，稱為一個基矩陣，用B來表示B＝（P1，…，Pm）。除基變量以外的變量Pi（i=m+1，…，n），非基矩陣用N表示N＝（Pm+1，Pm+2，…，Pn）。從而可以將系數矩陣寫為分塊的形式A=（B，N），記XB＝（x1，x2，…，xm）T，XN＝（xm+1，xm+2，…，xn）T，這樣待求解X寫為分塊形式，即BXB+NXN=b，由此解得：

這是用非基變量表達基變量的公式。此時可以將XN看作一組自由變量，給它們任意一組值，得，這就是約束方程組的一個解。如令式（5）中所有的非基變量，則，稱解為線性規劃問題的基本可行解。

在式（10）中令xN=0，得，則式（5）相當于。將式（10）代入目標函數的表達式，即得用非基變量表達目標函數的公式：

此時若記目標函數在x(0)處的值為f(0)，即，再記，則目標函數的表達式可寫為：

λj可用來判斷一個基可行解是否為最優解，對于某線性規劃問題的一個基B，若全部λN＝cN-cBB-1N≥0，則對應的基解x(0)便是LP的最優解，否則重復上述過程。

2 實驗分析

2.1 實驗數據準備及流程

假設某觀測向量為Y，參數真值向量為X，其存在以下關系：

式中ε是誤差向量。為了實驗驗證方便，我們給定真值X和設計矩陣A，則觀測值的真值向量：

給定的參數真值X＝[1，2，3]T；隨機生成100×3的設計矩陣A；根據不同情況生成的100×1的誤差向量ε。生成模擬數據后，為了直觀展示最小二乘估計與L1范數估計之間的差異，使用如下方案進行解算：

（1）生成服從均值為0，標準差為1的無粗差正態分布誤差，分別用最小二乘估計和L1范數估計進行計算，重復計算過程10次，得到當誤差分布服從正態分布時的參數X；

（2）在（1）的基礎上，對每次生成的數據添加10%的較大粗差，并比較2種算法的結果差異。

2.2 實驗分析

為對比2種算法所得結果，使用內符精度和外符精度進行直觀展現[2]。參數的內符精度含義為所有組數據計算的參數中誤差的平均，即為第i組數據第n個參數的中誤差。參數的外符精度為所有數據計算的參數真誤差的均方根，即mn=為第i組數據第n個參數的中誤差。

根據上述實驗流程，得到結果見表1。

表1 2種方法精度對比

由表1我們可以看出，當誤差服從正態分布的時候，最小二乘估計和L1范數估計的內、外符精度存在較小差別，最小二乘估計精度稍優于L1范數估計，說明此時最小二乘估計最優。而當添加粗差時，對最小二乘估計會造成嚴重影響，L1范數則能避免粗差影響，依然保持和無粗差時相同的精度。下面，我們通過2種方案的殘差值來進一步分析。

從圖1中我們可以看出，在使用最小二乘估計平差時，會將粗差無差別等概率分配到其他觀測值中，導致無法從殘差結果進行粗差觀測值的定位。說明最小二乘估計不具有抗差性，粗差會損害最小二乘估計的平差結果，從而無法達到預期精度。

圖1 最小二乘估計殘差值

由圖2我們可以看出，L1范數估計的殘差值能精確定位粗差觀測值，真殘差會分配到粗差較大的觀測值上，說明L1范數具有較強的抗粗差能力。

圖2 L1范數估計殘差值

3 結束語

通過L1范數估計和最小二乘估計的實驗驗證，小樣本情況下，當觀測中不含粗差時，最小二乘估計和L1范數估計精度相差不大；當觀測值中含有粗差時，L1范數最小估計能獲得較好的平差結果，這與L1范數的解算原理有關，總是能在準則下選得最優的平差解。

雖然L1范數估計相比最小二乘有良好的抗差性，但并不能說L1范數估計強于最小二乘，其在某些情況存在不能真實反映粗差信息的問題，且其多適用于小樣本參數估計。在抗差領域，發展L1范數與最小二乘相結合的抗差估計方法，進而為抗差最小二乘提供高質量、高可靠性殘差信息，讓最小二乘變得適應性更強。