非線性時間分數階Klein-Gordon方程的精確行波解①

張練，劉小華，曾職云

貴州民族大學 數據科學與信息工程學院， 貴陽 550025

(1)

的精確行波解， 其中β，γ是任意非零常數．

1 方程(1)有界行波解的存在性

對(1+1)維非線性時間分數階Klein-Gordon方程(1)做如下的分數復變換[15]

(2)

其中l，λ是任意非零常數， Γ為伽馬函數， 則可將方程(1)轉化為方程

(3)

(4)

對系統(4)進行首次積分

(5)

再令

f(u)=βu+γu3=0

(6)

(7)

根據平面動力系統理論[16-17]可知， 如果J(ui， 0)<0則為鞍點， 如果J(ui， 0)>0則為中心， 如果J(ui， 0)=0則為尖點， 因此對于系統(4)有：

3) 當βγ<0，λ2-l2<0時， 平衡點(u1， 0)， (u2， 3， 0)對應的Jacobi矩陣行列式分別為

從而可知平衡點(u1， 0)在β>0時為中心， 在β<0時為鞍點； 平衡點(u2， 3， 0)在β>0時為鞍點， 在β<0時為中心．

根據上面的奇點分析， 利用Maple軟件畫出系統(4)在不同參數條件下的相圖見圖1．

圖1 系統(4)在不同參數條件下的相圖

由平面動力系統理論與方法[16-17]可知， 同宿軌對應著方程(3)的鐘狀孤波解， 異宿軌對應著方程(3)的扭狀孤波解， 閉軌對應著方程(3)的周期解． 因此根據相圖1中的(a)-(h)， 可得出方程(3)的有界行波解的個數及存在性結論為：

1) 系統(4)在λ2-l2>0，β>0，γ<0時存在兩條同宿軌， 無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在兩個鐘狀孤波解和無窮多個周期解(圖1(a))．

2) 系統(4)在λ2-l2>0，β<0，γ>0時存在兩條異宿軌， 無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在兩個扭狀孤波解和無窮多個周期解(圖1(b))．

3) 系統(4)在λ2-l2>0，β>0，γ>0時不存在閉軌(圖1(c))．

4) 系統(4)在λ2-l2>0，β<0，γ<0時存在無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在無窮多個周期解(圖1(d))．

5) 系統(4)在λ2-l2<0，β>0，γ<0時存在兩條異宿軌， 無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在兩個扭狀孤波解和無窮多個周期解(圖1(e))．

6) 系統(4)在λ2-l2<0，β<0，γ>0時存在兩條同宿軌， 無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在兩個鐘狀孤波解和無窮多個周期解(圖1(f))．

7) 系統(4)在λ2-l2<0，β>0，γ>0時存在無窮多個閉軌， 從而方程(3)存在無窮多個周期解(圖1(g))．

8) 系統(4)在λ2-l2<0，β<0，γ<0時不存在閉軌(圖1(h))．

由上面的定性分析可知， 方程(3)存在4個鐘狀孤波解、 4個扭狀孤波解和無窮多個周期波解， 下面運用輔助方程法討論方程(1)的一些有界行波解的精確表達式．

2 輔助方程法

運用輔助方程法求解非線性發展方程的精確解是十分有效的， 本文運用的輔助方程法是Khater博士在2018年所提出并改進的， 輔助方程法的具體步驟如下[9-10]：

考慮如下的非線性偏微分方程：

P(u，ut，ux，utt，uxx，uxt， …)=0

(8)

其中u(x，t)是未知函數， 且P是包含u(x，t)及其各導數的多項式函數．

步驟1： 對方程(8)做行波變換u(x，t)=u(ξ)，ξ=lx-λt， 其中l，λ是任意非零常數， 即方程(8)可化為如下的常微分方程：

F(u， -λu′，lu′，λ2u″，l2u″， -λlu″， …)=0

(9)

步驟2： 假設常微分方程(9)的解具有如下形式：

(10)

其中ai，bi(i=0，1，2，…，n)為待定系數，n由齊次平衡原則確定，f(ξ)滿足如下常微分方程

(11)

其中α，?，δ，a是非零常數且a>0，a≠1．

步驟3： 將方程(10)，(11)代入方程(9)， 合并a±if(ξ)，i=0，1，2，…，n的各次冪系數， 并令各次冪系數等于零， 得到關于a0，ai，bi，l，λ(i=1，2，…，n)的代數方程組， 結合Maple軟件求解代數方程組， 可得a0，ai，bi，l，λ(i=1，2，…，n)的值．

步驟4： 通過方程(11)的解和步驟3的值， 由假設(10)得出方程(9)的解， 進而可獲得方程(8)行波解的精確表達式．

方程(11)的解有如下3種情形：

情形1： 如果?2-4αδ>0且δ≠0， 那么有

(12)

情形2： 如果?2-4αδ<0且δ≠0， 那么有

(13)

情形3： 如果?2=4αδ且δ≠0， 那么有

(14)

3 方程(1)行波解的精確表達式

下面利用輔助方程法來討論方程(1)的有界行波解， 通過該方法得出了方程(1)的兩組不同參數的解， 則具體根據方程(3)的最高階導數項u″(ξ)與最高階非線性項u3(ξ)的平衡原則， 有n+2=3n得n=1， 根據上述方法可設方程(3)的解具有如下形式：

u(ξ)=a0+a1af(ξ)+b1a-f(ξ)

(15)

其中：a0，a1，b1為待定系數； 將方程(15)及其導數代入方程(3)， 合并a±if(ξ)，i=0，1，2，3的各次冪， 并令各次冪的系數等于零， 得到關于a0，a1，b1，l，λ的代數方程組為：

(16)

結合Maple軟件求解方程組(16)， 得出以下兩種情形．

情形1：

(17)

其中l為任意非零常數．

情形2：

(18)

其中l為任意非零常數．

由(15)，(17)式與方程(11)的解(13)、 分數復變換(2)可得方程(1)的有界行波解為：

(19)

(20)

其中?2-4αδ<0且δ≠0，l為任意非零常數．

由(15)，(17)式與方程(11)的解(12)、 分數復變換(2)可得方程(1)的有界行波解為：

(21)

(22)

其中?2-4αδ>0且δ≠0，l為任意非零常數．

圖2 解u7

由(15)，(18)式與方程(11)的解(13)、 分數復變換(2)可得方程(1)的有界行波解為

(23)

(24)

其中?2-4αδ<0且δ≠0，l為任意非零常數．

由(15)，(18)式與方程(11)的解(12)、 分數復變換(2)可得方程(1)的有界行波解為

(25)

(26)

其中?2-4αδ>0且δ≠0，l為任意非零常數．

圖3 解u11

圖4 解u14

注1解(25)與解(21) 分別是圖1(b)中的兩條異宿軌對應的扭狀孤波解的兩種不同表達式， 解(26)與解(22)分別是圖1(e)中的兩條異宿軌對應的扭狀孤波解的兩種不同表達式．

4 結論

本文利用平面動力系統理論與方法以及輔助方程法， 討論了非線性時間分數階Klein-Gordon方程有界行波解的存在性及精確表達式， 其中包括雙曲函數解、 三角函數解； 由定性結論可知方程(1)還存在4個鐘狀孤波解和無窮多個周期解， 在此用輔助方程法還沒能給出其精確表達式．