脈沖耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步①

馮靚，胡成，于娟

新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊 830046

鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)良好的自適應(yīng)學(xué)習(xí)能力、 智能性及聯(lián)想存儲能力， 近年來在組合優(yōu)化、 圖像處理和安全通信[1-2]等多個方面得到了廣泛應(yīng)用． 隨著研究的不斷深入， 學(xué)者們發(fā)現(xiàn)實值神經(jīng)元的存儲能力是有限的， 很難完成對高維信息的存儲和處理， 如對稱性檢測問題和XoR問題[3]． 基于此， 有研究人員將實值連接權(quán)重及實值激活函數(shù)推廣至復(fù)數(shù)域， 建立了復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-6]． 2009 年， Amin等[7]通過實驗進(jìn)一步證明了單層復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠表現(xiàn)出與多層實值網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)或者更高的性能． 目前， 復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像傳輸、 設(shè)計信號過濾器、 交通信號控制等方面發(fā)揮著重要的作用[8-10]． 另外， 為刻畫生物神經(jīng)元或組織之間的交互作用， 由多個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)交互而成的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被提出， 并被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)識別、 噪聲抑制、 壓縮編碼、 邊緣檢測等實際問題中．

耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅具備人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能， 往往還會演化出比單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更為復(fù)雜的動態(tài)行為[11]． 作為一種典型的動力學(xué)演化行為， 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步近年來得到了廣泛關(guān)注[11-12]． Liu等[13]針對一類具有固定連通拓?fù)涞鸟詈仙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)， 利用線性矩陣不等式的方法導(dǎo)出了耦合網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)指數(shù)同步的判定準(zhǔn)則． 自此， 結(jié)合飽和控制、 事件觸發(fā)牽制控制等控制方法， 具有固定連通拓?fù)涞鸟詈仙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問題被大量研究， 得到了許多有意義的同步研究成果[14]．

值得注意的是， 在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點通訊過程中通信帶寬限制、 信道突發(fā)故障等因素經(jīng)常導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)之間的連接出現(xiàn)中斷或切換到另一頻率信道的現(xiàn)象， 表明節(jié)點之間并不總是在任意時刻都進(jìn)行信息交互， 網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也不再是固定連通的． 因此， 在通訊信號不連續(xù)、 通訊拓?fù)洳贿B通的情況下討論耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步更具有實際意義． 2016年Chen等[15]提出一類具有不連通拓?fù)涞那袚Q機(jī)制， 并分析了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的漸近同步行為， 該耦合機(jī)制僅要求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的信息在某些離散時刻進(jìn)行通訊， 并允許每次切換拓?fù)淇梢允遣贿B通的． 基于此， 2021年Chen等[16]結(jié)合脈沖耦合機(jī)制和事件觸發(fā)控制， 研究了耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題． 但這些工作主要是圍繞實值網(wǎng)絡(luò)展開討論， 對具有更強(qiáng)存儲能力和更高效信號處理能力的耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 如何深入探討其在脈沖耦合機(jī)制下的同步仍是一個亟待解決的難題．

基于上述討論， 本文探討一類脈沖耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近同步問題． 主要貢獻(xiàn)包括： ①相較于以往的連續(xù)耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13-14]和實值切換耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15-16]， 本文運(yùn)用圖的序列連通性和Dirac脈沖函數(shù)， 提出了一類依賴于節(jié)點復(fù)值狀態(tài)的脈沖耦合機(jī)制， 它不僅具有更強(qiáng)的信息存儲能力和更高效的信息處理能力， 還去除了以往研究中需要網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定連通的限制性條件， 僅需網(wǎng)絡(luò)節(jié)點在序列連通條件下的某些離散時刻進(jìn)行信息通訊即可． ②本文采用直接誤差方法來討論耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近同步， 有效避免了實際問題中同步態(tài)未知或同步態(tài)不可微帶來的分析困難． 理論結(jié)果和數(shù)值模擬表明， 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間出現(xiàn)通訊間斷或信道更新等不連續(xù)通訊時， 適當(dāng)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)切換順序或節(jié)點耦合權(quán)重也能夠?qū)崿F(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)的同步．

1 模型描述及預(yù)備知識

1.1 符號說明

1.2 模型描述

考慮由N個復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)， 其模型描述為：

(1)

式(1)中xi(t)=(xi1(t)，xi2(t)， …，xin(t))T∈Cn表示第i個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)向量， 對角矩陣A∈Cn×n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自抑制矩陣，f(xi(t))=(f1(xi1(t))，f2(xi2(t))， …，fn(xin(t)))T∈Cn表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，D∈Cn×n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部連接權(quán)重矩陣，I(t)是n維的外部輸入向量值函數(shù)，Ui(t)刻畫了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的脈沖耦合機(jī)制， 其具體形式為：

(2)

利用Dirac函數(shù)性質(zhì)， 式(1)轉(zhuǎn)化為如下脈沖微分系統(tǒng)

(3)

令

則式(3)轉(zhuǎn)化為：

(4)

下面給出一些相關(guān)的定義、 假設(shè)和引理．

定義1對圖G=(V，ε)及非空點集L?V， 稱集合N(G，L)={k∈VL|?l∈L， (l，k)∈ε}為點集L在圖G中的鄰居節(jié)點集．

假設(shè)2對任意x，y∈Cn， 存在正常數(shù)L使得‖f(x)-f(y)‖≤L‖x-y‖．

2 主要結(jié)論

為方便證明， 首先引入如下記號．

(5)

那么， 脈沖耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(1)是全局漸近同步的．

對任意i∈V， 由假設(shè)1可知

當(dāng)t∈(tk-1，tk]時， 對任意i，p∈V， 定義eip(t)=xi(t)-xp(t)， 由式(4)可知

(6)

從而有

由節(jié)點i，p的任意性可得

結(jié)合式(4)和定義3可知， 對任意i∈Vk，

∈α(tk)Φk+(1-α(tk))Φ(tk)

由V0是孤立節(jié)點集和VT=V可知

結(jié)合第二步可得

所以

(7)

那么耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(1)是全局漸近同步的．

注2在定理1中， 不連續(xù)脈沖切換拓?fù)湎碌男蛄羞B通性可解釋為：t0時刻某一復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點V0接收到外來信息， 在t1時刻拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換為G1，V0在G1中將信息傳遞給鄰居節(jié)點N(G1，V0)， 此時信息遍歷的節(jié)點集為V1=V0∪N(G1，V0)． 隨后， 在t2時刻拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換為G2，V1中的節(jié)點在G2中將信息傳遞給鄰居N(G2，V1)， 此時V2=V1∪N(G2，V1)． 以此類推， 在tT時刻拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換第T次時，VT-1在GT中與其鄰居N(GT，VT-1) 交換信息， 此時VT=VT-1∪N(GT，VT-1)=V， 通過T次切換實現(xiàn)了整個網(wǎng)絡(luò)的信息遍歷， 但每次切換的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洳⒉豢偸沁B通的．

注3與文獻(xiàn)[14-18]討論的實值耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比， 本文研究的脈沖耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的信息存儲能力和更高效的信息處理能力． 在研究方法上， 與傳統(tǒng)的Lyapunov方法不同， 本文主要運(yùn)用直接誤差方法和凸組合技巧來分析耦合網(wǎng)絡(luò)的同步， 理論分析和判定條件更簡潔直觀．

3 數(shù)值模擬與仿真

考慮6個具有雙復(fù)值神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合而成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)， 其模型為：

(8)

式(8)中xi(t)∈C2，Ui(t)為脈沖耦合策略式(2)，f(xi)=(0.7tanh(xi1(t))， 0.7tanh(xi2(t)))T

耦合網(wǎng)絡(luò)式(8)的脈沖拓?fù)淝袚Q圖序列如圖1和圖2所示， 這里V0={1}，V1={1， 2， 3}，V2={1， 2， 3， 4， 5， 6}． 由定義3可知， 該圖序列是序列連通的， 且T=2．

圖1 t=t2k-1時的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖2 t=t2k時的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖3 xi1(t)的同步過程

圖4 xi2(t)的同步過程

4 結(jié)語

本文研究了由復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過脈沖耦合構(gòu)成的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的漸近同步問題． 不同于以往的連續(xù)耦合機(jī)制， 該網(wǎng)絡(luò)節(jié)點僅在脈沖時刻進(jìn)行信息交換和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換． 在序列連通條件下， 基于直接誤差法及迭代的思想建立了脈沖耦合復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸近同步的判定條件． 結(jié)果表明在網(wǎng)絡(luò)耦合中出現(xiàn)不連續(xù)通訊時， 對節(jié)點通訊進(jìn)行適當(dāng)?shù)叵拗埔材軐崿F(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的漸近同步． 在以后的工作中， 將探討在脈沖耦合機(jī)制下具有隨機(jī)切換拓?fù)涞拿}沖耦合網(wǎng)絡(luò)的同步問題．