基于角錐棱鏡的激光干涉位移測量誤差分析

王亮亮,商正君,楊海馬,楊美婷,楊 靜,趙建海,于 涌,3

(1.中國科學院 上海天文臺，上海 200030；2.上海理工大學，上海 200093；3.中國科學院大學,北京 100049)

0 引言

激光干涉測量技術由于具有測量精度高、測量范圍廣和分辨率高等技術優勢，在微電子、超精密加工和三坐標測量機等許多領域的精密測量中得到廣泛應用[1]。

使用干涉測量技術，不僅可以對線位移、線速度、角度和直線度等物理量進行測量，還可以對電容和電感類位移傳感器進行標定，具備光柵尺等傳統測量方式所不具備的優勢[2]。按照Michelson干涉原理建立的激光干涉位移測量系統，在測量光路反射鏡的選擇上存在平面鏡和角錐棱鏡兩種方式。如美國Agilent公司的干涉儀產品主要采用平面鏡反射方式，英國Renishaw公司的干涉儀則選用角錐棱鏡反射方式。

使用激光干涉原理進行線性位移測量時，測量精度主要受到3個方面影響[3]：(1)環境因素的不穩定，包括測量環境的溫度變化、濕度變化和氣壓變化引起的空氣折射率變化、被測件的熱膨脹，以及空氣擾動和地面振動引起測量光路波動而產生的測量誤差。(2)幾何測量誤差，包括被測件線性運動過程中姿態角度和直線度等自由度、阿貝和余弦引起的測量誤差。(3)系統誤差，主要指測量系統本身固有的誤差，如激光頻率穩定性、電子噪聲以及測量部件如平面鏡或角錐棱鏡等光學加工誤差引起的測量誤差。

為實現高精度干涉線性位移測量，需對干涉測量誤差的不同影響因素進行準確測量、分析以及補償[4-5]。對于由環境因素不穩定引入的測量誤差，通常使用傳感器對實驗環境的溫度、濕度和氣壓進行實時測量，進而通過補償進行消除。對于幾何測量誤差，則需要對各種自由度、阿貝和余弦引起的測量誤差進行準確測量，確定相應的誤差修正方法。當選取平面鏡或角錐棱鏡作為測量反射鏡時，由于光線傳播特性不同，二者在整體干涉光路的設計上存在差異，相應的位移測量誤差形式也有區別。文獻[6]對干涉位移測量的主要誤差來源進行了分析和討論，給出了總測量誤差的一般估算方法。文獻[7]具體分析了干涉條紋寬度以及激光光強對測量誤差的影響。文獻[8]介紹了干涉位移測量時未對準誤差的評估以及補償方法。本文以角錐棱鏡作為干涉測量反射鏡的方式為研究對象，從運動自由度、余弦誤差和阿貝誤差3個方面，分別推導和分析它們對線性位移測量精度的影響，并開展相應的驗證實驗。

1 角錐棱鏡光學特性

圖1所示為角錐棱鏡的光學特性示意圖，在角錐棱鏡上分別建立∑R和∑C坐標系，角錐棱鏡頂點OC為∑C坐標系原點，3個直角邊分別為其坐標軸[9]。∑R坐標系的原點位于角錐底面ABC的中心，XR軸經過角錐棱鏡頂點OC，YRORZR平面位于角錐棱鏡底面ABC上。在∑R坐標系下，若入射光線的入射點坐標和方向矢量分別為:

圖1 角錐棱鏡光線傳播示意圖

(1)

通過∑R和∑C兩個坐標系的坐標轉換等步驟，可得到出射光線在∑R坐標系下出射點的坐標是:

(2)

(3)

在實際應用中，角錐棱鏡進行了一定的機械封裝，如圖2所示。選取位于角錐底面ABC的∑R坐標系，近似分析角錐棱鏡在隨運動平臺線性運動過程中不同運動自由度對線性位移測量的影響，其中XR坐標軸所在方向為光軸方向。

圖2 角錐棱鏡實物示意圖

測量前的準直對光過程中，須使得入射光線盡量垂直于角錐底面ABC，且入射點位于ZR軸上。此時，入射點坐標和入射光線的方向矢量在R坐標系下的表達式分別為(空氣折射率取1):

(4)

根據式(2)計算得到出射光線出射點坐標為:

(5)

可以看到，此時出射點坐標與入射點坐標是關于XR軸對稱的，即出射點相對于入射點只存在一個ZR軸方向的縱向位移。

2 激光干涉測量原理

基于角錐棱鏡進行干涉線性位移測量的測量原理如圖3所示，干涉儀激光頭出射的激光束經分光鏡分成兩束激光，一束光向上反射至不隨平臺運動的固定角錐反射鏡，經過反射再次經過分光鏡后反射至探測器形成參考光束。另一束光經分光鏡透射至固定于載物臺上的移動角錐反射鏡，經反射返回至探測器中形成測量光束[10-11]。當移動角錐反射鏡沿測量軸由位置1移動到位置2時，測量光程分為三部分，分別是入射光程D1，棱鏡內部光程D2以及返回光程D3。此時，測量光程相對于參考光程的光程變化量為：

圖3 激光干涉位移測量原理

D= (D1+D2+D3)/2

(6)

該相對光程變化會引起探測器處干涉條紋的移動變化，條紋變化數目對應于移動角錐反射鏡的位移量，從而實現線性位移測量。

3 幾何測量誤差推導與分析

在進行線性位移干涉測量時，除了運動平臺本身的線性位移誤差外，角錐棱鏡隨運動平臺會產生姿態和直線自由度等誤差[12]，它們不僅是干涉線性位移測量的獨立誤差源，也是引起其他誤差源的源頭，需要分別進行推導和分析。

3.1 姿態角引起的幾何測量誤差

線性運動平臺在直線運動過程中的姿態角包括俯仰、偏擺和滾動等3個方面，其中俯仰和偏擺會對角錐干涉位移的測量產生影響[13]。

1)俯仰角對干涉位移測量的影響：

如圖4所示，假設移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運動至位置2。分別在位置1和位置2處的角錐底面所在平面上建立坐標系∑R1和∑R2，XR軸所在方向為角錐位移運動方向。若在位置2處存在大小為θ繞YR軸逆時針旋轉的俯仰誤差，在旋轉后的角錐底面上建立新的坐標系∑R′2。令F點為入射光線在棱鏡底面的入射點，H為出射點，其入射光線在∑R2坐標系下的坐標表達式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標系下，入射光的入射點E的坐標以及光線方向矢量為：

圖4 角錐俯仰示意圖

(7)

這里，zr′=zr/cosθ，根據式(2)計算得到在∑R′2坐標系下出射點G的坐標為:

(8)

此時，外部光程產生的誤差分為入射光線產生的誤差D1和出射光線產生的誤差D2，分別計算如下:

D1=|EF|=-zrtanθ

(9)

D2=|IG|=|ORG| sinθ=

(10)

總的外部光程誤差為:

(11)

根據(3)式計算內部光程誤差為:

(12)

按照式(6)，由俯仰角產生的總光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(13)

通常用于位移測量的角錐棱鏡的直角邊長約為15 mm，角錐棱鏡在空氣中的折射率為1.5，在不考慮其它誤差因素的條件下，使用干涉儀進行線性位移測量的誤差隨角錐俯仰角的變化關系列于表1。可以看到，當運動平臺俯仰角誤差不超過10 urad時，由此產生的位移測量誤差小于0.1 μm。

表1 俯仰對干涉位移測量的影響

2)偏擺角對干涉位移測量的影響：

如圖5所示，假設移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運動至位置2。若在位置2處存在大小為θ繞ZR2軸旋轉的偏擺誤差。在旋轉后的角錐底面上建立新的坐標系∑R′ 2，令F點為入射光線在棱鏡底面的入射點，H為出射點，其入射光線在∑R2坐標系下的坐標表達式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標系下，入射光的入射點F的坐標以及光線方向矢量為：

圖5 角錐偏擺示意圖

(14)

根據式(2)計算得到在∑R′2坐標系下出射點G的坐標為:

(15)

(16)

根據式(3)計算內部光程誤差為:

(17)

按照式(6)，由偏擺角產生的總光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(18)

表2列出使用干涉儀進行線性位移測量的總光程誤差隨角錐棱鏡不同偏擺角的變化關系。可見，當運動平臺俯仰角誤差不超過10 urad時，產生的影響遠低于干涉儀本身的測量精度，可忽略不計。

表2 偏擺對干涉位移測量的影響

3.2 直線度引起的幾何測量誤差

線性運動平臺在直線運動過程中會產生與運動方向垂直的兩個直線自由度，它們位于跟平臺運動方向垂直的平面內且相互正交，分別稱作垂直直線度和水平直線度[14-15]。

如圖6(a)所示，假設移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運動至位置2。若在位置2處存在大小為d沿著ZR2軸向上平移的直線度誤差，在平移后的角錐底面上建立新的坐標系∑R′2。在∑R2坐標系下，令F點為入射光線在棱鏡底面的入射點，H為出射點，其入射光線的坐標表達式和方向矢量如式(4)。而在∑R′2坐標系下，入射光的方向矢量保持不變，入射點F的坐標產生了一個沿ZR軸方向大小為d的平移，該平移量稱作垂直直線度。由式(2)可得，在∑R′2坐標系下，出射點由H點平移至G點，新的出射G點仍位于ZR2軸上且與入射點F關于XR2′軸對稱。從角錐棱鏡返回的測量光束也由HK平移至GJ，平移大小|GH|等于直線度誤差值d。可見，當垂直直線自由度存在時，反射外部光程|GJ|等于|HK|，入射外部光程都為|EF|，由垂直直線度產生的線性位移外部光程誤差等于零。由式(3)可得，內部光程誤差也為零。因此，當角錐運動過程中存在垂直直線自由度時，從角錐棱鏡返回的測量光束會產生與該垂直度方向一致的平移，這雖然使得接收信號光強存在一定的損失，但不會產生線性位移幾何測量誤差。類似地，如圖6(b)所示，當沿YR2軸正方向的水平直線自由度誤差d存在時，與水平直線度誤差為0時從角錐棱鏡返回的測量光束HK相比，新測量光束GJ產生與水平直線度方向一致的平移，平移量|GH|為直線自由度誤差d的二倍，也不會引入線性位移幾何測量誤差。

圖6 角錐直線度示意圖

3.3 余弦誤差

在進行位移干涉測量時，激光光束方向與被測對象的運動軸方向若未完全準直，則激光測量的長度和被測對象實際運動距離之間會存在差異，該測量誤差稱為余弦誤差[16-17]。

如圖7所示，假設移動角錐棱鏡由位置1隨著平臺線性運動至位置2，XR1(或XR2)軸為測量光軸方向。如果測量光軸和平臺運動軸之間存在夾角θ，即角錐棱鏡隨平臺運動至以OS為坐標原點的坐標系∑S下。此時，角錐實際的移動距離是|OR1OS|，而干涉儀的測量距離|OR1OR2|，由此產生的線性位移測量誤差即余弦誤差為:

圖7 余弦誤差示意圖

D=|OR1OS|-|OR1OR2|=d(1-cosθ)

(19)

其中：d為角錐棱鏡隨平臺實際移動的距離。當余弦誤差存在時，從角錐棱鏡返回的光束的光斑偏移量隨移動距離以及余弦角的變化關系為:

△h=|JK|=|GH|=2dsinθ

(20)

將式(20)代入式(19)，可推導出利用回光偏移量△h來估算余弦誤差的式子:

D=d(1-cos(arcsin(△h/2d)))

(21)

表3 列出了不同回光偏移量以及不同移動距離產生的余弦誤差大小

3.4 阿貝誤差

在進行位移干涉測量時，當激光光束方向與被測對象的運動軸線方向平行但不完全重合時，被測對象一旦有角度旋轉，則將導致測量光程發生變化，由此引起的測量誤差稱為阿貝誤差[18-19]。

圖8 阿貝誤差示意圖

(22)

其中:zr′=d-(d-zr)/cosθ，假設d>zr。根據式(2)計算得到在∑R′坐標系下出射點G的坐標為:

(23)

此時，外部光程產生的誤差分為入射光線產生的誤差D1和出射光線產生的誤差D2，分別計算如下:

D1=|EF|=(d-zr)tanθ

(24)

dsinθ-(d-zr)θ

(25)

總的外部光程誤差為:

(26)

根據式(3)計算內部光程誤差為:

(27)

按照式(6)，總的阿貝光程誤差為:

D=(Dout+Din)/2

(28)

表4為在不考慮其它誤差因素，取阿貝臂等于135 mm時，干涉儀進行線性位移測量的阿貝誤差隨不同角錐偏擺角的變化關系。可見，當角錐棱鏡存在多至10 urad的角度偏擺時，可產生約0.8 μm的阿貝測量誤差。

表4 不同偏擺角對阿貝位移測量誤差的影響

4 干涉位移測量實驗

通過第3節的誤差推導和分析，姿態角對干涉位移測量精度的影響通常不超過0.1 μm，可以忽略；直線自由度不產生幾何測量誤差；余弦和阿貝誤差對干涉位移測量產生較大影響。為了對驗證上述分析結果，使用Renishaw公司型號為XL80的激光干涉儀，對線性運動平臺的位移精度開展測量實驗。經過前期測試, 在我們實驗室內，XL80激光干涉儀本身存在約0.1 μm的位移測量誤差[20]。

對運動平臺開展驗證實驗的測量方法具體如下，如圖9測量實物圖所示，第一步，按照圖9(a)布置位移測量光路，使得激光光軸方向和平臺運動軸方向盡量重合，即在阿貝臂近似等于0的情況下開展對運動軸位移精度的測量實驗。第二步，按照圖9(b)布置位移測量光路，使得激光光軸方向和平臺運動軸方向之間產生一個135 mm的平移量，即在有一定阿貝臂值的情況下開展對運動軸位移精度的測量實驗。目標測量點的個數和位置需與圖9(a)測量時保持完全一致，即重復第一步的測量過程。第三步，仍然按照圖9(b)方式布置偏擺角測量光路，使得阿貝臂值存在且相同的條件下，在相同的測量點開展偏擺角度測量實驗。為了使得第一步和第二步時兩次位移測量實驗的余弦條件一致，通過仔細調節激光返回光斑在干涉儀激光頭的位置偏移，使得兩次實驗時光斑的返回位置基本一致。通過盡量縮短總測量時間長度以及控制兩次實驗的測量時間總體一致的方式，使得環境變化以及干涉儀本身不穩定性對兩次位移精度測量結果的影響接近一致。獲取到以上實驗數據后，利用實驗數據去驗證第3節中誤差推導分析的方法是，使用實驗第三步中的偏擺角以及阿貝臂值計算出每個目標測量點的理論阿貝誤差值。將理論阿貝誤差值疊加到第二步中的位移測量結果上，對第二步的測量結果進行阿貝誤差修正。下一步，對修正后的位移測量精度與實驗第一步阿貝臂為0的位移精度進行對比分析。

圖9 干涉位移測量實物圖

實驗過程具體如下：1)按照ISO230-2測量標準，當阿貝臂近似等于0時，在測量總行程300 mm范圍內，每間隔50 mm取一個目標測量位置，共7個目標測量點。從第1個目標測量點開始到第7個目標點結束，完成一次單向測量，之后進行第7個目標點到第1個目標點的返向測量。共循環重復上述往返測量5次，每個測量點單向可以產生5個線性位移測量數據。2)取阿貝臂等于135 mm，重復第一步的測量過程，每個測量點單向可以產生5個引入阿貝誤差的位移測量數據。第三步，當阿貝臂近似等于135 mm時，對7個目標測量點位置分別進行單向偏擺角度誤差測量，共循環重復測量5次，每個測量點可以產生5個角度誤差測量數據。

表5為當阿貝臂近似為0進行位移測量時，對每個目標測量點進行各雙向5次測量的精度結果，其中“+”號代表從起點至終點方向，“-”號代表從終點返回起點的方向，單次測量精度依次分別為2.940 μm，2.851 μm，2.805 μm，2.898 μm，2.830 μm。本批次位移誤差測量結果主要由待測位移平臺本身的位移誤差以及干涉儀的測量誤差構成，其中干涉儀的測量誤差主要包括環境變化引起的誤差、余弦誤差以及測量系統本身的固有誤差。

表5 阿貝臂近似等于0時的位移測量結果

表6為當阿貝臂為135 mm進行位移測量時，對每個目標測量點進行各雙向5次測量的精度結果，其中“+”號代表從起點至終點方向，“-”號代表從終點返回起點的方向，單次測量精度依次分別為3.325 μm，3.327 μm，3.345 μm，3.274 μm，3.205 μm。本批次位移誤差測量結果與表5相比，除了包括環境變化引起的誤差、余弦誤差和測量系統本身的固有誤差以外，還包括阿貝測量誤差。

表7為當阿貝臂近似等于135 mm進行角度測量時，在目標測量點偏擺角的測量結果。然后利用式(28)可計算得到當阿貝臂為135 mm進行位移測量時引入的阿貝誤差測量值，列于表8，并將其疊加到表6中對應目標測量點的數據上，對阿貝誤差進行補償修正。表9列出阿貝誤差修正前后的精度結果和阿貝誤差近似為0 的實驗測量結果。通過對比可見，使用第3節的誤差分析方法對存在阿貝誤差的干涉位移測量結果進行修正，修正后的測量精度與阿貝臂近似為0的結果接近。需要說明的是，實驗過程中光斑回光偏移量基本保持相同，余弦誤差對各次測量結果的誤差影響相當。

表6 阿貝臂等于135 mm時的位移測量結果

表7 阿貝臂等于135 mm時的偏擺角測量結果

表8 阿貝誤差計算值

表9 阿貝誤差修正前后精度對比

5 結束語

基于激光干涉測量原理和角錐棱鏡的光學特性，對使用角錐棱鏡進行干涉位移測量的幾何誤差進行了推導、分析和相關實驗。結果表明，姿態角對干涉位移測量的影響通常不超過0.1 μm；當角錐存在直線自由度誤差時，返回測量光束的光斑中心會產生與水平或垂直直線度方向一致的平移，但不會引入幾何位移測量誤差；推導給出角錐棱鏡測量光束的回光偏移量與余弦誤差之間的關系，阿貝誤差與阿貝臂值和角錐棱鏡偏擺角之間的關系。干涉位移測量實驗表明，通過修正阿貝誤差，可以有效提高位移測量精度。對于使用平面反射鏡進行干涉儀測量的方式，干涉儀的參考光路和測量光路與角錐棱鏡方式存在明顯不同，其幾何測量誤差形式和特性將在后續工作中開展分析。