例談從特殊到一般的數學思想在解題中的妙用

浙江省寧海縣桃源初級中學 陳靜雯

數學思想的學習不僅在數學解題中有幫助，同時在生活中也有著很大的用處。數學思想非常豐富，本文通過一堂自己的課堂實錄，談談從特殊到一般的數學思想在解題中的妙用。

例題：將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉，當圓心角為時，正n邊形被重合部分的面積為_____。

題目分析：此題沒有圖形，而且是抽象的n邊形，圖形也不容易畫出，所以重合的圖形同樣也都不明確，整體給學生的感覺就是摸不著頭腦，不知道從哪里切入題目。

一、從特殊到一般，引導學生由淺入深

1.如圖1，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的等邊△ABC的中心點O處，并將紙板繞點O旋轉，當圓心角為120°時，等邊△ABC被重合部分的面積為_____。

圖1

分析：過點O作OE⊥AC，OF⊥BC分別交于點E，F.

易得∠EOF=120°

設計意圖：在教學過程中，可以借助幾何畫板，結合“計算工具”，演示出重合面積始終是一個固定的值，使枯燥復雜的數學知識變得立體直觀，激發學生的興趣。幾何畫板演示出重合部分的位置在不斷改變，為什么重合部分的面積卻始終不變呢？這個固定的值是多少呢？如何來證明呢？一系列的疑問激發學生探究問題的興趣和熱情，從而產生強烈的求知欲。

2.如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正方形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉，當圓心角為90°時，正方形被重合部分的面積為_____。

圖2

分析：過點O作OE⊥BD，OF⊥CD分別交于點E，F.

易得∠EOF=90°

∵∠MON=90°

設計意圖：經過第一題的探索，學生已經了解了解題思路及解題方式，借助多媒體激發了學生的興趣，所以接下來的自主探索就水到渠成了。

此時的學生對自己的猜測更加肯定了，離最后的成功越來越近，學生探索的興趣則更加濃厚。

3.如圖3，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正五邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉，當圓心角為72°時，正五邊形被重合部分的面積為_____

圖3

分析：過點O作OH⊥AE，OF⊥AB分別交于點H，F.

易得∠HOF=72°

再次借助幾何畫板，讓學生感受到面積的不變，然后定格在如圖4的位置，讓學生體會面積的轉移。

根據以上正三角形、正方形、正五邊形的探究過程，請學生得出合理的結論。

從特殊到一般的推廣：將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在面積為S的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉，當圓心角為時，正n邊形被重合部分的面積為。

借著學生得到結論后成功的喜悅和探索興趣正濃，教師要引導學生發散思維：“類似地，我們還可以探索怎樣的問題呢？”

二、變更問題，引導學生應用思想

學生很自然地能提出問題：面積為S的全等的正n邊形紙板，其中一個正n邊形紙板的頂點與另一個正n邊形紙板的中心O重合，并將紙板繞點O旋轉，當重合部分的中心角度為時，兩個正n邊形重合部分的面積為____。

此時教師可以充分利用小組合作討論所帶來的無窮智慧，把探索的課堂給學生，還可以進行組內交流，也可派代表進行組際交流，交流猜想結論，交流驗證方法等等，充分發表自己的看法，形成小組集體意見。同樣由學生概括兩個正n邊形被重合部分的一般規律。

學生討論發現當n=3時，旋轉過程中重合部分的面積不是一個定值（至于這個變化的面積是否也有規律讓學生課后思考），只有當n＞3時，這個重合部分面積才是定值。

如圖5，面積為S的全等的正方形紙板，其中一個正方形紙板的頂點與另一個正方形紙板的中心O重合，并將紙板繞點O旋轉，當重合部分的中心角度為90°時，兩個正方形重合部分的面積為____。

在這兩輪的探索中，讓學生體會數學從一般到特殊、類比的數學思想，教學過程中涉及了變更問題、嘗試猜想、總結歸納等教學環節，為學生構建研究平臺，鼓勵學生自主動手實踐。

三、反思小結，引導學生提煉思想

反思是數學活動的核心和動力，所以在探究學習中，教師應該引導學生進行反思與小結，并及時提煉上升到數學思想的高度，讓學生掌握探究的方法，培養學生探索解決問題的能力。可以采用問題串的引導方式，例如：

1.問題開始，我們是怎樣入手的？（從正三角形、正方形、正五邊形到正n邊形）

2.在證明過程中我們主要運用了哪些方法？（證明三角形全等將面積轉移）

3.在探究中運用了哪些數學思想方法？（從特殊到一般、類比思想、轉化思想等等）

四、變式拓展，引導學生發散思維

學以致用，那就讓學生應用上面學習的方法和結論，嘗試解決下面的問題。

變式一：如圖6，將n個邊長都是1cm的正方形按如圖所示擺放，點A1、A2、…、An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為（）。

變式二：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，OD、OE是⊙O的半徑。

如圖7，當OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的.

如圖8，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的.

分析：由對稱性很容易就可以得到四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。

只要保持∠DOE保持120°角度不變，這個陰影的面積也保持不變，它等于四邊形OFCG的面積，即是△ABC的面積的.

變式三：如圖9，已知點A，B，C是半徑長為2的半圓O上的三個點，其中點A是弧BC的中點，連接AB，AC，點D，E分別在弦AB，AC上，且滿足AD=CE，連接OD，OE，若∠BAC=120°，當點D在弦AB上運動時，四邊形ADOE的面積是否變化？若變化，請簡述理由；若不變化，請求出四邊形ADOE的面積.

圖9

∴四邊形ADOE的面積不變

變式四：如圖10，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O為矩形ABCD的中心，將直角三角形的直角頂點與O重合，一條直角邊OP與OA重合，使三角板沿逆時針方向繞點O旋轉，兩條直角邊始終與邊AB、BC相交于N、M，AN=y，BM=x,則y與x之間的函數關系式為________。

圖10

設計意圖：采用變式拓展，圍繞同一圖形，變換旋轉角度，有利于學生更扎實地掌握知識結論。

結束語

學生經過自主探索、實踐，發現歸納結論，這是對學生主動參與精神的激勵，在過程中能使學生掌握數學思想和解題技巧，體會到主動探索成功后的喜悅，增強學生主動學習的動力和信心。而數學學習是一個長久的過程，不僅在平時的課堂中，而且也在解題中。數學思想的掌握必有利于今后的學習和生活，因此在今后的教學過程中，教師應該倡導學生數學思想的掌握，而不是教會學生模仿和記憶。