一類脈沖微分方程初值問題解的延拓

宋國鑫, 李寶麟

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

作為微分系統(tǒng)的一個(gè)重要分支,脈沖微分系統(tǒng)兼具連續(xù)與離散的特征,能夠更精確地描述事物的瞬時(shí)變化規(guī)律,其理論研究始于20世紀(jì)60年代,在80年代以后得到了較大發(fā)展,已經(jīng)取得了大量成果,并實(shí)際應(yīng)用于生物、航天、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.文獻(xiàn)[1-2]利用經(jīng)典常微分方程與泛函分析的相關(guān)理論研究了固定時(shí)刻脈沖微分方程

與依賴于狀態(tài)的脈沖微分方程,其中函數(shù)f關(guān)于2個(gè)變元在一定區(qū)域上連續(xù).

Kurzweil廣義常微分方程理論在研究測度微分方程,時(shí)間尺度上的動(dòng)態(tài)方程及脈沖微分方程等不連續(xù)系統(tǒng)時(shí)有重要作用,文獻(xiàn)[3]對Kurzweil積分與廣義常微分方程做了系統(tǒng)的研究,并考察了脈沖微分方程

與廣義常微分方程

的等價(jià)性,其中

a≤t1

文獻(xiàn)[4-5]分別證明了廣義常微分方程解關(guān)于初始條件與參數(shù)的可微性定理及廣義常微分方程的Massera定理,且分別應(yīng)用于固定時(shí)刻脈沖微分方程與其他不連續(xù)系統(tǒng).文獻(xiàn)[6]建立了一類依賴于狀態(tài)的脈沖滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程之間的關(guān)系,應(yīng)用廣義常微分方程理論考察了此類脈沖滯后型泛函微分方程的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7]建立了廣義線性常微分方程的二分法理論并以此考察了一類線性脈沖微分方程有界解的存在性.文獻(xiàn)[8]研究了一般Banach空間中廣義常微分方程解的延拓,證明了一系列與常微分方程平行的結(jié)果,并應(yīng)用于測度微分方程和時(shí)間尺度上的動(dòng)態(tài)方程.對于不連續(xù)微分系統(tǒng)的研究背景及較新成果見文獻(xiàn)[9-12].

等價(jià)于一類廣義常微分方程初值問題,通過這種等價(jià)關(guān)系將文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)論應(yīng)用于此類脈沖微分方程初值問題,考察其解的延拓.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)引入正則函數(shù)、Kurzweil積分及廣義常微分方程的相關(guān)定義與結(jié)論.

給定區(qū)間[a,b]與正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),稱有限集D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}為區(qū)間[a,b]的一個(gè)δ-精細(xì)分劃,如果

a=α0<α1<…<αk=b,

αi-1≤τi≤αi,i=1,2,…,k,

且

[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

i=1,2,…,k.

事實(shí)上,給定區(qū)間[a,b]與正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),則[a,b]一定存在δ-精細(xì)分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

詳見文獻(xiàn)[3]的引理1.4.

定義 1.1[3]稱函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]上Kurzweil可積,如果存在向量I∈Rn,使得對任意的ε>0,存在正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),使得對[a,b]的任何δ-精細(xì)分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}

都有

定理 1.3[3]設(shè)對任意c∈(a,b],函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[c,b]上Kurzweil可積,且極限

存在,則U在[a,b]上Kurzweil可積,且

設(shè)非空開集O?Rn,區(qū)間[t0,+∞)?R,Ω=O×[t0,+∞),給定函數(shù)F:Ω→Rn,對于廣義常微分方程的解,有以下定義及性質(zhì).

定義 1.4[3,8]設(shè)I?[t0,+∞)為非退化區(qū)間,稱函數(shù)x:I→O為廣義常微分方程

(1)

在I上的解,如果

在I上的解,如果對任意s∈I都有

定義 1.5[8]設(shè)h:[t0,+∞)→R為單調(diào)不減函數(shù)且在(t0,+∞)中任一點(diǎn)處左連續(xù),稱函數(shù)F:Ω→Rn屬于(Ω,h),如果F滿足:

(N1) 對一切(x,s1),(x,s2)∈Ω,

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|；

(N2) 對一切

(x,s1),(x,s2),(y,s1),(y,s2)∈Ω,

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|.

引理 1.6[8]設(shè)函數(shù)F:Ω→Rn滿足條件(N1),若函數(shù)x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則

‖x(s2)-x(s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對任意s1,s2∈[a,b]都成立.

引理 1.7[8]設(shè)函數(shù)F:Ω→Rn滿足條件(N1),若函數(shù)x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則x是[a,b]上的有界變差函數(shù).

定理 1.8[8]設(shè)F∈(Ω,h),若(x0,τ0)∈Ω且

則存在Δ>0,使得廣義常微分方程(1)在區(qū)間[τ0,τ0+Δ]上存在唯一的滿足初值條件x(τ0)=x0的解x:[τ0,τ0+Δ]→O.

性質(zhì) 1.9[3]設(shè)函數(shù)f:O×[t0,+∞)→Rn滿足以下條件:

(C1) 對任意固定的x∈O,函數(shù)f(x,·)在[t0,+∞)上Lebesgue可測;

(C2) 存在局部Lebesgue可積函數(shù)m:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)‖≤m(s)

對一切(x,s)∈O×[t0,+∞)都成立;

(C3) 存在局部Lebesgue可積函數(shù)l:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)-f(y,s)‖≤l(s)‖x-y‖

對一切(x,s),(y,s)∈O×[t0,+∞)都成立.

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞).

設(shè)x0∈O,對于廣義常微分方程初值問題

(2)

解的延拓與飽和解,文獻(xiàn)[8]中有以下定義.

定義 1.10[8]設(shè)區(qū)間I滿足t0=minI,函數(shù)x:I→O是IVP(2)在I上的解,稱IVP(2)的另一解y:J→O為x:I→O的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對任意t∈I,有x(t)=y(t).若IJ,則稱y為x的(右行)真延拓.

定義 1.11[8]設(shè)區(qū)間J滿足t0=minJ,若IVP(2)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱函數(shù)x:J→O為IVP(2)的飽和解.

因?yàn)閺V義常微分方程的解可能具有某些不連續(xù)特征,所以區(qū)別于一般常微分方程理論,文獻(xiàn)[8]中研究廣義常微分方程飽和解的性質(zhì)時(shí)未使用連續(xù)函數(shù)的部分性質(zhì).在后文的討論中,設(shè)

ΩF={(x,t)∈Ω|x+F(x,t+)-F(x,t)∈O},

以下為文獻(xiàn)[8]中所得廣義常微分方程初值問題飽和解的存在唯一性定理與飽和解的性質(zhì)(本文中取Banach空間X=Rn時(shí)的情形).

定理 1.12[8]若F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.

定理 1.13[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,其中ω≤+∞,則對Ω中的任意緊集K,存在tK∈[t0,ω),使對任意t∈(tK,ω)都有(x(t),t)?K.

推論 1.14[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且存在緊集N?O使對一切t∈[t0,ω)有x(t)∈N,則ω=+∞.

推論 1.15[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且ω<+∞,則極限x(ω-)存在且(x(ω-),ω)∈?Ω.

推論 1.16[8]設(shè)Ω=Rn×[t0,+∞),函數(shù)F∈(Ω,h),則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,+∞)→Rn.

2 主要結(jié)果

(3)

等價(jià)轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程初值問題,再考察IVP(3)解的延拓,其中

(H1) 對每個(gè)i∈N+,存在Ki>0,使對一切x∈O都有

‖Ii(x)‖≤Ki;

(H2) 對每個(gè)i∈N+,存在Mi>0,使對一切x,y∈O都有

‖Ii(x)-Ii(y)‖≤Mi‖x-y‖.

對于IVP(3)的解及其延拓等,有以下定義.

定義 2.1設(shè)區(qū)間I滿足t0=minI,稱函數(shù)x:I→O為IVP(3)在I上的解,如果

(i)x(t0)=x0;

(iv) 對每個(gè)ti∈(t0,supI)都有

定義 2.2設(shè)區(qū)間I滿足t0=minI,函數(shù)x:I→O是IVP(3)在I上的解,稱IVP(3)的另一解y:J→O為x的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對任意t∈I都有x(t)=y(t).若IJ,則稱y為x的(右行)真延拓.

定義 2.3設(shè)區(qū)間J滿足t0=minJ,若IVP(3)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱x:J→O為IVP(3)的飽和解.

為便于后續(xù)的討論,先證明以下引理.

(4)

對任意t∈I都成立(上式右端所含積分項(xiàng)為Lebesgue積分).

證明易知區(qū)間I只可能具有以下形式之一:

I=[t0,β],β<+∞,

或

I=[t0,β),β≤+∞.

必要性 先考慮I=[t0,+∞)時(shí)的情形.設(shè)函數(shù)x:I→O是IVP(3)在I上的解,由

及定義2.1,函數(shù)x在區(qū)間[t0,t1]上絕對連續(xù),于是

t∈[t0,t1],

(5)

考慮到

所以

t∈[t0,t1].

因此，函數(shù)x在區(qū)間[σ,t]上絕對連續(xù).于是

由此可得

t∈(tn,tn+1],n∈N+.

(6)

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明(4)式對任意t∈(t1,+∞)都成立.

(i) 由(6)式及定義2.1,對任意t∈(t1,t2]有

再由(5)式得

x(t)-x0=x(t)-x(t1)+x(t1)-x(t0)=

注意到

因此

t∈(t1,t2].

(ii) 假設(shè)對任意t∈(tn,tn+1]有

其中n∈N+,則

x(tn+1)-x0=

(7)

由(6)、(7)式及定義2.1,對任意t∈(tn+1,tn+2]有

即

仿照以上過程可類似討論I=[t0,β]或I=[t0,β)時(shí)的情形,其中β<+∞.

充分性 先考慮I=[t0,β)時(shí)的情形,不妨設(shè)t1<β<+∞,則存在唯一的n∈N+,使得tn<β≤tn+1.設(shè)函數(shù)x:I→O滿足(4)式.

(i) 由(4)式得

且對任意k=1,2,…,n-1有

(8)

故x′(t)=f(x(t),t)a.e.于[t0,t1);令

t∈[tk,tk+1],k=1,2,…,n-1,

存在.設(shè)

φ(t)+In(x(tn)),

即

x(t)=φ(t)+In(x(tn))+x(tn),t∈(tn,β).

(ii) 設(shè)區(qū)間[a,b]?I滿足

則[a,b]?[t0,t1]或存在唯一的l∈N+,使得[a,b]?(tl,tl+1],由(4)式可知

或

t∈[a,b],

顯然,x在[a,b]上絕對連續(xù).

(iii) 由I=[t0,β),tn<β≤tn+1,n∈N+可知(t0,supI)中全體脈沖點(diǎn)所成之集為{t1,t2,…,tn},由(4)式容易計(jì)算

且對任意k=2,3,…,n有

由(i)～(iii)及定義2.1得知x:[t0,β)→O是IVP(3)在I上的解.

仿照以上步驟可證I=[t0,β],β<+∞或I=[t0,+∞)時(shí)的情形.

設(shè)

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中對每個(gè)i∈N+有

區(qū)別于文獻(xiàn)[3]中對脈沖微分方程僅考慮有限多個(gè)脈沖點(diǎn)的情形,以下將利用條件(C2)和(C3)中的函數(shù)m,l:[t0,+∞)→R與可列多個(gè)算子Ii:O→Rn,i∈N+構(gòu)造單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h).

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

則存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).

t∈[tn,tn+1],n∈N+,

其中

ρn=max{K1+M1,K2+M2,…,Kn+Mn}.

c構(gòu)造函數(shù)

則h:[t0,+∞)→[0,+∞)單調(diào)不減,且在(t0,+∞)中每一點(diǎn)處左連續(xù).

下證F∈(Ω,h).對任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞),由條件(C2)及(H1)有：

(i) 當(dāng)t0≤s1

(ii) 當(dāng)t0≤s1≤t1

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1);

(iii) 當(dāng)t1

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1).

綜上

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立.

由條件(C3)及(H2),仿照以上過程可證

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|

對任意x,y∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立,故F∈(Ω,h).

在后文中,設(shè)

F(x,t)=F1(x,t)+F2(x,t),

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中

引理 2.6設(shè)區(qū)間[a,b]?[t0,+∞)滿足

則對任意函數(shù)x:[a,b]→O都有

[a,b]?(tl,tl+1],

因此,對任一函數(shù)x:[a,b]→O都有

F2(x(τ),t)≡0,τ,t∈[a,b];

或

由注1.2得

引理 2.7設(shè)k∈N+,任取η∈(tk,tk+1],則對任意函數(shù)x:[tk,η]→O都有

證明當(dāng)k∈N+,η∈(tk,tk+1]時(shí),對任意σ∈(tk,η)顯然有

由引理2.6,對任一函數(shù)x:[tk,η]→O有

再由定理1.3,當(dāng)k∈N+,k≥2時(shí)有

F2(x(tk),σ)-F2(x(tk),tk)]=

類似可證

以下定理將呈現(xiàn)IVP(3)與一類廣義常微分方程初值問題之間的等價(jià)關(guān)系,其本質(zhì)上為文獻(xiàn)[3]的定理5.20的延伸與推廣.事實(shí)上,文獻(xiàn)[3]的定理5.20只是局部地肯定了脈沖微分方程與廣義常微分方程在某個(gè)閉區(qū)間上的等價(jià)性,同時(shí)所討論的脈沖點(diǎn)也是有限多個(gè),本文則考慮可列多個(gè)脈沖點(diǎn)的情形,且同時(shí)考慮上述2類方程的初值問題在閉區(qū)間[t0,d]、有界半開區(qū)間[t0,β)以及無界區(qū)間[t0,+∞)上的等價(jià)性.

(9)

在I上的解,其中

(x,t)∈Ω.

證明必要性 設(shè)區(qū)間I滿足t0=minI,函數(shù)x:I→O為IVP(3)在I上的解,則由引理2.4得知x滿足(4)式.任取s1,s2∈I,s1

(10)

以下分2種情形討論:

(i) 若

則由(4)、(10)式及引理2.6得

s1∈(tn-1,tn),s2∈(tn+l,tn+l+1),

其中n,l∈N+,則由(4)式有

顯然區(qū)間[s1,s2]中所有脈沖點(diǎn)所成之集為{tn,tn+1,…,tn+l},由引理2.6及引理2.7有

由以上各式及(10)式可得

x(s2)-x(s1).

由上述討論及定義1.4,x:I→O為IVP(9)在I上的解.

充分性 設(shè)區(qū)間I滿足t0=minI,函數(shù)x:I→O為IVP(9)在I上的解,由定義1.4、性質(zhì)1.9、引理2.6及引理2.7,對任意s∈I,當(dāng)s∈[t0,t1]時(shí)有

當(dāng)s?[t0,t1]時(shí),必存在唯一的l∈N+,使得s∈(tl,tl+1],若l≥2,則

此時(shí)

類似可討論l=1時(shí)的情形.綜上所述,對任意s∈I都有

由引理2.4,x:I→O為IVP(3)在I上的解.

注 2.9由定義1.11、定義2.3及定理2.8不難證明:函數(shù)x:J→O是IVP(3)的飽和解當(dāng)且僅當(dāng)x:J→O是IVP(9)的飽和解,其中區(qū)間J滿足t0=minJ.

對于IVP(3)有以下解的局部存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

由引理2.5,存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).另一方面,不難計(jì)算對任意(x,τ)∈Ω有

F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

(11)

其中

故

由定理1.8,存在Δ>0,使得IVP(9)在區(qū)間[t0,t0+Δ]上存在唯一解

x:[t0,t0+Δ]→O.

再由定理2.8,x:[t0,t0+Δ]→O是IVP(3)在區(qū)間[t0,t0+Δ]上的唯一解.

以下將證明IVP(3)飽和解的存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5,存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).根據(jù)(11)式,對任意(x,τ)∈Ω有

x+F(x,τ+)-F(x,τ)=

x+F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

從而

x+F(x,τ+)-F(x,τ)∈O, ?(x,τ)∈Ω,

即Ω=ΩF.因此,由定理1.12,IVP(9)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.再由注2.9,函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(3)的唯一飽和解.

設(shè)函數(shù)

f:O×[t0,+∞)→Rn

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5及定理2.11的證明過程可知存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,于是由定理1.13至推論1.16及注2.9立即得到以下結(jié)論.