圓錐曲線中弦長(zhǎng)問(wèn)題的解法探究

王慧敏

摘要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)，也是每年高考必考的熱門知識(shí)點(diǎn)。而弦長(zhǎng)問(wèn)題則是圓錐曲線中的經(jīng)典問(wèn)題，也是高考的熱門考點(diǎn)。弦長(zhǎng)問(wèn)題的解題過(guò)程中存在一些通用的技巧，可以適用于大部分弦長(zhǎng)問(wèn)題問(wèn)題解答。本文將通過(guò)一道高考改編題來(lái)探究這類問(wèn)題的常用解法.

關(guān)鍵詞：弦長(zhǎng)公式，焦半徑公式，點(diǎn)差法，伸縮變換

題目：（2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ20（2））已知橢圓C的方程為x^2/3+y^2=1，右焦點(diǎn)F（√2，0），設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x^2+y^2=1（x>0）相切.當(dāng)M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，證明：|MN|=√3.

解法1：（利用弦長(zhǎng)公式）

設(shè)M（x_1，y_1 ） ?，N（x_2，y_2 ）直線MN的方程為x=my+√2，則圓心O（0，0）到直線MN的距離為d=√2/√（m^2+1）=1，解得m^2=1，聯(lián)立方程組{█（x=my+√2@x^2/3+y^2=1）┤，〖4y〗^2+2√2 my-1=0，由弦長(zhǎng)公式可得|MN|=√（1+m^2 ）?√（8m^2+16）/4=√2×√24/4=√3，所以結(jié)論成立。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，圓錐曲線綜合性問(wèn)題雖思路清晰，容易切入，但常常受制于繁瑣而復(fù)雜的運(yùn)算，解法1是先聯(lián)立方程組，再利用弦長(zhǎng)公式，這是解決弦長(zhǎng)問(wèn)題的基本方法，運(yùn)用這種方法的最大問(wèn)題就是計(jì)算問(wèn)題，由于運(yùn)算量太大，導(dǎo)致選用解法1的學(xué)生大多數(shù)不能得出正確結(jié)果.但相對(duì)于利用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)說(shuō)計(jì)算量稍小。

解法2：（利用焦半徑公式）

同解法1得x_1+x_2=-√2/2 m^2+2√2，由焦半徑公式可得

|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2a-e（x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以結(jié)論成立。

點(diǎn)評(píng)：解法2利用橢圓的焦半徑來(lái)解決，相對(duì)解法1來(lái)說(shuō)運(yùn)算量大大減少，并且容易理解。

解法3：（利用點(diǎn)差法）

由解法1可知m^2=1，設(shè)M（x_1，y_1 ） ?，N（x_2，y_2 ）直線MN的方程為x=my+√2.則{█（〖x_1〗^2/3+〖y_1〗^2=1@〖x_2〗^2/3+〖y_2〗^2=1）┤，兩式相減，得1/m?（y_1+y_2）/（x_1+x_2 ）=-1/3 ①.又因?yàn)镸N過(guò)點(diǎn)F（√2，0），所以1/m=（（y_1+y_2）/2）/（（x_1+x_2）/2-√2），即y_1+y_2=1/m （x_1+x_2-2√2）②，將②代入①得x_1+x_2=（6√2）/（m^2+3）.由焦半徑公式得|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以結(jié)論成立;

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的基本方法，用點(diǎn)差法處理弦長(zhǎng)問(wèn)題，省略掉了聯(lián)立方程組這一步驟，計(jì)算簡(jiǎn)潔，事半功倍.但值得注意的是，若弦不過(guò)焦點(diǎn)，則點(diǎn)差法失效[1].

解法4：（利用伸縮變換）

令x^'=x/√3，y^'=y，則直線MN的方程x=my+√2變?yōu)椤? x^'=my^'+√2，m變?yōu)閙^'=m/√3，橢圓C的軌跡方程變?yōu)椤紉^'〗^2+〖y^'〗^2=1，則|M^' N^' |=√（1+〖m^'〗^2 ）?|y_1^'-y_2^' |=√（1+m^2/3）?|y_1^'-y_2^' |.又因?yàn)閨M^' N^' |=2√（R^2-d^2 ）=√2，由解法1可知m^2=1，故√（1+1/3）?|y_1^'-y_2^' |=√2，即|y_1^'-y_2^' |=|y_1-y_2 |=√6/2，所以|MN|=√（1+m^2 ）?|y_1-y_2 |=√3，所以結(jié)論成立;

點(diǎn)評(píng)：解法4利用橢圓與圓之間的伸縮變換構(gòu)造一個(gè)新的圓的方程，利用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決問(wèn)題.雖然這并不是最簡(jiǎn)單的解法，但是它可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)將知識(shí)融會(huì)貫通.

小結(jié)：在解決圓錐曲線的弦長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可采用弦長(zhǎng)公式、焦半徑公式、點(diǎn)差法和伸縮變換的方法來(lái)解決。一題多解可以使學(xué)生開闊視野，把學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法融會(huì)貫通，使用自如。

參考文獻(xiàn)：

[1]聶文喜.從一道高考題談圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2016（12）：40-42.