關于廣義Sylvester矩陣方程反自反解的有限迭代算法

鄧 勇

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

0 引言

眾所周知，若矩陣P∈Rn×n滿足條件PT=P和P2=I，則稱其為廣義反射矩陣.若矩陣A∈Rn×n滿足條件A=-PAP，則稱其為關于廣義反射矩陣P的反自反矩陣[1].

關于廣義反射矩陣的反自反矩陣已廣泛應用于工程和科學計算中.[2-3]文獻[4-10]分別研究了不同形式的線性矩陣方程的自反和反自反解；文獻[11]在MHSS方法的基礎上，獲得了一種求解具有非Hermitian矩陣和對稱復正定(半正定)矩陣的大型稀疏Sylvester方程的廣義MHSS方法；文獻[12]基于求線性矩陣方程約束解的修正共軛梯度法，通過修改某些矩陣的結構，建立了特殊類型的多變量線性矩陣方程的廣義自反解的迭代算法；文獻[13]討論了廣義耦合Sylvester矩陣求解的迭代算法；文獻[14]建立了一類Riccati矩陣方程廣義自反解的雙迭代算法；文獻[15]研究了矩陣方程組存在廣義自反和反自反解的充要條件.在上述文獻研究的基礎上，本文將給出計算一類新廣義Sylvester矩陣方程反自反解的有限迭代算法.

考慮廣義Sylvester矩陣方程

AX+BY=EXF+C.

(1)

其中：A，E∈Rm×p，B∈Rm×q，F∈Rn×n，C∈Rm×n是給定矩陣，X∈Rp×n和Y∈Rq×n是待定矩陣.

1 預備知識

(2)

的形式，其中U=[U1，U2]是正交矩陣(UUT=UTU=In)且U1∈Rn×r，U2∈Rn×(n-r)[2].

定義1.1 線性或非線性矩陣方程組稱為相容的，如果至少有一組未知量的值滿足其每個方程.否則，稱矩陣方程組不相容，即不存在滿足其所有方程的一組未知量的值.

(3)

其中：A2∈Rr×(n-r)，A3∈R(n-r)×r，U和UT如(2)式所示.

設A，B，E，C∈Rm×n，F∈Rn×n，并且兩個n階廣義反射矩陣P和S可表為

(4)

其中U=[U1，U2]和Z=[Z1，Z2]是正交矩陣，U1，Z1∈Rn×r，U2，Z2∈Rn×(n-r).現給出如下分解：

AU=(A11，A12)，A11∈Rm×r，A12∈Rm×(n-r)；EU=(E11，E12)，E11∈Rm×r，E12∈Rm×(n-r)；

則可證得如下定理：

定理1.1 設A，B，E，C∈Rm×n，F∈Rn×n.若P和S是兩個n階廣義反射矩陣，則下列陳述等價：

(b) 矩陣方程

A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

(5)

有反自反解.在有解的情況下，廣義Sylvester矩陣方程(1)的反自反解可表為

(6)

其中：X12，Y12∈Rr×(n-r)；X13，Y13∈R(n-r)×r；U，UT，Z，ZT如(4)式所示.

2 矩陣方程(5)的迭代算法

問題2.1 對給定的矩陣A11，B11，E11∈Rm×r，A12，B12，E12∈Rm×(n-r)，F11，U11，Z11∈Rr×n，F12，U12，Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n，求X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，使其滿足

A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

(7)

(8)

2.1 問題2.1的算法程序

第一步輸入矩陣A11，B11，E11∈Rm×r，A12，B12，E12∈Rm×(n-r)，F11，U11，Z11∈Rr×n，F12，U12，Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n.

第二步選擇任意的X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r.

第三步計算

R(1)=C-A11X12(1)U12-A12X13(1)U11+E11X12(1)F12+E12X13(1)F11-B11Y12(1)Z12-B12Y13(1)Z11，

第四步若R(k)=0，則X12(k)，X13(k)，Y12(k)，Y13(k)就是矩陣方程(5)的解，于是終止步驟；若R(k)≠0，而P1(k)=P2(k)=Q1(k)=Q2(k)=0，則矩陣方程(5)不相容，為此需轉到下一步.

第五步令‖P1(t)‖2+‖P2(t)‖2+‖Q1(t)‖2+‖Q2(t)‖2=λ(t)，μ(t)=‖R(t+1)‖2/‖R(t)‖2，計算

X12(k+1)=X12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P1(k)；X13(k+1)=X13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P2(k)；

Y12(k+1)=Y12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q1(k)；Y13(k+1)=Y13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q2(k)；

第六步由第五步得到上述序列后再轉到第四步.如此循環反復.

2.2 算法2.1的收斂性分析

引理2.2.1[2]若線性方程組Ax=b有解x*∈R(AT)，則x*是其唯一的最小Frobenius范數解.

算法2.1具有下列重要性質：

引理2.2.2 設序列{R(i)}，{P1(i)}，{P2(i)}，{Q1(i)}，{Q2(i)}由算法2.1給出.若R(i)≠0，則有

(9)

證明顯然，只需證明對1≤i

第一步證明當j=i+1時，有

(10)

事實上，由數學歸納法，當i=1時，有

此外，

假設對1

此即

tr(RT(t+1)R(t))=0.

(11)

同樣有

(12)

第二步證明當1≤i≤s-1和1≤l≤s時，有

(13)

成立.由于l=1的情況已在第一步中證明，所以只需證明當l≤v≤s時，(13)式成立即可.

由數學歸納法分兩步證明

(14)

首先，當i=1時，由算法2.1和第一步，(14)式中第1式的左邊可寫為

(14)式中第2式的左邊也可寫為

由歸納原理可知，(14)式正確.

其次，利用第一步的證明結果和算法2.1，可得

(15)

以及

(16)

重復(15)和(16)式的上述推導過程，對確定的α和β，可得

利用這兩個關系并結合(14)式可知，當l=v+1時(13)式正確.

綜合上述結果，由數學歸納法可知引理2.2.2成立.證畢.

(17)

其中R(i)，P1(i)，P2(i)，Q1(i)，Q2(i)，X12(i)，Y12(i)，X13(i)，Y13(i)是由算法2.1得到的序列.

證明利用數學歸納法.當i=1時，通過直接計算可得

假設當i=t時(17)式成立，即有

(18)

于是，當i=t+1時，就有

現將在算法2.1中得到的X12(t+1)，Y12(t+1)，X13(t+1)，Y13(t+1)代入上式，可得

最后，利用(18)式得到

根據數學歸納法，對所有的i=1，2，…，引理2.2.3均成立.證畢.

注1引理2.2.3表明：若存在正數i，使得P1(i)=P2(i)=Q1(i)=Q2(i)=0但R(i)≠0，則矩陣方程(5)不相容.因此，在沒有舍入誤差的情況下，矩陣方程(5)的可解性可由算法2.1自動確定.

定理2.2.1 設問題2.1相容.于是，在沒有舍入誤差的情況下，對任意初始矩陣X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，利用算法2.1，問題2.1的解可通過有限步迭代而獲得.

(19)

(20)

因此，R(1)，R(2)，…，R(mn)是矩陣空間Rm×n的一組正交基且R(mn+1)=0.這意味著，X12(mn+1)，Y12(mn+1)，X13(mn+1)，Y13(mn+1)是問題2.1的反自反解.證畢.

證明矩陣方程(5)關于廣義反射矩陣反自反解的可解性等價于線性方程組

的可解性[15].現在，任取矩陣D，由于

3 問題2.2的最佳逼近反自反解

設問題2.2是相容的，從而其解集S3≠?.對給定的矩陣X12，Y12∈Rr×(n-r)和X13，Y13∈R(n-r)×r，顯然，矩陣方程

A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

(21)

等價于矩陣方程

于是，問題2.2的最佳逼近反自反解等價于矩陣方程

4 數值算例

給定廣義Sylvester矩陣方程(1)，取

求其最佳逼近反自反解.

將矩陣P，S分別表示為

容易證明，PXP=-X，SYS=-Y，即X和Y分別是關于廣義反射矩陣P和S的反自反矩陣，并且矩陣方程存在關于廣義反射矩陣P，S的反自反解.通過計算，其反自反解為

現在，利用算法2.1求解矩陣方程(11).由定理1.1知，線性矩陣方程(11)等價于矩陣方程

A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

(22)

其中：

選擇任意初始迭代矩陣X12(1)=Y12(1)=X13(1)=Y13(1)=0.由算法2.1，可得方程(5)的近似解為

并且，其相應的殘差為

其中

表1給出了方程(22)的最小Frobenius范數解的迭代次數k和相應殘差的范數.

表1 最小Frobenius范數解的迭代次數和相應殘差的范數

并且，其相應的殘差為

并且，其相應的殘差為

表2 最佳逼近解的迭代次數和相應殘差的范數