滾塑模具內表面傳熱系數與模具轉速間關系的研究

劉學軍

（北京工商大學人工智能學院，北京 100048）

0 前言

本文研究的滾塑模具是一個只繞著其軸線轉動的圓筒形模具，所采用的加熱方式是在模具的外表面進行電加熱。加熱階段是指從滾塑模具開始受熱到其內部粉料開始熔融之間的這一段過程，并將該過程所花費的時間簡稱為加熱時間。對于一個電加熱的滾塑模具，在加熱階段熱量以導熱的方式從模具的外表面傳導到其內表面，同時內表面以對流換熱的方式將熱量傳遞給模內空氣和粉料的混合物，模內空氣與粉料之間同時也在進行對流換熱。模具內表面與模內混合物之間的對流換熱本質上是一個固體表面與氣固兩相流的流動與傳熱問題，其傳熱機理非常復雜，因此要想精確得出滾塑模具的內表面傳熱系數是非常困難的。在對滾塑加熱過程進行仿真計算時，模具的內表面傳熱系數用作傳熱理論模型的輸入參數，因此準確的內表面傳熱系數有助于提高滾塑加熱過程的仿真精度，尤其是提高模內溫度的計算精度。

以往涉及到滾塑模具內表面傳熱系數的研究主要分為兩大類。第一類是先通過實驗測得模具外表面溫度和模內溫度，然后建立一個滾塑工藝的傳熱理論模型，通過該模型對加熱階段進行仿真計算，從而得到模具的內表面傳熱系數［1-2］。但文獻［1］研究的是一個沒有裝粉料的空模具，與實際情況相差甚遠；文獻［2］沒有研究模具轉速等因素對內表面傳熱系數的影響。第二類是根據經驗直接給出模具內表面傳熱系數的估計值［3-7］，但并未給出采用這些值的理論或實驗依據。這些研究所采用的模具內表面傳熱系數的大小差異較大，這也是造成在這些研究中模內溫度仿真精度較低的主要原因之一。

Olinek等［8］通過實驗研究了單軸轉動的圓筒形模具轉速的變化對其內部粉料運動情況和分布狀態的影響，根據模具轉速由低到高依次將粉料的運動狀態分為滑動、雪崩、翻滾、瀑布、離心5種狀態。Nguyen等［9］應用光滑粒子流體動力學方法（SPH）模擬了粉料在圓筒形滾塑模具內部的流動狀態，其計算結果與實驗結果吻合較好。但在這兩項研究中均未考慮轉速對模具內部傳熱過程的影響。Adams等［10］通過實驗研究了在加熱階段滾塑模具的轉速對模內粉料的運動情況和模內溫度的影響。該模具為一個受電加熱的單軸轉動的圓筒形模具，實驗工況包括粉料在模內體積占比分別為10%和30%，在這2種工況下他們分別給出了在不同轉速下模內粉料的加熱時間的實測值。

綜上所述，迄今為止尚未見有關滾塑模具內表面傳熱系數的影響因素的報道，尤其是研究該傳熱系數是如何隨模具轉速而變化的。如果能發現這個變化規律，就能獲知最大內表面傳熱數所對應的轉速。那么在實際應用中就可以將滾塑模具的轉速設置為相同值，從而縮短滾塑工藝的加熱時間，提高滾塑工藝的加熱效率。另外也可以通過該研究，得到在滾塑加熱階段模具與模內粉料和空氣混合物之間的傳熱機理。為此，本文基于滾塑工藝加熱階段的tumbling模型［3-5］，為電加熱的滾塑模具建立了一個更為簡化的傳熱理論模型，其中常微分方程采用MATLAB軟件進行求解。通過本傳熱模型并借助文獻［10］中實驗測得的加熱時間，即可得出在不同模具轉速下的內表面傳熱系數。文獻［10］中沒有給出在模具處于靜止和較高轉速下的加熱時間，但在這2種工況下模內粉料的狀態是確定的而且不隨時間改變，因此可以比較方便地通過FLUENT軟件對其進行仿真計算以得到加熱時間，并轉換成模具的內表面傳熱系數。這樣就得到了當粉料在模內空間占比分別為10%和30%時，模具內表面傳熱系數隨其轉速變化的全景圖，所得的研究結論可為滾塑工藝加熱階段的過程控制和參數最優化提供理論依據。

1 計算參數及實驗結果

如圖1所示，一個圓筒形鋼制模具繞軸線O做單軸轉動，其外表面被通電的加熱帶均勻加熱。根據文獻［10］，模內空間的內徑為210 mm，長度為220 mm，模具壁厚為2 mm。模具外表面的熱流密度為3 120 W/m2，模具的初始溫度為30℃，模內的初始溫度為26℃。模內裝有聚乙烯粉料，其表觀密度為353 kg/m3，熱導率為0.1 W/（m·K），比熱容為660 J/（kg·K），熔融溫度為128℃。采用圓柱坐標系研究該流動與傳熱問題，r為徑向坐標，θ為周向坐標，軸向坐標z過軸心O并與紙面垂直。

圖1 圓筒形滾塑模具的橫截面示意圖Fig.1 Schematic of cross-section of cylindrical rotational mold

如圖2所示，文獻［10］給出了粉料在模內體積占比分別為10%和30%的2種工況下，模內粉料在不同模具轉速時的加熱時間的實測值。可以看出，當粉料體積占比為10%時，加熱時間隨模具轉速的變化很??；當粉料體積占比為30%時，加熱時間先是隨模具轉速的增加而顯著縮短，在達到最小值后開始隨轉速的增加而緩慢變長。

圖2 粉料的加熱時間隨模具轉速的變化Fig.2 Variation of heating time of powder with rotational speed of the mold

2 傳熱模型的建立

2.1 控制方程

文獻［10］沒有給出在不同轉速下模具的內表面傳熱系數。本文建立了一個簡化的傳熱理論模型，以將該文獻中實測的加熱時間轉換成內表面傳熱系數，這樣就可以研究該傳熱系數隨模具轉速的變化規律。為建立本傳熱模型，有必要先作出以下2點假設：（1）由于鋼制模具的熱導率比較大，但壁厚很薄，因此可忽略在模具壁厚內的溫度梯度。（2）假設模內粉料與空氣混合非常均勻，整個混合物與模具內壁面發生對流換熱。這樣模具溫度和模內溫度都只是時間的函數，而與空間位置坐標無關，因此所列出的控制方程為簡單的常微分方程。

根據能量守恒原理可知，電加熱帶傳給模具的熱量等于模具內能的增量與內部混合物內能的增量之和，同時模具與內部混合物的對流換熱量等于內部混合物內能的增量。由此得到本傳熱模型的控制式（1）和式（2），初始條件為t=0，Tm=Tm0，Tap=Tap0。

式中 Ai——模具內表面的面積，m2

Ao——模具外表面的面積，m2

hi——模具內表面傳熱系數，W/（m2·K）

Ma、Mm、Mp——內部空氣、模具、粉料的質量，kg

q——模具外表面的熱流密度，W/m2

t——時間，s

Tap、Tap0——模內混合物的溫度、初始溫度，℃

Tm、Tm0——模具的溫度、初始溫度，℃

Cap——模內混合物定壓比熱容，J/（kg·K）

根據內部空氣和粉料的質量分數按式（3）計算Cap：

式中 Ca、Cm、Cp——內部空氣、模具、粉料的定壓比熱容，J/（kg·K）

嚴格來講，模具內表面的瞬時傳熱系數隨著加熱過程是變化的。即在加熱剛開始時，瞬時傳熱系數很大，隨著加熱過程的進行快速下降，然后下降的幅度慢慢變緩［2］。但為了避免式（2）變成數學上求解困難的非線性微分方程，這里的內表面傳熱系數hi指的不是瞬時傳熱系數，而是在加熱時間段內平均的內表面傳熱系數。

2.2 粉料開始熔融的溫度條件

采用MATLAB軟件對方程式（1）和（2）進行求解，所得的計算結果是模具的溫度和模內混合物的溫度。要將實測的加熱時間轉換成模具的內表面傳熱系數，就必須首先定義當粉料剛開始熔融并粘附在模具內表面的那一時刻所對應的模具或模內混合物的溫度。以往的研究均未給出嚴格的理論或實驗依據來確定當粉料剛開始熔融時模具或模內混合物的溫度具體值。文獻［3］認為當模具溫度上升到粉料的熔融溫度時，粉料即開始熔融。但根據傳熱學中的牛頓冷卻公式［11］可知，此時模內粉料的溫度肯定還低于其熔融溫度，實際上熔融還未開始。另外模具溫度對內表面傳熱系數的變化也不敏感，因此采用某個模具溫度作為熔融開始的依據并不合適。

本文采用模內混合物的溫度作為粉料開始熔融的依據，并規定當模內混合物的溫度達到粉料熔融溫度的90%即115.2℃時，模內的粉料開始熔融，其對應的時刻就是實測所得加熱時間的終點。文獻［10］給出了在加熱階段的前6 min內的模內溫度的實測值。對應的工況是粉料占比為30%和模具轉速為2 r/min，實驗結果表明在該工況的加熱時間為9.5 min。在第6 min實測的模內溫度約為70℃，模內溫度隨時間的變化大致是按線性比例關系。那么可以估算出在該工況下，當粉料開始熔融時模內溫度約為110.8℃。因此，認為當粉料開始熔融時模內混合物的溫度為115.2℃是在合理的溫度范圍內。

2.3 傳熱模型的求解步驟

對方程式（1）和（2）的求解步驟是：首先在某一個工況下，即某個確定的模具轉速和粉料體積占比，假設一個內表面傳熱系數，可計算出在實測的加熱時間末了時刻模內混合物的溫度。如果該溫度等于115.2℃，那么內表面傳熱系數的假設值就是該工況下實際的內表面傳熱系數，計算過程即可終止。如果該溫度高于115.2℃，則減小前述內表面傳熱系數的假設值，重新求解方程式（1）和（2），反之則增大傳熱系數的假設值，重新求解該方程組，這樣不斷調整假設的內表面傳熱系數，直到模內混合物的溫度剛好等于115.2℃為止。

3 計算結果及分析

3.1 傳熱模型的驗證

如圖3所示，針對粉料的體積占比為30%和模具的轉速為2 r/min工況時，采用本傳熱模型計算出模具的內表面傳熱系數為7.6 W/（m2·K），同時算出了在整個加熱時間9.5 min內的模內溫度，并與該工況下模內溫度的實測值進行了比較，總體上計算結果與實驗結果吻合的比較好。圖3上特意標出了當模內溫度的計算值達到115.2℃，理論上認為粉料剛開始熔融，其對應的時刻即為加熱時間570 s的終點。

圖3 模內溫度的計算值與實測值的比較Fig.3 Comparison of calculated results with tested ones for internal temperature

由圖3還可以看出，實測的模內溫度隨時間基本上是按線性比例關系升高，但由傳熱模型計算得到的模內溫度先是隨時間緩慢升高，然后隨時間升高的速率越來越快。實測的模內溫度實際上是模內空氣的溫度，而計算所得的模內溫度是模內混合物的平均溫度。在加熱階段的早期，由于模內粉料與空氣混合的還不均勻，模內空氣的溫度要高于粉料的溫度，因此模內混合物的平均溫度低于模內空氣的溫度。另外如前所述在整個加熱階段，傳熱模型里采用的都是模具內表面平均的傳熱系數，低于在加熱階段早期的瞬時傳熱系數，這2個原因造成了模內溫度的計算值要低于實測值。但是根據該圖曲線2的趨勢，可知到了加熱階段的后期模內溫度的實測值將會變得低于計算值。這是因為當粉料溫度升高到一定程度，其定壓比熱容開始顯著增大，實際上讓粉料繼續升溫需要消耗比早期更多的熱量，但是本傳熱模型為避免求解困難的非線性微分方程，沒有考慮此變物性的影響。

3.2 模具靜止和轉速較高時的工況

文獻［10］未給出在粉料的體積占比分別為10%和30%這2種工況下，模具靜止和轉速較高時的加熱時間。當模具靜止即轉速為零時，由于重力的作用，粉料肯定沉積在模具內部空間的底部。而另一方面模具轉速也可以高到讓模內粉料處于離心狀態，即離心力大到能讓粉料緊貼在模具內表面上形成一層均勻的粉料層。使模內粉料處于離心狀態的模具轉速應該是大于某個轉速的范圍值，但目前并不知道這個轉速的具體范圍值，本研究就把使得模內粉料處于離心狀態的轉速范圍統稱為模具轉速較高的工況。

如圖4所示，當模具靜止和轉速較高時，模內粉料的狀態簡單且不隨時間改變。因此很容易應用FLUENT軟件對其進行仿真計算以獲得這2種工況下的加熱時間，然后再轉換成模具的內表面傳熱系數。雖然在實際的滾塑工藝中一般不會采用這2種轉速，但它們是所有轉速中的2種極端情況。將這2種工況下模具內表面傳熱系數與其他轉速對應的內表面傳熱系數一起研究，可以更深刻地揭示模具內表面傳熱系數隨轉速變化的內在的流動與傳熱機理。

圖4 不同模具轉速時模內粉料的狀態Fig.4 The condition of powder inside the mold at different speed

圖5（a）給出了當模具靜止時，對于體積占比分別為10%和30%的粉料，由FLUENT軟件計算出的模內溫度隨時間的變化情況。計算過程顯示前者的加熱時間為590 s，后者的加熱時間為769 s。圖5（b）給出了當模具的轉速較高時，對于體積占比分別為10%和30%的粉料，由FLUENT軟件計算出的模內溫度隨時間的變化情況。計算過程顯示前者的加熱時間為318 s，后者的加熱時間為540 s。

圖5 不同模具轉速時模內溫度的計算值隨時間的變化情況Fig.5 Variation of calculated internal temperature with time when the mold rotates at different speed

3.3 模具內表面傳熱系數隨模具轉速的變化規律

將圖2所示以及模具靜止和轉速較高的所有工況下的加熱時間通過本傳熱模型轉換為內表面傳熱系數分別顯示在圖6中。圖6中，將模具轉速較高時的內表面傳熱系數用水平虛線表示，并不與某個或某些特定的轉速相對應，僅用于與其他較低轉速時的傳熱系數進行比較。

由圖6（a）可以看出，當粉料的體積占比為10%時，模具由靜止到轉速為2 r/min，其內表面傳熱系數快速增大，隨后內表面傳熱系數隨模具轉速的變化很小。當模具靜止時，其內表面與模內混合物間的傳熱方式是導熱，而不是對流換熱，因此傳熱系數很低。10%的體積占比意味著模內粉料所受的慣性力比較小，只要模具稍微有一點轉速，粉料就會運動起來與模內空氣混合，同時二者的混合物與模具內表面進行對流換熱，從而使得內表面傳熱系數急劇增大。在轉速達到2 r/min后繼續增加模具的轉速，由于模內的粉料比較少，其運動狀態的變化對模具內表面向模內混合物的傳熱效果影響不大，因此內表面傳熱系數的變化也變得不明顯。

當模具的結構尺寸和粉料的物性確定后，模具內表面傳熱系數的高低主要取決于粉料與模具內壁接觸面積的大小和粉料的運動狀態這兩個因素的綜合效果。當模具的轉速高到使得粉料層處于緊貼內表面的離心狀態時，粉料與內表面的接觸面積最大，但粉料與模內空氣的混合運動卻很弱。當粉料的體積百分比為10%時，由于粉料層很薄，因此來自模具的熱量通過導熱方式在粉料層內傳遞的很快。也就是說此時粉料與模具內壁較大的接觸面積使得傳熱系數升高的程度超過了粉料與模內空氣較弱的混合運動使得傳熱系數降低的程度，因此如圖6（a）所示當粉料的體積占比為10%時，較高模具轉速工況下的內表面傳熱系數要明顯高于較低轉速下的內表面傳熱系數。但是由于較高轉速下滾塑設備各個運動零部件的慣性力會很大，嚴重削弱了機械的結構強度，因此即使具有較高的內表面傳熱系數，實際中滾塑模具也不會采用使粉料處于離心狀態的較高轉速。

圖6 不同粉料體積占比時模具內表面傳熱系數隨轉速的變化Fig.6 Variation of heat transfer coefficient at inner surface of mold with different volume percentage of powder against rotational speed

由圖6（b）可以看出，當粉料的體積占比為30%時，模具由靜止到轉速為2 r/min，其內表面傳熱系數快速增大，但增大的速率相對粉料體積占比為10%要低。這是因為前者粉料的質量較大，所受的慣性力也大，所以粉料與模內空氣的混合運動很難快速變強。當模具的轉速增加到5 r/min之后，內表面傳熱系數升高的幅度開始變緩。當模具的轉速達到20 r/min時，內表面傳熱系數升到了最大值，然后隨著模具轉速的繼續增加開始減小。轉速過了25 r/min后，該傳熱系數減小的速率變的很緩慢。

另外由圖6（b）還可以看出，在模具轉速較高的工況條件下內表面傳熱系數要小于絕大部分轉速較低的工況，這與粉料的體積占比為10%時完全不同。這說明當粉料的體積占比為30%時，在較高的模具轉速下，即使粉料與模具內壁有最大的接觸面積，但這使傳熱系數升高的程度仍然不及由于粉料與模內空氣較弱的混合運動而使其降低的程度。因此當模內的粉料量較多時，為了獲得高的模具內表面傳熱系數，首要考慮的是模具轉速應能使得粉料與模內空氣的混合運動更劇烈，其次才是讓粉料盡可能與更多的模具內表面保持接觸。

圖6（b）顯示當模具轉速處于10～30 r/min范圍內時，內表面傳熱系數相對較高。在此轉速范圍的粉料的運動模式應該是文獻［8］中所顯示的翻滾狀態或者瀑布狀態。當模內粉料的運動處于翻滾狀態時，一方面，在模具底部的粉料堆整體隨著模具的轉動向上運動；另一方面在粉料堆的自由表面處有一層粉料連續的從上向下流動。這個流動的粉料層同時與其下方的粉料堆和上方的模內空氣進行對流換熱，因此增強了模具內表面向模內混合物的傳熱效果。當模內粉料的運動處于瀑布狀態時，同樣在模具底部的粉料堆整體也是隨著模具的轉動向上運動；另外此時粉料所受的慣性力大到能把一部分粉料甩入到模內空氣中，與之充分混合，因此也強化了模具內表面與模內混合物之間的換熱。

在實際的滾塑工藝中，圓筒形模具轉速一般為4～20 r/min［8］，與圖6所示的較高內表面傳熱系數所對應的轉速范圍部分重合。在滾塑加熱階段的仿真計算中，一般需要事先知道模具內表面的傳熱系數，將其作為已知條件輸入傳熱模型。為簡便起見，可將圖6中在轉速范圍4～20 r/min的內表面傳熱系數取算數平均值，從而得到在實際的滾塑加熱階段圓筒形模具的內表面傳熱系數：當粉料體積占比為10%時該傳熱系數約為 6.8 W/（m2·K），當粉料體積占比為 30%時該傳熱系數約為14 W/（m2·K）。

4 結論

（1）為圓筒形滾塑模具在粉料開始熔融前的加熱階段建立了一個簡化的傳熱理論模型，通過該模型將實驗測得的粉料加熱時間轉換為模具的內表面傳熱系數；當粉料的體積占比為10%時，隨著模具由靜止開始增加轉速，內表面傳熱系數先是快速增大，但在轉速達到2 r/min以后，內表面傳熱系數隨模具轉速的變化變得很小；當粉料的體積占比為30%時，隨著模具由靜止開始增加轉速，內表面傳熱系數顯著增大，在轉速達到5 r/min以后，內表面傳熱系數的增速變緩，并在20 r/min時達到了最大值；繼續增加轉速，該傳熱系數開始減小，并在25 r/min后減小的速率變緩；

（2）在實際的滾塑加熱階段，當模內粉料的體積占比為10%和30%時，圓筒形模具的內表面傳熱系數分別約為 6.8 W/（m2·K）和14 W/（m2·K）。