“理”向抽象讓概念自然生長

文|羅鳴亮

數學概念是數學知識的基礎，又是數學思維的基本形式，而抽象則是形成概念的必要手段。《分數的再認識（一）》是北師大版五年級上冊《分數的意義》單元的第一課時。在三年級下冊中，學生就以直觀模型為主，結合情境和直觀操作，經歷了分數產生的過程，初步認識了分數的意義。本課是在此基礎上進一步學習的，旨在從“整體”、“分數的意義”和“分數表示數大小的相對性”三個方面進一步認識和理解分數，豐富對分數的認識。

下學校聽課時，一位教師執教本課給筆者留下了深刻印象。教學緊扣本質內涵，引發學生主動借助“直觀”“想象”與“思辨”三種數學語言，詮釋分數意義這一形式的、抽象的概念背后隱含的深刻道理，使無形的抽象思維看得見、道得明、理得清。從而催發學生的認識由感性上升到理性，讓概念學習自然生長。

一、直觀——化隱為顯，讓抽象思維“看”得見

對于學生而言，要將“多個物體”看成整體“1”是很難理解的，與自然數“1”的確定性相比較，這和學生原有認知經驗是相互矛盾的，但構建抽象、靈活的整體“1”是學生構建分數概念過程的主線。所以不管是從分數的知識結構，還是從學生的認知基礎思考，對分數的再認識都需要再認識整體“1”。要使抽象的整體“1”更容易理解，就要善用、巧用幾何直觀，活化整體“1”的道理，使學生的抽象思維在“直觀”的數學語言中化隱為顯。

圖1

直觀不是教學的最終目的和認識的最終階段，而是發展學生抽象思維能力強而有力的策略。學生的創作直觀生動，折射出的道理卻意味深長。由此，借形象的“直觀”語言使“抽象”的知識淺顯化，從而詮釋整體“1”的深刻道理，領悟“直觀”語言獨有的“化隱為顯”的魅力。

二、想象——化無為有，讓抽象思維“道”得明

想象是思維的一種特殊形式，是數學學習的一種特殊語言。對于概念學習來說，無論是其理性，還是其抽象，都需要與之相適應的想象，使概念的本質道理摸得著、道得明，從而再現和揭示概念的本源，領悟概念的內涵。

圖2

數學概念具有較強的抽象性，需要從數學的理性、抽象、厚重出發，引發學生的空間想象，將數學知識進行關聯，主動創造，化無為有，使抽象的概念變得生動、具體、簡單，促使學生依托“想象”的數學語言，在分析說理中提高抽象思維能力。

三、思辨——化虛為實，讓抽象思維“理”得清

在本課教學中，分數的意義是基于部分與整體的關系建構起來的。整體“1”既可以表示把單個圖形看作一個整體，也可以表示由多個圖形、多組圖形所組成的一個整體，那么與整體“1”相對應的量是動態的，具有相對性。這與自然數“1”表示數的多少的確定性有著很大的區別。針對抽象的相對性，教學從兒童的生活經驗出發，返回數學知識的具象處、形象處進行探究，化虛為實，物化抽象的數學概念，使分數意義在思辨中進一步深化，體會知識應有的生命活力。

教學基于分數的初步認識和平均分的認知基礎，展開“拿出正方形總數的”的活動，學生通過思考、操作，每次都能準確拿出正方形總數的個數，依次拿出8 個、4 個、2 個……但深入分析，不難發現，學生的思維此時只停留在運算的層面。為進一步深入分數意義的內涵，提出問題：“同樣是拿出整體的，拿出的部分量為什么都不一樣？”學生結合具體情境，借助前面部分推知整體的經驗，展開辨析說理：“每次拿出的部分量不一樣，是因為正方形的整體量不同。”“一樣拿出整體量的，正方形總數一直在變，拿出的部分量也就跟著變。”……依托“思辨”語言，學生的思維漸趨清晰，道理逐步明朗。認識到整體與部分的關系保持不變，同一個分數，整體量不同，所對應的部分量也就不同。繼而思考：“既然拿出的都不一樣，為什么都能用表示？”引發學生的思維層層深入，用思辨的眼光分析問題，以已有知識和經驗為基礎，回歸到知識的源頭處異中求同，理清“只要把正方形的總數平均分成2 份，拿出的1 份都是正方形總數的”的道理。從“是什么”走向“為什么”，從感性的淺層走向理性的深層，實現具象與抽象的相互轉化。再次深入其本質特征，從相對量的角度理解分數意義中的部分與整體的關系，感悟不管整體“1”的數量是多少，只要我們把它平均分成兩份，這樣的一份都能用來表示。從而進一步加深認識分數意義的內涵，引發學生數學抽象思維能力向縱深發展。

數學概念是理性的、抽象的、形式化的，教學要引領學生透過形式化的概念呈現，依托直觀、想象、思辨三種數學語言，一次次化隱為顯、化無為有、化虛為實。從而邁過抽象概括過程中的一道道“坎”，深入理性的本質，于直觀中“看”見整體“1”的道理，于想象中“道”明分數意義的本質，于思辨中“理”清分數意義的內涵，使抽象的概念看得見、道得明、理得清。引領學生在“理”中無縫鏈接具象與抽象，促使學生全面經歷知識的形成和發展過程，由此及彼，由表及里，深刻把握概念的內涵和本質特征，使概念學習得以自然生長，抽象思維逐漸走向深入。