數學實驗幫助學生思維
——評《長方形和正方形的面積》一課教學

文|潘小福（特級教師）

《長方形和正方形的面積》一課，是蘇教版教材三年級下冊的教學內容。作為“圖形與幾何”領域的學習內容，它適于以數學實驗的方式展開探究活動，讓學生經歷面積計算公式的推導發現過程。同時這是平面圖形面積計算公式推導的起始課，是“種子課”，學好了這節課，學生的數學思維會有質的飛躍，能讓學生對平面圖形面積計算推導形成認知結構，為后續學習平行四邊形、三角形、梯形、圓等面積計算公式的推導，提供良好的、可遷移的研究方法結構，便于學生自主、獨立地展開學習活動。

一、解析教材編排的意圖

蘇教版教材在編寫《長方形和正方形的面積》這一內容時，共編排了三個例題，這三個例題的編排有其特有的內在邏輯結構與編排意圖。

第一個例題（教材第66 頁例4），用幾個1 平方厘米的正方形擺長方形，初步體會擺出的長方形的長和寬與小正方形個數之間的聯系，初步感知小正方形的個數與長方形的面積之間的聯系，強化對“擺了多少個小正方形，長方形的面積就是多少平方厘米”這一知識的認識。第二個例題（教材第66 頁例5），用1 平方厘米的正方形“量”已知長方形的面積，引導學生在探索快速“量”出長方形面積的過程中，想到“要知道一共可以擺幾個正方形，只要知道橫排擺幾個，豎排擺幾個，就可計算長方形面積”的簡便方法。第三個例題（教材第66 頁例6），對已知長和寬的長方形，不用邊長是1厘米的小正方形擺，就能“想”出它的面積是多少平方厘米。引導學生在與同伴的互動交流中，理解、鞏固長方形的面積與擺的正方形個數之間的多重關系，并能利用“計算的方法”得到長方形的面積。在此基礎上，通過回顧反思以上學習過程，在“長方形的面積與什么有關？可以怎樣求長方形的面積？”的引領下，推導出長方形的面積計算公式。

教材的編寫結構引導著學生的思維過程。從“滿擺”（第一個例題）到“簡擺”（第二個例題），再到“想擺”（第三個例題），引導著學生建構起長方形面積計算公式推導的認知結構。從“滿擺”中發現“橫排正方形的個數就是長方形的長，豎排正方形的個數就是長方形的寬，正方形的個數就是長方形的面積。”在用正方形“量”長方形的面積過程中，引發學生思考“是否一定要把長方形擺滿才能得到長方形的面積”，從而引出“簡擺”。在充分“擺”的過程中，得出結論“長方形的面積＝長×寬”。在此過程中，每一次的思考、發現，即學生思維火花的迸發，都是在“擺”的實踐活動中自然生成，因此，數學實驗活動成為學生思維的助推器，幫助學生在推導長方形面積的計算過程中，不僅有明晰的思維方向，還有豐富的數學思維體驗。

二、把握數學實驗的特征

數學知識本身是抽象的，數學結論需要通過嚴密的演繹得到，但是數學學習的過程可以是靈動的、活潑的。數學實驗借助物化工具，讓學生在清晰的實驗目的引領下，通過規范的實驗操作，對實驗結果進行數學化的分析和結論表達，幫助學生個性化地建構數學意義。數學實驗可以充分激發學生數學學習的積極性和主動性，讓學生在動手實踐、自主探索、互動合作的學習活動中，發展數學思維，培育創新意識。

1.數學實驗要有清晰的實驗目的。

數學實驗不同于一般的操作活動，在實驗前要明確解決什么問題，問題聚焦指向目標。譬如，教材的第一個例題，用1 平方厘米的正方形擺長方形，并填寫表格。如果單從這一活動要求看，這僅是一個操作活動，學生只要按要求擺出長方形，填寫表格，至于為什么擺，填寫表格后有什么發現，都沒在活動之前告知學生。要用數學實驗幫助學生思維，就必須在實驗操作之前清晰實驗的目的，在第一個例題教學之初，就率先提出問題（實驗目的）：長方形的面積與什么有關？然后引導開展數學實驗。

2.數學實驗要重視規范的操作。

數學實驗往往要借助物化工具，依托《數學實驗單》開展操作活動。譬如，教材的第二個例題，用1平方厘米的正方形量長方形的面積時，怎么“量”才能很好地引發思考，就需要引導學生規范實驗過程。教學時可以為學生提供《數學實驗單》，包括“實驗問題、實驗材料、實驗過程、實驗結論”等幾個方面，尤其是實驗過程，要把實驗的關鍵步驟記錄下來，便于后續互動交流的深化，更為學生數學結論的得出提供充分的數學事實基礎。

3.數學實驗要重視數學化的分析和結論表達。

在數學實驗過程中不僅要重視實驗體悟，更為關鍵的是要幫助學生學會思維。譬如，當學生用1 平方厘米的正方形擺出不同的長方形并填寫表格后，“擺”“填”兩項數學實驗操作活動，都只是提供了數學事實，而真正引發思維的，是“從中發現了什么”，這就需要用到數學的方法，引導學生多向“對比”：橫向擺了幾個正方形，長是幾厘米；縱向擺了幾個正方形，寬是幾厘米；一共擺了幾個正方形，面積是多少平方厘米；長相同，寬越長，面積越大；寬相同，長越長，面積越大。通過這樣的對比，就容易形成數學結論：長方形的面積與長和寬有關。還可以引導學生概括：擺出的第1 個長方形，用“長×寬”算出的正好是這個長方形的面積，擺出的第2、3、4……個長方形也是如此，由此提出數學猜想：長方形的面積是否可以用“長×寬”來計算。這樣，就發揮了數學實驗幫助學生思維的作用。

三、創生學會思維的課堂

根據不同的數學知識類型，結合兒童認知規律與思維特點，小學數學實驗教學一般有規律發現式、策略探究式、問題解決式、意義建構式這四種課型范式（如下圖）。在具體的教學實踐中，教師要靈活應用，創造適合的學習方式，更好地幫助學生思維。

在《長方形和正方形的面積》一課中，常州市實驗小學的陳老師和溧陽市竹簀中心小學的芮老師，都是在用數學實驗幫助學生思維，且在具體課堂實踐中能根據學生學情的特點，采用不同的方法策略。

陳老師執教的學校是常州市中心城區的學生，他們見識廣泛、思維活躍。因此，陳老師沒有拘泥于教材的教學邏輯，而是先提出挑戰性問題：“這里有兩個沒有分好格子的長方形，想知道它的面積有什么好辦法呢？”讓學生的思維發散開來，順勢開展第一次的數學實驗。該數學實驗屬于問題解決式，學生開動大腦，充分嘗試，并不斷自我糾偏或討論完善，初步得出結論：長方形的面積要用邊長是1 厘米的小正方形去量，長方形的面積與長和寬有關，初步發現，用長方形的長和寬相乘就可以算出長方形的面積。進而，深化學生的思維：兩、三個例子是否就能得出“長方形的面積等于長乘寬”的數學結論？于是開展第二次實驗，采用規律發現式，讓學生充分舉例，用邊長是1 厘米的小正方形擺出不同的長方形來進行驗證。學生進行實驗，擺出各種不同大小的長方形，并試圖尋找反例，進而深入思考：為什么舉不出反例來？發現橫排擺出的正方形的個數，其實就是長方形的長，而豎排擺出的正方形的個數，其實就是長方形的寬，由于正方形的個數根據乘法的意義可以用橫排個數乘豎排個數，那么自然長方形的面積可以用“長×寬”來計算。最后，引導學生回顧反思兩次實驗的過程，形成思維鏈，順勢推導出長方形的面積計算公式。在此過程中，數學實驗為學生數學思維的展開提供了數學事實，也促進了其思維的進階，讓學生充分體驗了數學學習的快樂！

芮老師執教的學校是鄉村小學校的學生，因而芮老師遵循了蘇教版教材的編排邏輯，在課始先安排了一個觀察活動，教師動態演示，拉動長方形的長或寬，讓長或寬的長度發生變化，同時觀察面積的變化，從而形成共識：長方形的面積與長方形的長和寬有關。繼而，設計了第一個數學實驗：長方形的面積到底與長、寬有怎樣的關系呢？把擺出的長方形列表整理，分析表格中的數據，初步發現，長方形的面積等于長乘寬。接著設計了第二個數學實驗，用正方形“量”長方形的面積，在多維度的觀察、比較、思辨、交流中理解“面積單位的個數與長方形的面積”之間的內在關系。最后，深化思考，概括長方形的面積計算公式。芮老師的教學在動手擺、量的基礎上，讓學生理解長方形的面積與長、寬的關系，讓學生經歷從特殊到一般、具體到抽象的概括過程，凸顯數學知識發生、發展的邏輯線索，不僅幫助學生理解長方形的面積計算公式，還發展了學生的歸納推理能力，使學生理解到位，學得扎實。

數學實驗幫助學生思維，就單一實驗活動而言，有著數學實驗活動應有的規范，但當幾個數學實驗“串聯”起來時，就會創造出鮮活多姿的數學實驗課堂。教師要依據不同的學情特點，靈活選擇適切的、有助于學生思維的結構展開，讓數學學習的過程思維涌動、活力綻放。