數學實驗，讓數學思維走向深刻
——《長方形和正方形的面積》教學設計（二）

文|芮金芳

【教學內容】

蘇教版三年級下冊第66～68 頁。

【教學過程】

一、激活經驗，促進遷移

1.談話喚醒。

師：二年級時我們學習過長度，想一想，我們是怎樣計量一條線段有多長的？

生：用尺子量一量，看它里面有多少個1 厘米，就是幾厘米。

師：是的，也就是看它里面一共含有多少個長度單位。

2.引出問題。

師：如果要知道一個長方形的面積是多少，根據前面的學習經驗，你有什么辦法？

生：只要用1 平方厘米的小正方形去擺一擺，看看里面一共有多少個1 平方厘米的小正方形，面積就是幾平方厘米。

課件動態演示：用1 平方厘米的小正方形鋪滿長方形的過程。

師：如果要知道學校長方形籃球場的面積，用1 平方米的正方形去測量你感覺怎么樣？

生：太麻煩了。

師：今天這節課我們一起動手實驗深入研究長方形的面積計算。（板書課題）

二、動手實驗，感知關系

1.體會長方形的面積與什么有關。

師：仔細觀察，（動態演示：拉動長方形的長變長、變短）長方形的長是怎樣變化的？它的面積呢？

生：長方形的長變長，面積就變大；長方形的長變短，面積就變小。

師：是的，看來長方形的面積與長有關。

師：再仔細看，（動態演示：拉動長方形的寬變長、變短）這時長方形的寬怎樣變的？面積呢？

生：寬變長，面積就變大；寬變短，面積就變小。

師：那看來長方形的面積與寬也有關系。

2.動手實驗，感知長方形的面積與擺的小正方形個數的關系。

（1）實驗操作。

師：那長方形的面積到底與長、寬有怎樣的關系呢？用幾個1平方厘米的小正方形擺不同的長方形，同桌合作動手擺一擺、記一記、比一比、說一說。

長/cm 寬/cm 小正方形個數 面積/cm2第1 個長方形第2 個長方形第3 個長方形實驗要求：①擺一擺：小組合作，用幾個1 平方厘米的正方形擺出三個不同的長方形。②填一填：每擺好一個長方形，組長把數據記錄在表格中。③說一說：組內交流你是怎樣擺的、怎樣填的。你有什么發現？

（2）資源交流。

師：介紹這些長方形是怎么擺的，長、寬分別是多少？

生：第一個長方形每排擺5個，擺了1 排，所以長是5 厘米，寬是1 厘米；第二個長方形每排擺3 個，擺了2 排，所以長是3 厘米，寬是2 厘米；第三個長方形每排擺4 個，擺了3 排，所以長是4厘米，寬是3 厘米。

師：擺成的長方形的面積以及擺長方形所用的小正方形的個數你是怎樣看出來的？

生：擺長方形所用的小正方形的個數可以一個一個數出來。

生：我是用一排的個數乘以排數，算出一共的小正方形個數。

師：那擺成的長方形面積又是怎樣知道的？

生：只要知道一共用了多少個1 平方厘米的小正方形，面積就是多少平方厘米。

（3）比較提升。

師：仔細觀察動手實驗得到的這些數據，比一比，有什么發現？

生：我發現小正方形的個數和面積一樣，有多少個1 平方厘米的小正方形，面積就是多少平方厘米。

生：所用的小正方形個數正好等于長乘寬的積。

生：我想到長方形的面積是不是只要用長乘寬就可以算出來。

（4）提出猜想。

師：這些發現都是大家根據表格中的數據所想到的，這樣的猜想是否正確還需要進一步驗證。［板書：長方形的面積=長×寬（？）］

三、實驗驗證，理解關系

1.實驗設計。

師：這里有兩個長方形，有什么辦法可以知道它們的面積各是多少？可以怎樣做實驗？能不能設計一下實驗思路？

生：我想用1 平方厘米的小正方形去量一量、數一數。

師：這位同學介紹了實驗工具，選1 平方厘米的小正方形作為標準去測量。還介紹了實驗方法，可以量一量、數一數。

2.實驗驗證。

學生動手實驗。

3.實驗交流。

教師收集四種典型資源。

●資源1：擺滿。

●資源2：只擺一條長和一條寬。

師：為什么沒有擺滿也能量出這個長方形的面積？

生：我先量一條長，長里有4個1 平方厘米的小正方形，所以長是4 厘米，也就是每排4 個；再量一條寬，寬里有3 個1 平方厘米的小正方形，所以寬是3 厘米，也就是有3 排。然后用每排4 個×3 排，一共有12 個1 平方厘米，所以長方形的面積是12 平方厘米。

●資源3：只擺一條長和一條寬的其他情況。

師：這樣量，能知道長方形的面積嗎？

生：第一個圖形把豎排的正方形往左移一移，就知道寬是3 厘米，有3 排。用每排的4 個乘3 排，同樣可以知道面積是12 平方厘米。

生：第二個圖形把橫排、豎排的正方形都移一移，就知道長是4厘米，每排4 個；寬是3 厘米，有3排，用每排的4 個乘3 排，面積也是12 平方厘米。

師：前面都用了6 個小正方形量，最后一個只用了4 個小正方形，怎么知道它面積的？

生：同樣可以把小正方形橫排、豎排移一移，知道長是4 厘米，每排有4 個；寬是3 厘米，有3排。一共有12 個1 平方厘米的小正方形，面積就是12 平方厘米。

師：那能不能用更少的正方形量出長方形的面積呢？

●資源4：用1 個正方形量。

師：這位同學只用1 個小正方形，你是怎樣很快知道長方形的面積的？

生：我先用1 個小正方形沿著長量，邊量邊做記號，長里有4個1 平方厘米的小正方形，長就是4 厘米，也就是每排擺4 個；再沿著寬量，寬里有3 個1 平方厘米的小正方形，寬就是3 厘米，也就是擺3 排。一共有12 個1 平方厘米的小正方形，所以長方形的面積就是12 平方厘米。

4.實驗發現。

師：通過剛才不同測量方法的交流，你們有什么發現？

生：沿著長每排可以擺幾個小正方形，長方形的長就是幾厘米；沿著寬可以擺幾排，長方形的寬就是幾厘米。用“每排小正方形的個數乘排數”可以知道一共的小正方形個數，也就是長方形的面積。

四、深入推想，建構關系

1.觀察思考。

師：如果沒有小正方形，你知道長方形的面積是多少嗎？

生：這個長方形的面積是14平方厘米。

師：你是怎么知道的？

生：長方形長7 厘米，想到一排可以擺7 個1 平方厘米的小正方形；寬2 厘米，想到可以擺2 排。7×2=14（個），這個長方形里可以擺14 個1 平方厘米的小正方形，所以它的面積是14 平方厘米。

多媒體演示擺的過程，進行驗證：

2.變式拓展。

師：如果這個長方形變身，（出示長9 厘米、寬5 厘米的長方形）它的面積又是多少？

生：長9 厘米，表示一排可以擺9 個1 平方厘米的小正方形；寬5 厘米，表示可以擺5 排。9×5=45（個），這個長方形里一共可以擺45 個1 平方厘米的小正方形，所以面積是45 平方厘米。

3.概括提升。

師：你覺得長方形的面積與它的長、寬有什么關系？

生：長方形的面積=長×寬。

師：為什么可以用“長×寬”來求長方形的面積？你能通過剛才的學習說說其中的道理嗎？

生：長是幾，沿長一排就擺幾個小正方形，表示每排的個數；寬是幾，沿寬一列就擺幾排，表示擺的排數。用“每排的個數×排數=一共的小正方形個數”，也就是長方形的面積，所以我們可以用“長×寬”直接計算長方形的面積。

師：研究到這里，我們可以得出實驗結論，結論是——

生：長方形的面積=長×寬。

4.鞏固內化。

計算下面圖形的面積。

（學生獨立完成后，集體交流）

師：如果用S 表示長方形的面積，a 表示長方形的長，b 表示長方形的寬，那長方形的面積可以怎樣表示？

生：可以用S=a×b 表示。

師：這是長方形面積計算的字母公式。

5.遷移類推。

師：（將上面第二個長方形演示變成邊長3 分米的正方形）這個圖形的面積是多少？怎樣計算？

生：3×3=9（平方分米）。

師：你是怎樣想的？

生：因為長方形的面積是長與寬相乘的積，而正方形四條邊都相等，按照長方形的面積計算方法，正方形的面積可以用邊長乘邊長計算。

（板書：正方形的面積=邊長×邊長）

師：如果用S 表示正方形的面積，a 表示正方形的邊長，你會用字母表示正方形的面積公式嗎？

生：S=a×a。

五、鞏固練習，深入認識

1.基礎性練習——選一選。

選一選：圖中每個小正方形表示1 平方厘米，圖形的面積是（ ）平方厘米。

A.10 平方厘米 B.15 平方厘米 C.25 平方厘米

生：我選C。從圖中可以看出，每排擺了5 個小正方形，一共擺了5 排，所以它是一個邊長5 厘米的正方形，面積是25 平方厘米，所以選擇C。

師：這位同學不僅知道正方形的面積計算方法，更清楚這樣算的道理，真了不起！

2.綜合性練習——算一算。

師：你能根據平面圖，分別計算小明家餐廳和大臥室的面積嗎？

（學生獨立思考解決，集體交流）

師：你是怎樣思考的？

生：從圖中看出餐廳是一個邊長為3 米的正方形，面積是3×3=9 平方米；大臥室是一個長5米、寬4 米的長方形，面積是5×4=20 平方米。

師：學會長、正方形的面積計算方法，能幫助我們更好地解決生活中的問題，這才是更有價值的一種學習應用。

3.拓展性練習——讀一讀。

師：同學們，有關長、正方形的面積計算問題的研究，我國古代早就有記載。

課外鏈接：大約在兩千多年前，我國數學名著《九章算術》中的方田章就論述了平面圖形面積的計算方法，書中說：“方田術曰，廣從步數相乘得積步。”意思是長方形面積的計算方法是長與寬相乘的面積。從《九章算術》第一章“方田章”可以看出古代平面圖形面積計算方法和現代的計算公式相同，而這些計算方法我們的祖先在兩千多年前就已經掌握了。

師：聽完這些資料介紹，你有什么感受？

生：中國古人真偉大！

生：我作為中國人感到自豪。

六、回顧反思，結構延伸

1.方法回顧。

師：今天我們是怎樣探索發現長、正方形的面積計算公式的？你有什么收獲和體會？

2.結構延伸。

師：長、正方形的面積計算與周長計算有什么不同？選擇生活中一個長方形（或正方形）物體，測量相關數據，計算它的面積和周長。