構建模型 融通方法
——“和對應”問題教學設計

文|王靜文 陳 敏

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，提出問題

師：（出示圖1）王老師和張老師約好明天晚上8：00 同時從各自家里出發(fā)去健身房健身。猜一猜，他們可能怎么走？

圖1

師：如果健身房在這（如圖2），他們兩個怎么走呢？

圖2

生：同向而行。

（請學生用手勢比劃）

師：健身房還可能在——

生：（標記健身房位置如圖3）這時王老師和張老師同向而行。

圖3

生：（標記健身房位置如圖4）這時王老師和張老師（手勢表示）面對面走。

圖4

師：我們也用手來比劃一下。像這樣，面對面地走，人們稱為相向而行，走著走著就會——相遇。4 分鐘后，王老師和張老師在健身房相遇了。根據這些信息，你能提出什么數學問題？

生：王老師家到健身房的路程是多少米？

生：王老師家和張老師家相距多少米？

生：王老師比張老師多走了多少米？

……

師：同學們提出的問題都有研究價值。今天我們先來研究“王老師家和張老師家相距多少米”這個數學問題?，F(xiàn)在能解決這個問題嗎？你還需要什么信息？

生：兩人的速度。

（補充課件，如圖5）

圖5

師：現(xiàn)在的信息夠用了嗎？誰能把這些信息連起來，編成一道完整的應用題？

根據學生的回答出示題目：王老師和張老師同時從家出發(fā)相向而行，王老師每分鐘走80 米，張老師每分鐘走60 米，經過4 分鐘兩人相遇。兩家相距多少米？

師：你會列式解答嗎？請拿出練習紙，在第一題的方框中作答。

【設計意圖：通過生活事件引入，激發(fā)學生的研究興趣，喚醒學生的日常經驗，明確“同時、同向、相向、相遇”等專用術語的意思。集體逐步編成完整的問題的過程有助于學生深度了解問題中的基本數據信息，為下一階段深度分析數量關系奠定基礎?！?/p>

二、利用直觀，引出模型

1.全班交流，理解意義。

師：你們都是怎樣列式的？

生1：我是這樣列式的：80×4+60×4=560（米）。（板書算式）

生2：我這樣算：（80+60）×4=560（米）。（板書算式）

師：誰能解釋這個算式（指生1 算式）所表示的意義？

生：他先用80×4 算出王老師走過的路程，再用60×4 算出張老師走過的路程，合起來就可以求出總路程。

師：是這樣嗎？讓我們一起看著大屏幕說一說。

（課件動態(tài)逐步生成圖6）

圖6

師：算式（80+60）×4=560（米）又表示什么意思呢？

生：王老師和張老師兩人1 分鐘一共可以走（80+60）米，一共走了4 分鐘，就是走了4 個（80+60）米。

（課件動態(tài)生成圖7）

圖7

師：（80+60）表示什么意思？

生：兩位老師每1 分鐘合起來走了（80+60）米，一共走了4 分鐘，對應走了（80+60）×4=560（米）。

2.橫向對比，引出模型。

師：這兩種方法有什么區(qū)別？

生：第一種是分別求出王老師和張老師走過的路程，再求和。第二種是把王老師和張老師1 分鐘走過的路程看成1 份，4 分鐘有這樣的4 份。

師：在兩位老師速度不變的情況下，行走時間是1 分鐘的4倍，行的路程也應該是——

生：（80+60）的4 倍。（隨機板書“倍”）

師：照這個速度走8 分鐘呢？走15 分鐘呢？

小結：由于兩位老師的速度始終不變，我們可以把1 分鐘的路程和看作1 份，行幾分鐘，就是這樣的路程和的幾倍。

【設計意圖：借助圖形直觀，解析不同算法的模型意義。算法1更貼近生活情境，以人物為線索，分別計算兩位老師的行走路程，再相加，本質上是一個加法結構；算法2 則作了一定的數學抽象，抓住數學關系中速度不變，路程和時間之間的對應關系建立了乘法模型。通過對不同方法的比較，超越對相遇問題計算公式的機械記憶，深度理解數學模型刻畫的數量關系本質?！?/p>

三、拓展應用，深化模型

1.情境變換，內化模型。

（1）提出問題。

師：除了可以把兩個人1 分鐘走過的路程合起來看成1 份，生活中哪些量也可以合起來作為1 份呢？

生：可以把運動衣和運動褲的價格合起來看成1 份，買4 套。

生：可以把師傅和徒弟1 分鐘做的零件合起來看成1 份。

……

師：那我們還用這個算式（如圖8），看看還可以解決哪些類似的數學問題。請你和同桌一起合作編一編。如果有困難可以打開錦囊（如圖9）。

圖8

圖9

（2）同桌合作，創(chuàng)編問題。

（3）學生匯報，比較內化。

師：仔細看，他們把什么合起來看成1 份？（隨機生成板書）

……

師：像這樣的題目我們編得完嗎？

生：編不完。

師：那這些題目之間有什么聯(lián)系呢？

生：它們的數量關系是不變的。因為它們的1 份都不變，都可以先算出1 份和，再看有這樣的幾份，最后算出總數。

（教師板書關系式：1 份和×倍數=總數）

2.可逆變換，深化模型。

師：這道題的情境變化豐富多彩，那這道題本身能不能變化呢？我們來看：王老師和張老師同時從家出發(fā)相向而行，王老師每分鐘走80 米，張老師每分鐘走60 米，經過4 分鐘兩人相遇。兩家相距560 米。

師：在這里，除了可以把王老師和張老師家相距多少米作為問題，還可以選哪個數量來做問題？

生：還可以求王老師的速度、張老師的速度、相遇時間。

師：你會求張老師的速度嗎？（根據學生的敘述出示完整問題）

（1）列式解答。

（2）交流算法。

師：你們都是怎樣列式的？

方法一：560－4×80=240（米）

240÷4=60（米/分）

方法二：560÷4－80=140-80=60（米/分）

師：讓我們一起看著大屏幕說一說（課件動態(tài)演示如圖10）。

圖10

師：方法二又是怎么想的呢？

生：他先直接除以4，算出王老師和張老師兩人1 分鐘一共走多少米，再減掉王老師1 分鐘走的路程，就是張老師1 分鐘走的路程。

師：我們也結合線段圖，來看一看，說一說。

（課件動態(tài)演示圖11）

圖11

生：560÷4 表示王老師和張老師1 分鐘一起走過的路程，要求張老師的速度要用560÷4-80。

（3）方法優(yōu)化。

師：這兩種方法，你更喜歡哪一種？說說你的理由。

生：我更喜歡第二種，因為它步驟少，計算簡單。

生：我也喜歡第二種，這種方法能把張老師和王老師合在一起看，很新穎。

師：在1 份不變的情況下，先求出1 份和，比分別去求更簡捷。

（4）小結提升。

師：來看看這兩題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別（圖12）。

圖12

生：它們的數據都是一樣的。

生：它們的數量關系是一樣的，只是求的問題不一樣。

生：它們是一道題，只是反了過來。

……

師：是的，它們都用到了相同的數量關系。不同的是，第一題是知道速度和時間，求路程和；第二題是知道路程之和與時間，求其中一個人的速度。

師：還可以求什么？你會求嗎？

生：我們還可以改成求相遇時間的問題。560÷（80+60）=4（分）。

3.鞏固練習。

（1）只列式，不計算。

①甲隊開鑿進度12 米/天，乙隊開鑿進度14 米/天，兩個工程隊同時相向開鑿，經15 天打通。這條隧道長多少米？

②貨車和客車同時從相距420 千米的A、B 兩城出發(fā)，相向而行，3 小時后相遇。貨車的速度是60 千米/時，客車的速度是多少？

③學校采購了30 套課桌椅共花了5700 元，已知課桌100 元/張，椅子多少錢一把？

（2）自主練習，教師巡回批改，個別輔導。

師：和我們今天的例題相比，你有什么想說的嗎？

生：第①題與例題中王老師和張老師家相距多少米的類型是一樣的，只是情境變了，都是先把兩隊一天開鑿的數量合起來看成1 份，15 天對應15 份。

生：這三道題的結構是一樣的，都是求出1 份×倍數=總數。只不是過②③是逆向思考。例如第②題3 小時對應420 米，就可以反推1 小時合開140 米，再減60就可以了。

……

【設計意圖：通過創(chuàng)編題目，進一步認識模型。環(huán)節(jié)1 為情境變換，引導學生體會不同生活情境可概括為同一數學結構，同一數學結構可反映到不同生活情境中，感悟數學的特點。環(huán)節(jié)2 為可逆變換，引導學生在數學結構內部作多向思考和推理，通過靈活分析數量之間的關系，更好地掌握和對應結構。環(huán)節(jié)3 通過練習，做好個體內化和沉淀，也方便教師診斷學生個體差異，制定下一步教學計劃?！?/p>

四、總結回顧（略）