基于規定性能的六自由度機械臂視覺伺服控制

王大浩, 平雪良

(江南大學 機械工程學院 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

0 引 言

目前視覺伺服的研究主要包括有：1)基于位置的視覺伺服(position-based visual servo,PBVS)；2)基于圖像的視覺伺服(IBVS)；3)混合視覺伺服， PBVS與IBVS組合使用[1]。IBVS方案由于其固有的對攝像機標定缺陷的魯棒性，它相比其他兩種方案效率更高。由于視覺伺服主要基于相機獲得的圖像上感興趣的特征位置提取的視覺信息，Chaumette F[2]提出了一個關鍵問題即某些硬可見性約束的滿足，這是因為感興趣的特征應始終位于攝像機運動期間的相機視場中，盡管處理硬約束非常具有挑戰性，其研究仍有不斷的進展。Allibert G等人[3]在模型預測控制框架下研究了視場(field of view，FOV)約束，在Chesi G[4],Kazemi M等人[5]的研究中，攝像機運動在3D空間中的路徑規劃以及隨后在圖像平面上的投影都被用來計算不違反FOV約束的攝像機運動。但上述策略在很大程度上依賴于3D重建和相機校準參數的知識，計算量大，在快速實時實現中的適用性也不令人滿意。

與IBVS方案相關的另一個重要問題是閉環系統的瞬態和穩態響應。在沒有系統的過程來準確地施加預定義的瞬態和穩態性能規范的情況下，Morel G等人[6]假定了任務錯誤的一些界限。朝著這個方向，傳統的IBVS方案中通常是適當地調優控制增益，但對于所實現的性能沒有任何先驗的保證。Bechlioulis C P等人[7]提出了多輸入多輸出誤差轉換系統，來達到穩定約束的效果，高學輝等人[8]提出的一種Hammerstein系統的自適應控制，同樣通過誤差轉換來保證系統的穩定性。王紅旗等人[9]通過Kalman濾波設計了穩定的控制器。

本文研究的對象為IBVS方案，與上述研究不同，提出了一種新的預設規定性能函數，通過該函數將誤差轉換為預設收斂區間，并在此基礎上設計視覺伺服控制器，通過證明來驗證控制器的可行性。

1 系統描述

1.1 系統模型

基于圖像的視覺伺服是以針孔模型(圖1)為基礎進行的，給出空間中的任意一組三維坐標Pi=[xi,yi,zi]T,i=1,2,…,n，它們在像素坐標為si=[ui,vi]T,i=1,2,…,n，由式(1)得出

si=[ui,vi]T=f/zi[xi,yi]T

(1)

圖1 攝像機成像幾何模型

式中f為攝像機的焦距。因此，攝像機的運動對圖像平面上的特征坐標的影響為

(2)

式中V=[Tx，Ty,Tz,ωx,ωy,ωz]T為攝像機的運動速度。

定義圖像的整體特征向量

(3)

式中L(z,s)為整體交互矩陣。由于相機的視野范圍有限，圖像坐標滿足如下約束

umin≤ui≤umax,i=1,2,…,n

vmin≤vi≤vmax,i=1,2,…,n

(4)

式中umin，vmin，umax，umax分別為圖像平面坐標的上下界(單位：像素)。因此，在設計IBVS的方案時，必須確保滿足可見性約束。

1.2 動態系統局部連續性

考慮系統的初值問題

其中,Ωψ?R為非空開集。

定理1[11]：如果H(t,ψ)滿足；1)函數ψ在t∈R滿足局部Lipschitz函數;2)函數ψ∈Ωψ在t的各個區間上分段連續;3)函數ψ∈Ωψ在t的各個區間上局部可積；那么ψ(t)在區間[0,τmax)存在最大解且滿足ψ(t)∈Ωψ,?t∈[0,τmax)。

2 規定性能函數

定義圖像的特征誤差如下

(5)

對于所有t≥0，通過下列不等式給出規定性能函數

(6)

其中

(7)

(8)

這樣，確保了

(9)

(10)

圖2 規定性能函數

3 控制器設計

對于式(3)的系統，考慮視場約束、圖像特征誤差以及期望的瞬態和穩態響應性能，控制器設計如下

V(s,t)=-kL+E,k>0

(11)

式中L+為圖像雅可比矩陣的偽逆矩陣，E為誤差矩陣

(12)

其中，歸一化的圖像特征誤差

這樣可以保證式(6)所指示的特征誤差局部漸近穩定，因此規定了瞬態和穩態性能，且沒有違反視場約束。

接下來證明系統誤差收斂于規定性能函數。首先定義歸一化特征誤差向量

對歸一化的特征誤差進行時間上的微分，代入式(3)、式(11)、式(12),則ξ的閉環動力系統為

(13)

定義開放集合Ωξ(-1,1)2n，證明分兩步進行，首先證明控制方案的局部穩定，接著證明提出的控制方案的全局穩定。

h(t,ξ)在t上連續，ξ在集合Ωξ滿足局部Lipschitz函數，根據定理1可得：

ξ(t)在區間[0,τmax)存在最大解使得ξ(t)∈Ωξ,?t∈[0,τmax)成立。

(14)

根據文獻[13]，可以得到

其中,O(e,t)|e=0=0,?t≥0,代入式(14)，得到

同時，控制律為

(15)

最后，對e=0時進行線性化，得到[13]

(16)

(17)

取式(12)中的反對數函數，可得

(18)

其中

最后，根據式(12)可得控制輸入式(11)對所有t∈[0,τmax)也是有界的。接下來證明τmax推廣到∞的情況。

4 實驗驗證

為了驗證理論結果以及提出的規定性能的IBVS方案的有效性，使用UR5六自由度機械臂進行實驗，該機械手末端配備一個校準的Kinect相機以觀察平面目標，如圖3所示，目標有4個彩色圓形組成，圓心坐標表示特征圖像的坐標。

圖3 UR5手眼機器人系統

期望的相機位姿為p*[0,0,0.4,0,0,0]，因此，在上述相機期望姿勢下捕獲的圖像提取的期望特征坐標為s*=[92.5,-92.5,-92.5,-92.5,92.5,92.5,-92.5,92.5],目標的初始相機位姿為p(0)=[-0.229,0.11,0.518,0.375,0.324,-0.497]目標在像素坐標系下的初始坐標為s(0)=[-99.0,-116.5,-197.0,-52,-25.5,-12.5,-123.5,42.5]。

如前文所述，選擇每個圖像的期望特征坐標作為性能函數的初始值，這樣所有特征都保留在相機的視野范圍內。具體來說，圖像平面的參數最值為umax=319,umin=-319，vmax=239,vmin=-239。

此外，性能參數ρ∞選取為5個像素。因此，最終每個特征的中心將被限制在圖像平面中所需位置周圍10像素邊緣的正方形內。最后，選擇遞減率l=0.45，正如預期的那樣，特征坐標誤差被保留在相應的性能區域(參見圖4(a))，因此特征被限制在如圖5所示的攝像機視野內，圖6中表明了相應輸入信號。

圖4 二種方案下特征坐標與誤差

圖5 圖像平面上的特征坐標變化

圖6 控制信號

圖4(b)為傳統視覺伺服方案參考規定性能控制方案的實驗，從圖中可得出誤差最終收斂于規定范圍，但途中出現了特征離開相機視野的不確定性，且收斂速度遠遠慢于規定性能的方案，從而說明了本文所設計的控制方案的正確性和有效性，在滿足視場約束的條件下實現了快速收斂。

5 結 論

通過將攝像機的硬約束轉換為等效的誤差函數模型進行簡化計算，該方案能夠在滿足圖像特征坐標誤差下實現規定的瞬態和穩態性能。基于規定性能的函數模型，分析局部誤差與全局誤差的收斂穩定性，設計了魯棒的狀態反饋控制器。所提出的控制律具有復雜度低及先驗保證性能，因此，可以有效地應用于快速嵌入式控制系統中。未來的研究將致力于解決相機模型的參數不確定性。