聲激勵液體透鏡腔形狀的模態仿真分析

霍明杰，石廣豐，孟巳崴，姚 棟，梅毅杰，梁明波

(1.長春理工大學 機電工程學院， 長春 130022；2.深圳市大族思特科技有限公司， 廣東 深圳 518103)

在日常生活中，透鏡模塊被電子器件大量使用，如智能手機、數碼相機、智能機器人等[1-4]。傳統變焦透鏡一般由多組塑料、玻璃鏡片組合在一起，利用齒輪在同一直線上不斷調焦獲得物體清晰的圖像。液體變焦透鏡根據設計原理分為基于液體折射率改變、電潤濕液體接觸角改變、液體表面曲率改變的液體透鏡[5]。液體透鏡具有響應速度快、輕便的優點。針對動態目標的觀察，高速相機就顯得尤為重要[6-11]。Koyama等[6]通過聲輻射力作用的液體透鏡仿真設計，得到雙液體柱狀腔高速變焦液體透鏡。Jia等[12]在ANSYS中分析了3種不同邊界約束下的等厚、不等厚薄膜透鏡的情況，得到多焦點不等厚薄膜不規則柱形腔室液體透鏡。Jones等[13]研發出一種偏振獨立的半月形腔室電潤濕液體透鏡。Lpez等[14]研究發現諧波驅動毫米級柱狀高速變焦液體透鏡變焦規律。上述研究更多關注液體透鏡的焦距、耗能等，沒有關注液體透鏡腔室的形狀對液體透鏡產生的影響。本文基于聲激勵液體透鏡，分析液體透鏡腔室形狀對液滴表面的影響。

1 數值計算理論1.1 液滴平衡形態能量方程

液滴平衡形態能量方程為：

(1)

式中：σls為液固表面張力；σgs為氣固表面張力；σlg為液氣表面張力。

1.2 液滴自然頻率控制方程

早期的毛細現象研究，有助于復原的表面張力被用來和彈性體比較，在忽略黏性的液滴中，Rayleigh研究得到黏性液滴振動的頻率[15]。

(2)

式中：ωn為液體振蕩頻率；σ為表面張力；R為液滴的初始半徑；ρi、ρe分別為內部流體和外部流體的密度；n為勒讓德多項式對應模型形狀的階數。

1.3 液滴壓強方程

在不考慮重力的情況下，利用矢量和速度勢得到液滴壓強計算公式[15]:

(3)

(4)

2 錐形腔室仿真前處理

2.1 液體透鏡三維模型

通過對液體透鏡結構的簡化，利用三維建模軟件SolidWorks構造0°、5°、10°、15°張口角度下的液體透鏡模型(圖1)。透鏡模型由上下Polydimethylsiloxane(PDMS)膜，鋁質腔殼，腔內的水組成。PDMS膜的厚度取相應半球形液滴半徑的4%[16]，薄膜產生變形時，薄膜前后表面撓度差量為零[3]，模型的具體參數見表1。

1-上薄膜；2-上球冠；3-鋁質腔殼；4-下薄膜；5-下球冠

表1 不同張口角度液體透鏡模型基本參數

2.2 網格劃分

在COMSOL中導入1-4號模型，分別進行自由四面體細化網格劃分，網格模型如圖2所示。

圖2 不同張口角度液體透鏡網格模型

2.3 邊界條件設置

COMSOL多物理場仿真軟件能很好的計算、模擬、仿真多物理場耦合下的物理現象，具有大規模計算能力和強大的前后處理功能。將網格模型導入三維聲固相互作用，選擇壓力聲學，固體力學接口。固體力學中對鋁質腔體的外周面、倒角面、PDMS薄膜與鋁腔體的接觸面添加固定約束。在COMSOL中設置域的物理參數，水域的主要物理參數是關于溫度的變量，PDMS膜，鋁(3003-H18)的主要參數[17]見表2。

表2 PDMS域，鋁的主要物理參數

3 液體透鏡腔室仿真結果分析

3.1 液體透鏡模型球冠面模態分析

球形諧波的指數(k，l)對仿真結果進行命名，利用式(4)得到波峰層數n與k，l的聯系[18-22]。

(4)

式中：n為波峰層數；k為極波數；l為方位波數。

圖3、4、5、6(n，l)模型中，(2，1)屬于sectoral 模型，(4，0)，(6，0)屬于zonal模型，(1，3)屬于tesseral模型。在(2，1)模型中有2層波峰，一個偏軸向的隆起，(4，0)，(6，0)有4層和6層波峰，沒有偏軸向的隆起，(1，3)模型中有1層波峰，3個均勻分布的隆起，呈“丫”字狀。

圖3 0°液體透鏡(n，l)模型

圖4 5°液體透鏡(n，l)模型

圖5 10°液體透鏡(n，l)模型

圖6 15°液體透鏡(n，l)模型

在(2，1)模型中，液體球冠偏軸向的隆起引起焦點變化，為液體漸進多焦點透鏡的制造提供了良好的基礎[23]。(4，0)，(6，0)模型中，液體表面曲率的變化引起正負焦距的變化，拓展了它的用途[24]。

3.2 液體透鏡模型球冠面特征頻率分析

圖7、8、9中的(n，l)模型(2，1)，(4，0)，(1，3)，(6，0)對應于(k，l)模型(3，1)，(6，0)，(3，3)，(10，0)模型。在(k，l)模型中，當l=0屬于zonal模型，k=l屬于sectoral模型，k≠l屬于tesseral模型。由圖7可以得到(n，l)模型中(2，1)，(1，3)對應的(k，l)模型(3，1)，(3，3)隨著張口角度的增加，模型的特征頻率下降。對照圖4、5、6中的模型，(2，1)，(1，3)模型中變形的球冠面都發生在液體透鏡中較大球冠面。(n，l)模型(4，0)即(k，l)模型(6，0)，在圖7中可以看到，液體透鏡模型在張口角度0°至5°和10°至15°處出現了停滯和較大的增長，對照圖4、5、6中的模型可以看到，(4，0)模型中的變形球冠面發生在液體透鏡較小的球冠面。同理，從圖7分析(n，l)模型(6，0)可以得到，液體透鏡模型在10°的張口角度處，圖4、5、6模型中的變形球冠面應該發生在較小球冠面。以上現象與自然頻率計算結果一致。經過較多的試驗研究，可以觀察到，隨著開口角度的增加tesseral模型更多的出現在液體透鏡中較大的球冠面。

圖7 4種模態中不同張口角度對特征頻率的影響曲線

3.3 液體透鏡模型球冠面應力分析

從圖8可以看到(n，l)模型(2，1)，(1，3)隨著開口角度的增加，液體球冠表面的最大應力值逐漸減小，對照液體透鏡模型圖可以發現，圖3～6中發生變形的液體球冠面直徑依次增加。(n，l)模型(4，0)在0°到5°的變化中，隨著開口角度的增加，最大應力值出現了較小幅度的增加；5°到10°的變化中，最大應力值出現較小幅度的減小；10°到15° 的變化中，最大應力值發生較大幅度的增加。觀察圖4～6，發現5°、10°時液體球冠面的變形發生在較小球冠面，15°時發生在較大的球冠面。同理，研究(n，l)模型(6，0)發現在液體透鏡模型張口角從5°變化到10°時，圖8中最大應力值出現了較大幅度的增加，對照圖4～6發現，液體張口角10°時，液體球冠面的變形發生在較小的球冠面。

圖8 4種模態中不同張口角度對最大應力的影響曲線

圖9中可以看到，最小應力在(n，l)模型中的(2，1)，(4，0)模型發生了較小的浮動變化，而(1，3)，(6，0)模型在液體透鏡模型張口角度從0°到5°時發生了較小范圍的增加，5°變化為10°時,都發生了較大幅度的增加。對照圖4、5、6發現，(n，l)模型(6，0)在液體透鏡模型張口角度10°時，液體球冠面的變形發生在液體透鏡模型較小的液體球冠面上，(n，l)模型(1，3)在液體透鏡模型中沒有表現出較大的模態特征。(n，l)模型(2，1)隨著張口角度從0°到5°、10°、15°的變化，最小應力值依次減小。(n，l)模型(4，0)在液體透鏡模型張口角度從0°變化到5°時，最小應力值出現了較大幅度的增加，5°到10°、15°變化時，最小應力值依次減小。

圖9 4種模態中不同張口角度對最小應力的影響曲線

4 結論

1) 當液體透鏡模型不存在張口角度時，zonal、sectoral、tesseral模型會交替出現在液體透鏡模型的液體球冠面，其中tesseral在3種模型數目中占較大的比例。當液體透鏡模型存在張口角度時，zonal、sectoral會交替出現在液體透鏡模型的液體球冠面，tesseral模型更多的出現在較大球冠面，較小球冠面幾乎不會出現tesseral模型。

2) 隨著毛細錐形腔張口角度的增加，當液體球冠變形發生在較大球冠面上，液體球冠變形中的sectoral和tesseral模型對應的液體透鏡模型的特征頻率減小，液體球冠面最大應力減小，zonal模型已經出現在張口角度較小的液體透鏡模型中的較大球冠面，在較小的球冠面再次出現時，特征頻率會停滯或增加，液體球冠面的最大應力會增加，有利于選擇合適的傾角降低能量消耗。

3) 隨著毛細錐形腔張口角度的增加，液體球冠變形發生在較大的球冠面上時，液體球冠變形的tesseral模型最小應力減小。