初中數學高效課堂的打造

惠穎

國家的“雙減政策”提出要減輕學生過重的學業負擔，減少不必要的機械性的重復性的練習量。課堂作為教育教學的主陣地，對于提高學生在校的學習效率起到了舉足輕重的作用。這就要求教師要優化教學方式，由過去的“精講多練”轉化為“精講精練”。

數學課堂如何做到有效的“精講精練”？它絕不是單純地減少習題的量，絕不能降低學生的思維品質，是“減負而增效”。這對教師的“教”提出了更高的要求，教師的首要任務是如何高效地“教”來促進學生“學習的發生”。

下面以八年級上《角平分線定理及其逆定理》階段性復習拓展課嘗試“變式”教法模式來談一談自己地體會和感受。

在上一堂課中學生已經初步掌握角的平分線的性質定理及其逆定理。并運用定理和逆定理解決了例題1【上海教育出版社——九年義務教育課本《數學》八年級第一學期（試用本）106頁】，如下：

例題1.已知：如圖1，AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足為點D，E.求證：點O在∠C的平分線上.

本題中點O是三角形兩條內角的平分線交點，則過該點向三邊作垂線，由角平分線定理可得該點到三邊距離相等，由逆定理判斷點O又在第三個角的平分線上。即證明了三角形的三條角平分線交于同一點。

這是一道典型例題。我們注意到，研究的對象為三角形，給出的已知條件是三角形的兩個內角的平分線。此時，我們可以啟發學生嘗試“變式”。

一、改變已知條件，探索由此而產生的結論的情況

變式1.（上述教材書后練習）將已知角平分線改為兩個外角平分線。

已知：如圖2，PB、PC分別是?ABC的外角平分線，PM⊥AB，PN⊥AC，點M、N分別為垂足.求證：PA平分∠MAN.

此題的證法類同于例題1，作PG⊥BC于G，通過角平分線定理證得P點到已知兩個外角的三邊距離相等，由逆定理判斷點P在內角∠BAC的平分線上。通過這一變式，學生進一步加深對角平分線定理及逆定理應用的理解，并積極探索在更廣泛的范圍里使用定理解決相關問題。

變式2.將已知角平分線改為一個內角一個外角平分線。

已知：如圖，PB、PA分別是?ABC外角∠MBC和內角∠BAC的平分線，N在邊AC的延長線上.求證：PC平分∠BCN.

變式2的證法與變式1相同，可以啟發學生由“內”而“外”的變化以后還可以如何變化已知條件，可由學生自主提出變式2進行探究。而通過上述變化，學生進行思考，找出變化之間的不同和必然聯系，進而發現“萬變不離其宗”，體會角平分線定理及其逆定理的意義和作用，加深對定理的理解，并學會簡單運用。學生在此過程中既鞏固了知識點，又能感受到對于教材問題的解決可以不僅僅停留于表面，可以稍加改變條件，更深入透徹地探求解決問題的本質，有效培養學生自主學習的能力。

二、不改變已知條件，進一步探索可能產生的規律性的結果

變式3.在變式2的基礎上探索∠APC與∠ABC的大小關系。

已知：如圖3，PB、PA分別是?ABC外角∠MBC和內角∠BAC的平分線，N在邊AC的延長線上。求證：

∠APC=1/2∠ABC.

在開始這個變式證明之前，老師也可以嘗試由特殊到一般的引導過程。如可以先拋出問題“在上題的條件下，如果我們知道∠ABC=70°，那么能不能求出∠APC的大??？”在學生探求出∠APC的大小之后可再逐步引出“那么，在已知條件不變的情況下，我們是不是可以發現∠APC與∠ABC的大小變化規律？它們之間究竟存在這怎樣的關系？你能不能給出證明？”同樣，在不改變例題1的已知條件下，我們也可以繼續嘗試探索如變式3一樣的問題，但得到的結果發生了變化。

變式4.如圖4，AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，求證：∠AOC=90°+1/2∠ABC.

在探究過程中啟發學生注意無論是變式3還是變式4，都需要應用到證明原題或之前變式的結果，也就是說例題的證明是源頭，是本體，而之后產生的其他結論都由它往外發散而成。而研究規律性結果的過程常常需要從特殊到一般，首先發現規律，而后尋其本質。通過這一類變式的學習，亦可啟發學生的發散性思維，不僅僅停留在證明一個結論，促進學生將所學的知識點緊密相連，構建自己的知識網絡體系。

三、結論（或已知條件）不變，將已知條件（或結果）設計為開放性問題

在變式3的基礎上，不改變求證∠APC=1/2∠ABC的結果，可嘗試讓學生將已知條件改為等價的角度條件。由特殊值入手，逐步探求解決此問題的本質。

變式5.已知：如圖5，PA是∠BAC的平分線，聯結BP，CP。M，N分別在邊AB，AC的延長線上。

若∠ABP=125°，∠ABC=70°求證：∠APC=1/2

（1）∠ABC

（2）參照第（1）小題請你自行設計一個類同于（1）的條件，而不改變求證的結果。

（3）由（1）（2）的結果進一步探索：若令∠ABP=，∠ABC=，則當與存在怎樣的數量關系的條件下，始終有∠APC=1/2∠ABC？

由（1）的條件，可獲得∠CBP=∠ABP-∠ABC=55°，又由平角∠ABM=180°得∠MBP=55°，這樣得到∠MBP=∠CBP，等價于條件“BP平分?ABC外角∠MBC”的條件。接下去按變式3的方法求解即可以獲得∠APC=1/2∠ABC=35°的結論。

對于第（2）小題，學生在（1）的基礎上，已經認識到了已知條件歸結于保證?ABC中∠BAC的平分線，以及∠ABC的大小和外角∠MBC的平分線的條件，并在此條件下，總有∠APC=1/2∠ABC的情況產生。故學生可以進行各種角度的嘗試。

而經過前（1）（2）兩小題的思考求解過程的鋪墊，在第（3）小題中繼續引導學生將特殊條件一般化。用字母代替已知條件中的角度：即∠ABP=α，∠ABC=β，類同于前兩小題的求解過程，找到α與β之間的依存關系，同時還要合理地考慮α與β的取值范圍：

∠MBP=180°-α，∠BCP=α-β（α>β）

當∠MBP=∠BCP時得180°-α=α-β;

即2α-β=180°而由∠MBP>0°且∠ABC>0°

得90°<α<180°。

顯然， 問題（3）對于學生分析圖形，

尋找規律，探求問題的本質的能力要求較高，所以，在設計問題時，可以采取“層層遞進”的方法，也就是給問題設計“坡度”，由特殊到一般。而解決數學問題的基本模式恰好需要經歷這樣一個仔細觀察，提取信息，適當分析，推理規律，猜想并歸納結論的過程。學生經歷這樣的學習過程，有助于提高其自主學習能力。

四、原命題的條件與結論互換，探究得到的逆命題是否成立

在學習完變式5的第（3）問基礎上，教師可以讓學生自行嘗試進行以下變化：

變式6.在鈍角三角形ABD中，AP平分∠BAD，

C是AD邊上一點，且滿足∠ABC=2∠APC，試探究

此時∠ABD與∠ABC的數量關系，并給出證明。

在變式6中，學生可以很明顯的發現變式5的第（3）問之間的關聯，其實它們本質上是同一種，即將最初的變式3的條件與結論一般化后進行互換，從逆向的角度再次來探尋這個問題的本質性的規律。這樣的變式旨在提供學生對某一問題的多角度思考，培養逆向思維習慣和能力。由于教師和學生共同經歷了變式5的探索過程，由思維的連貫性，變式6就更易被理解和接受，教師可稍加指引，由學生自行完成證明，也可以作為課后作業進行延伸。

由此，我們發現，要有效地做好“精講精練”并不是一件簡單地事，相反，它對教師提出了更高地要求。教師必須對教材以及教法深入淺出地進行研究。在“變式教學”中教師必須合理選擇合適的教學內容并在前期備課時充分地自行進行摸索和研究，即哪些教學內容可以進行拓展變式，可有哪些變式的形式，又有哪些變化具有典型性，對促進學生思維品質的提高有著顯著的積極作用，而哪些變式意義不大，甚而在課堂中使用的效果不佳。這些問題都值得教師在日常教學中進行思考并總結。筆者就自己在“變式教學”過程中積累的一些經驗談一下感悟：

（一）把握好選擇題目的難易度

一般來說，總是從課本教材里尋找原題，明確題目背后所呈現的知識點和原理。例如上述案例中的變式的原題來自上海教育出版社——九年義務教育課本《數學》八年級第一學期第十九章《角平分線》這一課的例題1。而在變式過程中要體現“循序漸進”“有章可循”，也就是變化的難度要逐級上升，切不可“一步登天”。因為一下子難度太高反而會使學生產生畏難情緒，失去解題興趣，反而降低了課堂學習效率。

（二）把握好課堂中變式的數量

“變式”教學的目的是為了避免學生“就事論事”，提高學生發現問題的規律和本質的能力，最終是讓學生懂得如何學習，獲得有效學習的方法，提高教學效率。那么教師在課堂上進行變式教學時就應當“有的放矢”，側重點放在那些有意義的變化上，而不是“多多益善”。有些重點探討和講解，而有些共性的變化則可以一帶代而過，點到為止。比如本案例中原例題是研究三角形兩個內角的平分線問題，變式1則變化為研究三角形兩個外角平分線產生的問題，可以詳細講解。在找到兩者之間的差異和共性之后，對于變式2即研究三角形一個內角一個外角平分線產生的問題的一些相同的解法即可蜻蜓點水，點到為止。切不可反復重復，造成題海，反而會引起學生的反感。對于有些變式問題，如果有價值，課內時間不夠，那么也可延伸到課外，提供一定素材或問題給學生課后繼續研究。

（三）構造教師和學生“變式”共同體

有效的課堂必須喚起學生強烈的求知欲以及提高學生積極的參與度。為了避免“高投入，低產出”，教師應當做好“引導者”的角色，“引”學生進入探索模式。而學生也可以參與到“變式”設計中來，培養學生主動對問題進行變式思考，對學生提出的變式充分給與肯定，對有價值的變化進行研究探討。學生對自身產生的“變式”更有興趣，有更強的參與度，從而提高學習效率。例如本案例中變式5的第（2）小問，嘗試讓學生自己設計問題并解決，進而啟發出第（3）小問的規律。教師也可以提示性地幫助學生意識到“如何變式”，即上述幾種變式的模式，并讓學生嘗試“變式”。

（四）“變式教學”也是一個“系統工程”

在日常課堂教學中開展“變式教學”不僅能讓老師提高教學效率，也讓學生學會如何深入地發現問題解決問題，培養學生思維的多樣性，深入性，發散性，以及逆向思維。但這種效果絕不可能是“一蹴而就”的，不是一節課兩節課就能解決的，它需要課堂師生的長期的共同努力，它是一項“系統工程”。教師在前期需要示范引領，讓學生充分認識到變式的幾種形式，思考變式的可行性，變式前后的關聯性。在后期，需要給學生充分的“模擬”的空間和時間，也可嘗試課后作業的形式展開。有意識地開展從不變的現象中發現不變 的規律，從變的本質中探尋變的規律。除了解決“變”更要學會如何去“變”，只有這樣變式教學才更深入和有效。

高效的課堂離不開教師高效地教，但更重要的是促使學生高效地學。所以，在教學中采用“變式教學”方式，可化單純的教授為主動積極探索，為培養和發展學生發現問題并解決問題的能力，提高學生的思維品質，有效地提高課堂的學習效率提供了途徑。孟子曰：賢者以其昭昭使人昭昭。教師作為課堂教學的主導者，參與者，更應該在教學實踐中不斷完善教學方法，實現與學生的共同成長。