運用等比數(shù)列知識解決高中物理問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0085-03

高中物理習題情境復雜多變，其中部分習題涉及物體之間的多次作用，需要認真分析物體間相互作用過程中相關物理量的變化規(guī)律，正確運用等比數(shù)列通項公式、前 n 項和等知識進行作答.

1 案例呈現(xiàn)

如圖1，在光滑的水平面上靜置一質量為 2m 的長木板A.某時刻一可視為質點的質量為 ?_m 的小物塊B從A的左端以水平初速度 v₀ 向右滑上A的上表面.A、B第一次共速時B剛好未從A上滑落.而后兩者一起向右運動， t=0 時刻，物塊B和豎直固定的擋板 P 發(fā)生第一次碰撞，經(jīng)過一段時間達到第二次共速.之后物塊B和擋板 P 發(fā)生多次碰撞，最終 t=t₀ （未知）時剛好相對地面靜止.若 間的動摩擦因數(shù)為 μ ，重力加速度為 g ，發(fā)生碰撞的時間極短且無機械能損失.求：

（1）木板A的長度；

（2）A、B第二次共速時B距離A左端的距離;（3）0～t₀ 時間內(nèi)B經(jīng)過的路程

2 解題過程分析

物塊B滑上木板A后，物塊B減速物塊A加速，直到兩者第一次共速;物塊B和擋板 P 發(fā)生碰撞，速度大小不變，但會反向，此后物塊B向左減速至零而后向右加速，木板A一直向右減速，第二次共速后，物塊B和擋板 P 再次發(fā)生碰撞，按照這個規(guī)律物塊B和擋板 P 發(fā)生多次碰撞，直到 t=t₀ （未知）時剛好相對地面靜止.

（1）當 _A，B 第一次共速時，物塊B處在木板 A的最右端.設共速時兩者的速度大小均為 v₁ ，木板A的長度為 L ，以右為正方向.由動量守恒定律可得：mv₀=（m+2m）v₁ ，由能量守恒定律可得：μmgL 聯(lián)立解得： 即木板A的長度為

（2）物塊B和擋板 P 碰撞后只改變速度方向，不改變速度大小.設第二次 A，B 共速時的速度為v₂ ，物塊B相對于長木板運動的距離為 x₁ .由動量守恒定律可得 2mv₁-mv₁=（2m+m）v₂ ，由能量守恒定律得 ，聯(lián)立求得： 由（1）得L-x = 3μg 則 A，B 第二次共速時B距離A左端的距離為

（3）物塊B和擋板 P 第一次碰撞后，速度方向瞬間變向向左運動至減速至0，而后由靜止開始向右加速直到和A共速發(fā)生第二次碰撞.物塊B在這兩段過程運動的距離是相等的.由（1）（2）可以得出物塊B和木板A第 n 次共速時的速度大小為U =，以B為研究對象，則μmg =maB

從B第一次碰撞后至向左減速至0的過程中，運動的距離為 s₁ ，則運動學公式可得 2a_Bs₁=v₁² ，解

物塊B從速度為0向右加速至與A共速跟擋板 P 發(fā)生第二次碰撞之前，物塊B運動的距離也為s₁ ，即從物塊B發(fā)生第一次碰撞后至剛好進行第二次碰撞期間運動的距離為 2s₁

同理，第二次碰撞至速度為0：

第 n 次碰撞至速度為0有

通過歸納可得 0～t₀ 時間內(nèi) B 經(jīng)過的路程為 當n?∞ 時，

綜上可知， 0～t₀ 時間內(nèi) B 經(jīng)過的路程為

3 解題點評及總結

3.1 解題點評

該題涉及復雜的運動過程，運用牛頓運動定律正確分析物體的運動狀態(tài)是解題的關鍵.其中問題（1）物塊B滑上木板A后，受到木板A的摩擦力做勻減速運動，而木板A受到物塊B的摩擦力做勻加速運動.在兩者共速之前，發(fā)生相對滑動.物塊B相對于木板A滑動的位移即為木板A的長度.這個過程既可以運用運動學公式進行計算，也可以使用動量守恒定律以及能量守恒定律計算.其中使用動量守恒定律以及能量守恒定律，計算相對來說較為簡單.當然如轉換參考系，也能順利解答.

問題（2）難度中等，很多學生看到解題過程會產(chǎn)生一些疑惑.不明白問題（2）求解過程中 x₁ 為什么就是木塊B距離木板右側的距離

事實上，以木板A為參照物，可以得出物塊B在未與木板A共速之前，相對于木板A始終向左運動 這一公式正是基于“以木板A為參照物”列出的.

問題（3）的解析中，一些學生可能對“物塊B發(fā)生第一次碰撞后至剛好進行第二次碰撞期間運動的距離為 2s₁ ”這句話不理解.下面做出進一步的解釋：以地面為參照物，第一次碰撞后物塊B以 的速度向左運動減速至0后，因受到木板A上表面的摩擦力作用而向右做勻加速運動直到兩者共速共速一段時間后，與擋板 P 發(fā)生第二次碰撞.“以物塊B為研究對象，以地面為參照物”不難得出物塊B向左減速至0運動的距離，剛好與物塊B向右勻加速度運動以及物塊B和木板A共速運動的運動距離之和相等.

厘清物塊B運動的距離關系之后，運用運動學知識列出對應的公式，并注重總結其中的規(guī)律，明確物塊B和擋板 P 每一次碰撞后速度之間的比例關系，最終聯(lián)系等比數(shù)列前 n 項和公式以極限的知識，即可計算、分析出最終結果.

3.2 解題總結

從解題思路來看，解答物理問題時，學生習慣地將地面作為參照物，這在一定程度上可以使得學生順利一些物理習題.但是如形成定式思維，則在分析一些綜合性較強的物理問題時可能會陷入誤區(qū)[1].在教學中，教師應對學生進行解題引導，突破思維定式，根據(jù)解題需要靈活選取參照物.

從數(shù)學知識運用來看，數(shù)學知識在高中物理解題中有著廣泛的應用[2].教學中，教師應注重講解相關的例題，使學生認識到數(shù)學知識在解答物理問題中的重要作用，提高學生運用數(shù)學知識解答物理問題的意識.案例中的問題（3）正是運用了數(shù)學中的歸納、等比數(shù)列前 n 項和、極限等知識，尤其等比數(shù)列前 n 項和的求解關系著最終結果的求得.

4訓練習題

如圖2，一輕質彈簧左端固定在光滑水平面AB的左端，右端被質量 m=3kg 的滑塊（和輕質彈簧無連接）擠壓.一半徑 R=0.3m 的光滑螺旋圓形軌道和水平面 AB 切于 C（E） 處.BDFH為底面水平且光滑的凹槽，其中 DF=L. 緊靠凹槽側壁BD放置一質量 M=2kg ，長度 d=1.8m 的無動力平板車.平板車的上表面和 _AB 處在同一水平面上.某時刻，將滑塊由靜止釋放.其中滑塊和平板車的動摩擦因數(shù) μ=0.5. 平板車和豎直側壁HF 的碰撞為彈性碰撞，滑塊可視為質點，忽略空氣阻力.

（1）若彈簧以 E_p=15J 彈性勢能釋放滑塊，求滑塊經(jīng)過圓弧 C 點時對軌道的壓力 F_c ：

（2）若 L 足夠長，要是滑塊不脫離圓軌道，且在車第一次和右壁 FH 相撞前不會從平板車上掉落下來，求釋放滑塊時彈簧彈性勢能的范圍；

（3）若 L=3.6m ，彈簧以 E_p=24J 彈性勢能釋 放滑塊，求滑塊最終離平板車左端的距離以及平板 車經(jīng)過的總路程.

思路點撥 問題（1）考查機械能守恒定律、圓周運動、牛頓第三定律等知識，難度不大，列對應的物理方程求解；

問題（2）考查圓周運動、動量守恒定律、機械能守恒定律等知識.通過滑塊剛好做圓周運動確定滑塊的最小動能；通過滑塊剛好到達平板車的右端和平板車共速計算出滑塊的最大動能；

問題（3）考查能量守恒定律、動量守恒定律以及等比數(shù)列等知識.解題的過程中可以先求出平板車和豎直側壁HF進行第一次、第二次碰撞時的位移，找到其中的規(guī)律，運用等比數(shù)列的前 n 項和公式進行計算得出結果.

5 結束語

針對高中物理物體之間多次作用的情境，可能需要使用等比數(shù)列知識進行求解.教學中，既要注重相關例題的講解，做好解題示范，又要組織學生開展針對性的訓練活動，使學生意識到在解題中應根據(jù)已知條件對物體進行受力分析，劃分合理的運動階段，靈活運用動量守恒定律、運動學公式等構建物理方程，探尋物理參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，確定等比數(shù)列的首項和公比，借助等比數(shù)列通項公式或等比數(shù)列前 Ω_n 項和公式計算出結果.

參考文獻：

[1］廖光兵，黃瑩.等比數(shù)列在高中物理解題中的應用[J].數(shù)理天地（高中版），2024（10）：127-128.

[2]項薔媛，潘春芳.等比數(shù)列在物理解題中的應用例析[J].教學考試，2018（22）：38-40.

[責任編輯：李 璟]