基于數值流形法在巖土工程中的應用

熊 帥,李斯樵,劉麗娟

(內江師范學院 人工智能學院，四川 內江 641100)

1 引言

在地下工程、邊坡、地基等巖體的開挖過程中，關于巖體穩定性的研究是一項極其重要的內容，關乎工程施工安全。巖體是由巖塊和節理裂隙組成的一種多結構的地質體，受施工過程影響，由于工程建設會對周圍原本穩定狀態產生些許變形，主要包括流變、沿結構面的長期變形、彈性、彈塑性變形等，這些變形隨著工程建設的進行會表現為非線性和大位移，最終導致工程巖體破壞。因此保持原始工程的穩定顯得尤為重要，現國內外學者大多在采用數值模擬分析包括有限元[1,2]、離散元[3,4]、邊界元[5]、塊體理論[6,7]、極限平衡法[8]、差分法[9]等理論研究的基礎上，再將其研究成果與實際工程進行對比分析，最后再應用于實踐中去，以期取得有實際意義的工程價值。因此在研究巖體結構破壞規律顯得極其重要，在得到其演變規律的基礎上再進行工程綜合穩定性評價從連續到非連續的復雜過程還有待研究者深入探究。

分布式裂隙模擬法作為最早應用于節理巖體的數值模擬的方法，通過應變軟化的本構模型模擬裂隙演變過程[10]，主要理論基礎是連續介質力學。但是其缺點是：與巖土實際破壞誤差較大，局部整體相互分離模擬尚未體現出來。而對于能準確模擬出幾條裂隙擴展分析的離散式裂隙模擬法來說，其作用機理是以尖端應力、位移場為理論依據，通過相互耦合、能量釋放準則進行模擬分析單個裂紋狀況，缺點是不考慮其他裂紋、閉合和再次接觸可能的影響，單個裂紋的模擬導致結構拓撲和算法比較繁雜。

非連續為基礎的模擬方法：和離散式裂隙模擬法不同，將巖體看作互相有聯系的整體，它們是由相互聯系的、可動的系統組成，首先假定其是不連續狀態，但是本身并不是完全分離開來，相反是由連續和不連續可動的巖體裂隙組成，即節理巖體仿真。鑒于以上節理巖體的特點，1992年石根華以數值流形為核心的在非連續和連續運動學理論的基礎上加入了有限元和解析法對連續變形的分析方法，創立了包括有限元、非連續變形分和解析法在內的一種新型計算形式—數值流形法(NMM)。

2 數值流形法

2.1 基本概念

塊體動力學、單純形積分、兩層覆蓋系統是數值流形法[11]基本結構的三要素，構成關系如圖1所示。由DDA發展而來的數值流形法，基于塊體運動學和塊體間接觸判斷為理論基礎，其中對于塊體接觸面一般應用的是剛性彈簧，判斷接觸主要根據兩個方面：無拉力和無嵌入。后來的學者通過提出精確、簡單的演算提出了無彈簧來解決不連續面的嵌入和無張拉。

圖1 數值流形法基本結構

由圖1可知，對于兩層覆蓋系統，包括物理網絡和數學網絡兩種。前者主要是針對物理邊界的不連續問題；后者是針對一些規則的格子和任意的圖形。

數值流形法使用單純形積分，由于三角形網格方便插值構造，常常采用它做數學網格，可以把任意形狀的區域轉化為許多三角形，且每個三角形的積分都可以用解析法求出。傳統有限元中單元不僅僅是構造插值函數的子區域，而且是系統能量泛函積分求解的基本單位。流形法中的流形單元僅僅是完成系統能量泛函積分求解的基本單位，而不是構造局部近似函數的插值子域，插值子域由數學網格決定，正因為將插值子域和積分子域相分離，使得流形單元的形狀可以是任意的，而不會給插值構造增加困難。

2.2 覆蓋函數與總體位移函數

總體位移函數由覆蓋函數和權函數組合而成；其中，前者覆蓋函數可以是常數、線性、非線性函數，后者權函數除了常數外，其他函數形式和覆蓋函數一致，即可以是線性或非線性函數。在多個物理覆蓋層上，建立每個物理覆蓋建立對應的物理覆蓋函數，再將這些物理覆蓋函數用加權平均求和的方法得出總的位移函數，再依據總勢能變分原理求解巖體力學的問題，這就是所謂的數值流形方法。具體來說：覆蓋函數為常數，權函數為常數構成線性總體位移函數；而覆蓋函數為常數(線性函數)，權函數為二階函數形式(線性函數)，則構成為二次總體位移函數。

2.3 勢能變分的內容

數值流形法利用最小勢能原理求解變分時，勢能變分包括應變能變分、初應力勢能變分、接觸彈簧勢能變分、外力勢能變分等，其涉及了位移、應力、應變邊界條件和接觸狀態、初始條件計算等方面。最后利用勢能變分的總和為零，獲得基本方程，由勢能變分原理可得到系統的平衡方程[10]；由此，可以得到位移系數并且流形單元可以是任意形狀和節點。

3 數值流形法的改進研究及在巖土工程應用

從目前的研究進展來看，無疑數值流形法是當前具有發展和應用前景的一種數值方法，自1992年石根華提出數值流形法至今，該法在裂紋擴展、連續和非連續變形分析方面得到重大突破和應用，并取得了豐碩的成果，繼而引起了國內外學術界對該種方法在巖土工程其他領域的大量研究。

3.1 數值流形法的改進研究

Terada等[12,13]對不規則流形單元通過數值流形法進行了研究評估，并且還基于結構化數學網絡建立了三維流形分析程序，分別對不規則單元和有限覆蓋系統進行分析。楊傳禮[14]提出了調整數學網格節點，通過判定準則去調整數學網格節點，以達到將裂縫等物理網格的場函數計算完全的目的。劉泉聲[15]通過其改進提升后的NMM接觸檢索算法可以直接判斷出接觸形式：角-角、角-邊或點-邊接觸。NMM接觸檢索算法和新接觸檢索算法時間擬合曲線對比如圖2所示。可以看出，當接觸單元和接觸線段數量增加時，新算法更加有效率。

圖2 新檢索算法和原NMM檢索算法擬合曲線對比

3.2 數值流形法在巖土工程中的應用

近年來，數值流形方法(NMM)在巖土工程問題的求解方面取得了豐碩的成果。在邊坡工程方面：郜穎超[16]評價了攔擋墻的減災作用，重點對高速遠程滑坡碎屑流進行了相關的數值模擬。陳依琳等[17]編制了數值流形分析程序，判別準則是：采用位移突變和最大曲率準則，在強度折減法的基礎上運用數值流形法實現了邊坡失穩的數值模擬。Qu Xiaolei等[18]提出了一種基于超流形單元的子域劃分算法，通過對整體矩陣進行部分對角化，提高了動力荷載作用下不連續系統的計算效率。

在深埋隧道開挖方面：Wu等[19]采用數值流形方法的顯式時間積分格式作為數值平臺，采用新開發的VE-ENMM方法，探討了引大濟湟隧道圍巖破壞的機理，并建立了相應的數值模擬模型。Fan等[20]得出了瞬態應力場受周圍應力和靜態應力波的影響的結論，并且還對一維波進行了程序測試，得出和振幅和時間有密切聯系。最后，對兩個具有對稱或非對稱結構面的地下洞室在應力波作用下進行了數值模擬，驗證了其應用潛力。He等[21]提出了一種三維數值流形方法(3D-NMM)來分析巖巷關鍵塊體的完整破壞過程，研究了馬蹄形隧道側、頂板的塊體冒落。

在大變形研究方面：圍巖碎脹大變形直至破壞是由連續-非連續循序漸進的過程，即由峰前損傷發展到峰后破裂碎脹。蔣亞龍等[22]通過改進后的數值流形法，數值模擬了開挖作用下的圍巖破壞、碎脹大和最終開挖損傷區的破壞規律和力學特征，并建立了相應的數值模擬模型。蘇海東[23]采用固定網格拉格朗日數值流形方法專門針對解決幾何非線性材料大變形。

在流固耦合研究方面：劉紅巖等[24]數值模擬了基于數值流形法中裂隙水滲流計算，將滲流與斷裂作為綜合考慮的兩大因素。流固耦合問題數值模擬的主要挑戰包括固體破裂、自由表面流體流動以及固體與流體的相互作用，在水力學和巖土工程分析中，考慮多孔材料的流固耦合作用，同時，在深層潛在破壞面上假設不連續節理，模擬有效應力、摩擦角等危險因素達到臨界值后，邊坡的崩塌行為，巖石的微觀破裂。Wu[25]提出的基于三次定律和線性流體可壓縮性模型顯式計算可壓縮粘性流體的流量和流體壓力的水力求解框架，首次與非耦合瞬態和穩態流的解析解進行了對照，通過耦合算例驗證了耦合HM方法的準確度，考慮了不同射孔傾角和地應力條件下的壓力裂縫彈性響應和水力裂縫的擴展；數值計算結果與解析結果表明：該模型能成功地模擬具有恒定均勻孔徑裂縫的瞬態流動。

4 結論及展望

巖體結構從連續到非連續的轉變過程是一個復雜演變過程，獲取巖體結構的破壞演化規律對工程綜合穩定性評價是極其重要的。隨著計算機的發展，數值模擬方法得到快速應用，數值流形方法(NMM)是當前巖體力學與工程界十分關注的一種新的數值方法。其目的旨在解決可同時處理連續與非連續的問題。在網格劃分、覆蓋形式、近似函數等方面有其自身的特點和優勢。本文在介紹其基本概念和組成部分的基礎上，針對目前該方法的研究現狀，對數值流形法的理論改進發展和其在巖土工程中包括邊坡、隧道及地下洞室、大變形問題、流固耦合的應用進行了綜述分析。

作為一種發展起步較晚的數值方法，目前國內外已開展了一些有益的研究工作，并將其成功應用于巖體破壞、大變形、裂紋擴展等非連續性變形等領域。但就目前的研究成果來看，在理論研究、模擬過程的實現、軟件開發、應用范圍等方面還可更進一步系統性研究。①目前主要應用在巖體破壞、裂隙擴展分析等非連續變形方面，多場耦合問題上也有初步應用研究，其他應用領域還有待進一步發現；②其方法原理有待更深入研究：針對不同問題，采用不同的覆蓋函數求解時的數值穩定性和收斂性；覆蓋及接觸彈簧等的參數選擇對流形矩陣和數值計算精度的影響較大；數學方面的完善等；③在數值模擬實現方面：接觸判斷與相關算法、網格的劃分、程序的開發等都影響數值流形法的應用；④多場耦合方面：多場耦合是非常復雜的問題，有限元在同一網格前提下難以保證不同物理場對協調性的要求，流形方法的有限覆蓋技術通過對不同物理場量選用不同覆蓋函數能夠克服這種困難，因此其方法是分析解決多場耦合問題的有效方法；⑤針對復雜的大型巖土工程，三維流形方法還有待深入研究，以便更加切合實際工程應用。