反哈密頓矩陣的特征值反問題

胡姍姍，李思思，羅佳杰

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

特征值反問題與矩陣特征值問題相反，需要由特征值和特征向量來確定矩陣的元素。特征值反問題被廣泛應用于許多研究領域，如結構動力學[1～4],極點配置[5,6]等。關于矩陣的特征值反問題可以在文獻[7]中找到。反哈密頓矩陣的特征值反問題有許多重要的應用，并有許多計算其特征值、不變子空間和舒爾形式的算法。本文利用廣義奇異值分解研究反哈密頓矩陣的特征值反問題的可解性條件和通解表示。

本文主要解決以下兩個問題：

HX=XΛ

(1)

對矩陣對進行廣義奇異值分解，給出了最佳逼近問題有解H的充要條件。當集合SE非空時，證明了最佳逼近問題存在唯一解，并給出了唯一解的顯示表達式。

1 特征值反問題

為了解決特征值反問題，給出下面的引理

引理2[9]令S1=diag(α1,…,αs)∈s×s,S2=diag(β1,….βs)∈s×s且滿足g×s,則

當且僅當

(2)

引理3 假設S1=diag(α1,…,αs)∈s×s,S2=diag(β1,…,βs)∈s×s且滿足s×s,則

(3)

當且僅當

由于fij=-fji,容易得到

由上式的矩陣形式,可以得到結論。

假設H∈H2n×2n,由引理1,H可以表示為

(4)

其中E，F，G∈n×n可以被確定。令αi=Re(λi),βi=Im(λi),yi=Re(xi),zi=Im(xi),i=1,3,…，2l-1.

(5)

(6)

方程(1)可改寫為

(7)

設矩陣

(8)

由(4)和(8),方程(7)可以寫成

(9)

(10)

其中M∈p×p是非奇異矩陣,n×n

1>α1≥α2≥…≥αs>0,0<β1≤β2≤…≤βs<1,αi+βi=1(i=1,…,s),

令

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

E13,F12,G23是任意矩陣,F11,F22,G33是任意反對稱矩陣。

如果令

則有下面各式成立

E11=J11,E12S1+F12S2=J12,F13=J13,E21=J21,E22S1+F22S2=J22,F23=J23,

由上面各式之間的關系可得,可解條件(12)以及關系式(13)～(15)。

2 最佳逼近問題

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中F12,G23,F22分別由式(22)(23)(24)表示。