一種新的類范德蒙矩陣

張華民，郭竹梅，盛家樂， 殷紅彩

(1.安徽科技學院 信息與網絡工程學院，安徽 蚌埠 233030；2. 安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

范德蒙矩陣和它的逆矩陣在多項式插值、無線通信和信號處理等領域有重要的應用[1～3]。鑒于范德蒙矩陣的重要應用, 基于范德蒙矩陣又衍生出了許多與范德蒙矩陣關系密切的矩陣, 如廣義范德蒙矩陣[4,5]、合流范德蒙矩陣[6,7]和類范德蒙矩陣[8]等。

同上面的工作類似，本文通過利用初等對稱多項式構造一種類范德蒙矩陣，計算表明這種類范德蒙矩陣和范德蒙矩陣的行列式相等，同時這種類范德蒙矩陣的逆矩陣也和范德蒙矩陣關系密切。為了表述方便引入下面的記號。

設集合K={k1,k2,…,kr},從集合k中任選r-1個數可構成次數從1到r-1的初等對稱多項式。用記號σs(i)表示從k中去掉ks(s=1,2,…,r), 從余下的r-1個數中分別選取i(i=1,2,…,r-1)個數構成的多項式。例如從中選取k2,…,kr,則可構成如下的多項式：

…，

σ1(r-1)=k2k3…kr.

這樣的σs(i),s=1,2,…,r,i=1,2,…,r-1，共有r×(r-1)個, 它們依次是

σ1(1),…,σr(1);σ1(2),…,σr(2);σ1(r-1),…,σr(r-1).

借助這樣的初等對稱多項式構造矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Br(k1,k2,…,kr)分別記為

(1)

(2)

稱矩陣Ar(k1,k2,…,kr)為類范德蒙矩陣。

1 主要結論

記集合K中的元素生成的r階范德蒙矩陣Vr(k1,…,kr)為

(3)

則矩陣Vr(k1,…,kr)的行列式detVr(k1,…,kr)的值為

(4)

記矩陣Wr(k1,…,kr)為

(5)

引入交換矩陣P,

則有

(7)

本文的主要結論是類范德蒙矩陣Ar(k1,k2,…,kr)與Vr(k1,k2,…,kr)行列式的值相同, 即有

定理1 沿用(1)(3)兩式中的記號, 則矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Vr(k1,k2,…,kr)有相同的行列式, 即有

(8)

類范德蒙矩陣Ar(k1,k2,…,kr)的逆矩陣和矩陣Wr(k1,k2,…,kr)有密切的聯系, 具體如下。

定理2 根據(1),(5)式中矩陣Ar(k1,k2,…,kr)和Wr(k1,k2,…,kr)的含義, 則有

(9)

2 定理1的證明

定理3 沿用(2)式中矩陣Br(k1,k2,…,kr)的記號, 則有

(10)

證明 下面對矩陣Br(k1,k2,…,kr)的階數r用數學歸納法來證明。為了表述方便, 接下來的證明中用集合K中元素的初等對稱多項式來代替σs(i),s=1,2,…,r,i=1,2,…,r-1.

下面假設對r-1階的矩陣Br-1(k2,…,kr)結論是成立的, 則對r階矩陣Br(k1,…,kr)取行列式可得

=(k1-k2)…(k1-kr)detBr-1(k2,k3…,kr)

=(k1-k2)…(k1-kr)…(kr-1-kr)

根據數學歸納法原理, 定理3中的結論是成立的。 證畢。

根據矩陣A2(k1,…,kr)與B2(k1,…,kr)的關系, 可知定理1是成立的。

3 定理2的證明

下面通過證明一個關于初等對稱多項式的恒等式來證明定理2.

證明 先證明下面恒等式成立

(11)

σi(1)=(k1+…+ki-1+ki+1+…+kj-1+kj+1+…+kr)+kj

(12)

(13)

(14)

分別當n=1,2,…,r-1時將恒等式(14) 代入(11)式左端可得

=0

(15)

當i=j時, (11) 式可化成

(16)

而我們可以直接驗證下式是成立的

=(ki-k1)(ki-k2)…(ki-ki-1)(ki-ki+1)…(ki-kr)

(17)

到此我們證明了

(18)

至此, 定理2得以證明。 證畢。

4 總結

以初等對稱多項式為元素, 本文提出了一種類范德蒙矩陣。它的行列式和范德蒙矩陣相等或僅相差一個符號。 通過利用初等對稱多項式的恒等式得到了類范德蒙矩陣和范德蒙矩陣逆的關系。 利用這種關系可以求得范德蒙矩陣的逆矩陣。