小學數學《圖形與幾何》的教與學

沈瑾瑜

小學數學《圖形與幾何》的教與學

沈瑾瑜

（江蘇省南通市海門區三星小學，江蘇南通226100）

“圖形與幾何”是小學階段的重要教學內容，也是數學教學的疑難部分。為落實新課改要求，教師應當立足于教學內容，著眼于學生認知規律，從多元表征圖形本質特征、多元維度度量圖形大小、多樣視角認識圖形聯系、多種方法表達圖形位置，幫助學生形成空間觀念。

小學；數學；圖形；空間觀念

在小學階段，“圖形與幾何”這一部分知識是數學教學過程中比較難的部分。為落實《新課程標準》的要求，必須從動態和靜態兩個層面認識圖形，從數量關系與空間關系兩個方面刻畫圖形的性質，逐步建立起空間觀念。

一、多元表征圖形本質特征

（一）在靜態觀察中抽象出圖形特征

對圖形的認識基于對實物的觀察，不僅從整體著手，感知圖形的特征，還從局部著眼，分析圖形的結構，最后建立整體與部分的聯系，幫助學生從具體實物中提取出圖形的空間形式。

視覺上的感官體驗，向學生傳達了現實生活中存在著的立體圖形。在整體感知的基礎上，學生抓住圖形特征，構建起數學模型，進一步抽象過渡到平面圖形。在這一過程中，需要舍去事物的顏色、材料等非本質屬性，關注圖形的形狀、大小等本質屬性。比如，橡皮檫可以看作是長方體，類似的還有字典、鉛筆盒。這是對現實實物的整體認知，需要剝離某些無關因素，聚焦圖形的本質特征，抽象出幾何模型。從立體圖形中可以剝離出許多平面圖形，把復雜圖形分解成簡單圖形。比如，在紙上把長方體的一個面拓印下來，可以得到平面圖形——長方形，如果拓印不同的面，可以得到不同的長方形。把平面圖形從立體圖形中拓印下來，就是對立體圖形的再抽象。

對分解出的簡單圖形，可以從細微處入手，提取圖形關鍵特征。比如，長方體中提取出的6個面，能判斷形狀，比較大小；從長方體中提取出的12條棱，能比較長短，判斷位置關系；把長方體變形，長方體能“變”成正方體……從局部認識整體，進一步歸納總結圖形與圖形之間的區別與聯系。

對圖形的認識，往往遵循“體——面——體”的認知順序，在觀察中洞察圖形的本質屬性，進一步提煉出圖形特征，從籠統感知轉為具體認知，從淺層建構逐步走向深層建構。

（二）在動手操作中抽象出圖形特征

對平面圖形的認識不能停留在視覺層面上，還應當與理性思考結合起來。只有把感官和思考有機融合，才能提升對圖形的認識。操作的過程就是學生多感官協同活動，探索數學本質，促進知識形成的過程。

對圖形的認識，不能滿足于表象，還應該深入探究圖形的特征。對圖形的深層認知，往往從感官出發，從巧合著手，從操作著力，通過自主探究抽象出圖形的性質，從表象走向深層，加深對圖形特點的理解。

（三）在圖形轉換中發展空間觀念

不管是從立體圖形中剝離出平面圖形，還是反過來由平面圖形想象出立體圖形，都是基于對圖形的深層認知。二維圖形與三維圖形之間，不僅僅是從具體事物中抽象出圖形，還包括從生活中尋找圖形依附的物體；不僅僅是從立體圖形中剝離出多個平面圖形，還包括對平面圖形之間的位置、結構的想象推理，重新構建出立體圖形。圖形之間的變換進一步建立現實生活與抽象圖形之間的橋梁，溝通三維圖形與二維圖形之間的聯系。

平面圖形依附于立體圖形而存在，立體圖形的三視圖、展開圖就是最有力的證明。三視圖就是對同一個立體圖形采用3個不同視角進行觀察，分成3個部分描述物體的形狀和結構。反之，通過對三視圖的空間重塑，想象出不同方向上的圖形形狀，整體考慮物體的大小、結構，就能描述實際物體，判斷出各部分的位置關系，推理出物體的擺放角度。此外，如果需要整體描述立體圖形各個面之間的關系，就需要借助展開圖，它反映了立體圖形中存在的多個平面圖形之間的形狀、位置、大小與結構關系。“圖形與幾何”的教學，實質是把立體圖形中分解成平面圖形，從平面圖形中追溯重構立體圖形，是立體圖形與平面圖形之間的雙向轉換。

由此可見，圖形的認識是以定性的角度為切入口，深入認識立體圖形與平面圖形之間的關聯，助力學生空間觀念的養成。隨后，圖形的認識經由定性轉向從定量的角度刻畫圖形的一些特征。

二、多元維度度量圖形大小

（一）基于過程的優化看待圖形的度量

對圖形空間形式的量化，就是對圖形周長、面積、體積的量與計算。圖形的度量往往呈現出高度相似的結構：從概念的建立，經歷標準多樣化的單位度量，最終統一標準，形成固定的度量單位，進一步抽象出計算公式，回歸解決實際問題。

對圖形的度量，就是用一個標準的量（度量單位）度量圖形。度量單位的形成源于人類生活實踐中的比較，度量單位的統一源于對比較標準的優化。當不能通過重疊、觀察等方法直接比較出物體大小時，就需要借助第三方物體作為測量工具，進行間接比較。由于每個人采用的工具不統一，會導致結果不一致。于是，需要統一比較的標準，逐漸誕生了統一的度量單位。為了滿足精確度量的需要，進一步發展度量衡系統，采用更小的度量單位表示有關的量。

測量圖形大小的過程，本質上是對度量單位的計量，通過對操作方法的不斷優化與簡化，建立起數與形之間的對應關系，最終表現為計算公式。比如，長方形面積計算公式的推導，就借助了正方形學具的不同擺法，從全部擺滿優化為一行一列，以形助數，直觀感受長方形的長與寬分別對應著正方形學具的每行個數與行數，再擺脫實物的束縛，以數解形，總結出面積計算公式。在對圖形大小的計算公式上，進一步優化表現形式。比如長方形的周長公式，借助乘法分配律，從分別計算2條長和2條寬，優化為計算先計算一條長和一條寬的和，再乘2。

度量的關鍵是設立統一的度量單位，不管是度量單位的形成還是測量方法、結果，都體現了從多元走向統一的過程，體現出數學整體發展趨于統一，表現為數學表現形式上的高度簡潔。

（二）基于思想的高度測算圖形的大小

“圖形與幾何”的教育價值不僅僅聚焦于最終的知識成果，還包括隱藏在知識形成過程中的數學思想與數學精神。知識是人類探索活動的最終產物，但主導著數學探索活動的靈魂是數學思想，它是對知識形成過程中不同思維方式的高度概括，是突破慣性思維、開創數學新局面的高度抽象。

在一眾圖形中，圓的特殊性不言而喻。就以圓為例，對其周長的探索需要從分析圓的半徑與周長的關系入手，通過用線繞、量長度、算比值、填表格，觀察得出：圓的周長與直徑之間存在固定的倍數關系，從而得出周長與直徑之間存在確定性的函數關系，初步體會函數思想。

圓的周長化曲為直，圓的面積展現了從量變到質變的過程。通過有限次數地分割，觀察其拼接后的圖形，想象無限次分割后拼接而成的圖形狀態，化圓為方，化曲為直。在曲與直的矛盾中，激發無限逼近的極限思想，引導學生感受轉化的數學思想。

與圓有關的立體圖形——圓柱，可以看作是若干個完全相同的圓層層堆疊到一定程度形成的。教師在向學生傳達微積分思想的同時，如果把計算長方體、正方體體積的方法遷移運用，就能類比得出圓柱體積的計算方法，進一步滲透類比思想。

由此可見，數學思想源于人類的思維活動，寓于知識的形成過程中，在高處指導具體數學知識的學習。“圖形與幾何”的教學不僅注重數學知識的傳授，還緊扣知識形成的過程，讓學生經歷知識再創造、再認識，充分挖掘看似平常實則非凡的數學思想，使數學教學站上新高度。

三、多樣視角認識圖形聯系

（一）基于變與不變動態認識圖形

把一個圖形拆分成幾個部分或幾何元素直接進行研究，就是從靜態的角度看待圖形的形成。如果從動態生成的角度看待圖形的形成，就是追蹤圖形元素運動的軌跡，比如，點動成線、線動成面、面動成體。從這個角度來看，圖形本身就存在運動屬性。

研究圖形運動，常常從生活現象入手，用數學的眼光認識和把握這些現象。通過觀察，整體感知運動方式，比如，平移是沿一條直線移動；旋轉是固定一頭轉動另一頭；軸對稱是翻折后圖案完全重合。通過對運動過程的分析，思考運動涉及的幾個要素，進一步認識圖形的運動，比如，一個具體的平移運動，主要由其平移方向和距離確定；旋轉運動是由旋轉點、旋轉方向、旋轉角度決定；對稱軸是軸對稱變化的基本要素。

但是光感知運動方式還不夠，還需要結合運動前后圖形的變化，總結運動的特征。圖形的運動，本質上是圖形的變換。在平移、旋轉和軸對稱變換前后，圖形只有位置發生了變化，其他一切如故，也就是說兩個圖形是全等關系，這種變換就是全等變換。但是在圖形的縮放中，各邊按比例放大，前后圖形對應角的大小不變，也就是圖形的形狀不變，大小變了，兩個圖形是相似關系，這種變換就是相似變換。

圖形的運動對于刻畫圖形的價值，就是研究運動中的不變量。在研究變與不變時，常常選取運動前后的圖形對比分析，化動為靜，將動態問題置于靜態來思考。

（二）基于聯系的觀點重新認識圖形

利用圖形的運動認識圖形，是一個將靜態認識與動態認識相結合的過程。變換不同的角度分析同一個或同一類圖形，做到橫向對比，縱向聯系，掌握運動前后圖形之間或圖形元素之間的變與不變，就可以動靜結合，進一步掌握圖形之間存在的區別與聯系。

三角形的教學充分展示了動靜結合的觀念。教學首先從靜態認識入手：通過靜態觀察，從邊、角、頂點三方面總結出三角形的特征。其次，化靜為動，從點的位置關系的角度動態認識三角形：讓學生在方格紙或釘子板上探索在什么條件下形成三角形，思考三點不在一直線時，兩邊之和與第三邊之間存在的大小關系，分別從點的位置關系和邊的長度關系兩個方面總結構成三角形的條件。這一過程在已經確定兩點的基礎上平移另一點的位置，展示不同情況下三點能形成什么圖形，強調了三角形的點和邊的位置關系，滲透了邊的長短關系和高的定義，進一步鞏固三角形的特征。再次，化動為靜，從點和邊的位置入手，探索三角形的三邊關系。在已經確定一條邊長度的基礎上圍繞這條邊的兩個端點，旋轉另兩條邊，比較圍成三角形時兩邊之和與第三邊的關系，通過選取旋轉過程中的三點（或三邊）呈一直線的特殊瞬間，用反證法明確了圍成三角形的三條邊長度關系。

聯系并不僅僅存在于動與靜之間，還存在于整體與局部之間。對于圖形的認識不僅可以從圖形元素入手，也可以從運動特性入手，用聯系的觀點看待圖形，就能多角度深入認識圖形，就能全方位把握圖形之間的聯系。

四、多種方法表達圖形位置

（一）基于點與點的位置關系描述圖形的位置

圖形與圖形之間的聯系，除了形狀、大小，就是位置關系。描述圖形的位置關系需要結合學生的生活經歷，創設貼合生活的問題情境，讓學生嘗試描述物體或圖形的位置，并對不同的描述方法進行對比分析，總結描述位置必需的基本要素。

對圖形位置的描述，始于點與點之間的位置關系，為初中階段學習平面直角坐標系和極坐標系做鋪墊。平面直角坐標系的滲透是從教師的視角觀察學生的位置展開的，將每個學生都抽象成點，接著在點上套上方格，引導學生建立數與形之間一一對應的關系，進一步統一表示方法——用數對確定位置，抽象出坐標。如果只確定數學中的行或列，只能確定物體在某條線上，對應的物體不唯一，描述的位置不夠精確。因此，在“平面直角坐標系”中，“行”與“列”二者缺一不可，在用數對表示時，就需要用兩個數字分別代表行與列。

極坐標系滲透在用方向和距離定位的過程中。在具體情境中將每個物體都抽象成點，選取其中一點為參照點，依據物體相對于參照點的方向和距離，描述物體的具體位置。在數學描述中，如果只確定方向，只能確定物體所在的區域；如果只知道方向及角度，只能進一步確定在一條射線上；如果只知道距離，只能確定在一個半徑是定值的圓上。因此，“方向角”與“距離”相輔相成，二者是描述物體在平面中位置必不可少的要素。

描述圖形位置的兩種方法，都是從某人或某物的視角展開，即確定了參照物，那么對于圖形位置的描述就是相對的。基于參照點具體描述圖形的位置，本質上是確定從一點到另一點的路線。不同的是，在“極坐標系”中，如果切換了參照點，物體相對于參照點的方向和距離就會發生變化，對物體位置的描述也隨之變化。

（二）基于線與線的位置關系描述圖形的位置

小學階段，線與線的位置關系在同一平面內的前提條件下重點研究兩種特殊情況——平行與垂直。縱觀整個教材體系，不難發現它的學習起著承上啟下的作用，這是因為學習這部分內容必須要以直線和角的知識做基礎，也為今后學習平行四邊形、梯形等圖形埋下伏筆。

平行與垂直的核心是感知兩條直線的位置關系，并建立起正確的表象。在窮盡兩條直線的位置關系的前提下，進行三層次的分類：第一層次的分類是直接根據兩條直線有無交叉分成兩類；第二層次先根據直線特征進行延長，再分成相不相交兩類，復習直線兩端可延長的特點，強調特殊情況——兩條直線延長后才相交，反之，則順勢引出“平行”的概念，突出平行不相交的表象特征；第三層次是進一步研究兩條直線相交的情況，通過測量相交形成的夾角，進一步細分為直角和不是直角兩類，借機突出夾角為90°的特殊情況，引出“互相垂直”的概念。然后，找找生活中的例子鞏固對“平行”“垂直”概念的理解，展示“平行四邊形、梯形”等圖形的構成過程。

五、小結

“圖形與幾何”的“教”與“學”，立足于學生的視覺感官，著眼于操作探索，著力于多方位認知，力求深層認知，深入理解，深度學習。

[1] 義務教育數學課程標準[M].北京:北京師范大學出版社,2011.

G628,C931.1,O711+.2

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1002-7661(2022)11-0079-03