核心素養視角下的阿波羅尼斯圓

趙金麗

核心素養視角下的阿波羅尼斯圓

趙金麗

（杭州市余杭中學，浙江杭州311121）

數學素養是通過數學學習獲得的提出、分析與解決問題的能力，本文筆者以阿波羅尼斯圓為授課載體，以培養和提高學生的六大數學核心素養。阿波羅尼斯圓是阿波羅尼斯本人在圓錐曲線內容中留下的美妙一筆。在人教版必修二對于直線和圓的學習章節中，有涉及以阿波羅尼斯圓為背景的習題，可見該內容在學生需要掌握范圍內。

數學核心素養；阿波羅尼斯圓；比值；軌跡

本文筆者著重解釋了阿波羅尼斯圓的定義、某些重要性質，并給出用阿波羅尼斯圓解決數學問題的范例，并自編兩題供練習，以此加強學生的數學建模、直觀想象、數學計算以及數學分析等數學核心素養。

一、數學核心素養的概念

數學核心素養包括如下六個方面：1.數學抽象；2.邏輯推理；3.數學建模；4.數學運算；5.直觀想象；6.數據分析。史寧中教授指出：數學教學的終極目標，是要讓學習者學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。因此數學教師如何在課堂上滲透數學核心素養成為課堂上的重要責任，而思考問題、研究問題的方法本身高于數學知識的學習，讓學生通過數學學習獲得的提出、分析與解決問題的能力正是教師們數學教學的重點。

二、阿波羅尼斯圓的背景和定義

在人教版數學選修2-1第二章的《圓錐曲線與方程》章節開頭展示了橢圓、雙曲線、拋物線可以用對頂的兩個圓錐，通過不同的截面得到。

圓

橢圓

拋物線

雙曲線

這個方法的創始人是阿波羅尼斯，他的創作可稱得上舉世無雙，為《圓錐曲線》的系統完整奠定了堅實的基礎。他對于圓錐曲線的貢獻還包括初等數學經常研究的一個特殊圓，后人為了紀念他命名為阿波羅尼斯圓。

這些題的背景都是阿波羅尼斯圓，這類題型內容形式常規，起點低，能保證大部分學生有思路，能夠下手。但是數學素養好的學生又會站在阿波羅尼斯圓高層次觀點思考問題，可以更快地解決問題，這又有區分度，能夠檢測出學生的能力，又方便結合數學史上的名題加以設計，因此在命題中常見。

三、阿波羅尼斯圓的方程推導以及性質

（一）方程推導——數學建模

化簡整理得：（1－2）2+（1－2）2+2（1+2）+（1－2）2=0 （*）

（1）當=1時，=0，（，）的軌跡是的中垂線；

化成圓的標準形式為：

（二）重要性質——數學運算和數據分析

四、例題呈現

解：（阿波羅尼斯圓）

方法一：代數法，利用絕對值不等式

方法二：阿波羅尼斯圓

注：當給出的兩個定點坐標不是關于原點對稱時，可以根據直譯法把動點的軌跡方程求出來，而不是直接代公式。

最后，獲得了504 896 個學習實例。從GenQA 提供的數據和對齊的數據中分別采樣100個樣例進行評估，比較兩個方法對齊問答對于事實的質量。發現相較于GenQA 中有76% 的匹配事實三元組能夠幫助生成自然答案(即是合適的事實)，本文所構造的數據有81% 的匹配三元組是合適的。但是，嚴格來說只有36% 和44% 的對齊三元組才是正確的能回答問題的三元組。例如，對于問題“謝蓉兒和趙一歡之間的關系是什么?”，匹配的三元組(趙藝奕，職業，藝人)可能有助于生成標準的自然答案“公司藝人”，但它不是回答該問題的正確事實。

注：在講解例題時利用幾何畫板輔助教學，培養學生的直觀想象和數據分析能力。

A.有且只有一個

B.形成一個圓

D.形成一條直線或一個圓

①當點，不同高的時候，≠1，則點的軌跡是平面α內以為直徑的圓，其中,是線段'的內分點和外分點。

②當點,不同高的時候，=1，即=，點的軌跡是平面α內線段'的中垂線，因此本題選D。

注：上面的例3和例4都是用阿波羅尼斯圓的重要性質解決的，當找到比值是定值這個本質之后，就能夠抽絲剝繭，回歸本質，從而解決題目，培養學生發現問題、歸納概括的能力。

五、自主編題

注：在學習阿波羅尼斯圓后，可適當讓學生自主編題，培養學生的數學核心素養，本文提供兩個筆者自編題如下：

解：建立如圖所示空間直角坐標系，則

六、總結

通過以上三個例題和兩個改編題，本文力求探討數學核心素養的實質，進而在數學教學過程中不斷提高教學質量和效率，增強學生的數學素養和能力。

另外可以看到，三角形中有一邊是定值，另外兩邊成比例，只要合理建系，多半可以利用阿波羅尼斯圓解決。這為求解類似問題的最值或者取值范圍提供了一條新的路徑。用常規方法去解決也有可能有非常漂亮的解法，但是條條大路通羅馬，道路多了，可以欣賞各條不同道路的沿途美景。眾所周知每條道路上的風景后，當某一天站在高考的戰場上，利用我們的慧眼，胸有成竹，信心百倍，可以立馬選擇一條最快捷的、最成功的“路”。

[1] 朱成萬,王紅權.至精至簡的數學思想方法[M].杭州:浙江大學出版社,2018(4):107-110.

O123.5

A

1002-7661(2022)11-0130-03