因“說理”而“深度”讓“說理”成為撬開數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿

■福建省龍巖市長汀縣童坊長壩小學(xué) 曹景慧

《建寧府建陽縣長灘社倉記》寫道，“蒙惠者雖知其然，而未必知其所以然也”，是現(xiàn)代俗語“知其然，知其所以然”之源。同樣，《朱子語類》卷九《論知行》篇中有言，“不可去名上理會，須求其所以然”。跟隨新課程改革腳步創(chuàng)新小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系，在“說理”中落實(shí)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，是新時期小學(xué)數(shù)學(xué)教師的主要工作方向，也是本文的主要研究內(nèi)容。通過優(yōu)化教法、升級學(xué)法課程活動之變革，基于教師、學(xué)生在數(shù)學(xué)課程活動中的不同角色與作用，對小學(xué)數(shù)學(xué)“說理”視角下的深度學(xué)習(xí)策略展開研究并提出了一些教學(xué)建議，以期深化“說理”杠桿作用，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)。探究知識，需先探究其原理、本質(zhì)，將此觀念滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動中，教師不僅應(yīng)講授知識，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索知識原理，“說理”教學(xué)思維由此形成。將“說理”思維合理運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動中，能有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，本文便對此展開了討論。

一、優(yōu)化教法，引領(lǐng)“說理”學(xué)習(xí)

教師向?qū)W生講解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在原理與應(yīng)用道理，是小學(xué)數(shù)學(xué)中最為常見的“說理”現(xiàn)象，直接影響學(xué)生基于“說理”的深度學(xué)習(xí)效果。因此以“說理”撬開數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿，教師應(yīng)以優(yōu)化教法為先，引領(lǐng)學(xué)生“說理”學(xué)習(xí)。

（一）“說理”的基點(diǎn)：課標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確規(guī)定了教學(xué)目標(biāo)并嘗試提出了一些教學(xué)建議，可以為教師“說理”教學(xué)提供理論和思想支持，因此打造因“說理”而“深度”的課程活動，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以先對課標(biāo)展開研讀，在課標(biāo)中尋找“說理”的基點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想。

無論以上任何一項學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)形成的素養(yǎng)，“說理”都與之存在不容割裂的聯(lián)系。其中，“推理能力”與“說理”的關(guān)聯(lián)最為突出。而推理主要分為演繹推理與合情推理兩部分。綜合以上分析，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動中，可分別優(yōu)化“演繹推理”“合情推理”教法，帶領(lǐng)學(xué)生通過相關(guān)推理過程分析知識原理。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊“克和千克”教學(xué)，應(yīng)用“合情推理”手段向?qū)W生講解“1千克=1000克”知識點(diǎn)。在學(xué)生理解“表示物品有多重，可以用質(zhì)量單位克或千克”概念性知識后，探究“克”與“千克”之間的聯(lián)系，教師可以在黑板上分別寫下“1 千克”與“1000 克”信息，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)取直觀經(jīng)驗、憑借直覺分析二者聯(lián)系。在直覺與經(jīng)驗調(diào)取中，學(xué)生向教師提出“1千克可以寫為1000克，所以1千克=1000克”想法，推斷正確數(shù)學(xué)結(jié)果，發(fā)展類比推理思維。隨后，由教師肯定并重復(fù)學(xué)生觀點(diǎn)，說出“1 千克=1000 克”質(zhì)量單位換算原理，落實(shí)高效教學(xué)，豐富學(xué)生深度學(xué)習(xí)收獲。

而演繹推理，需要經(jīng)過從“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”到“數(shù)學(xué)知識”的演繹過程，要求師生在已有事實(shí)中挖掘知識規(guī)律并推斷其原理。立足于此優(yōu)化教法，教師可設(shè)計動手操作教學(xué)環(huán)節(jié)，先通過操作演繹數(shù)學(xué)現(xiàn)象、形成推理事實(shí)，再根據(jù)操作過程與結(jié)論“說理”。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“平行四邊形的面積”教學(xué)，應(yīng)用“演繹推理”手段引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形面積計算公式，教學(xué)過程如下。

1.回顧公式。通過媒體課件出示長方形面積計算公式：S長方形= 長× 寬，引導(dǎo)學(xué)生回憶長方形面積計算方法，使其主動思考長方形與平行四邊形之聯(lián)系。

2.動手操作。教師向?qū)W生提供由四根長短不一的小棒組合而成的平行四邊形學(xué)具，啟發(fā)他們調(diào)整四根小棒位置，將平行四邊形調(diào)整為其他圖形。

【學(xué)生操作】

調(diào)整平行四邊形上下底邊與側(cè)邊小棒的接觸方式，讓側(cè)面兩根小棒與上下兩根小棒垂直，平行四邊形變?yōu)殚L方形。

1.推理公式。在不增加或減少小棒數(shù)量的情況下改變原有小棒位置，可以讓平行四邊形變?yōu)殚L方形，提問：“這說明變化前后的圖形面積是……”學(xué)生可以得出“面積是不變的”這一結(jié)論，教師進(jìn)一步總結(jié)長方形面積計算公式也可以用來計算平行四邊形的面積，同時進(jìn)一步說明：將平行四邊形底邊看作長方形的長，也不能將它的側(cè)面邊長看作長方形的寬，因為它不是垂直的。基于動手操作所得圖形展開“說理”，學(xué)生在教師循循善誘下發(fā)現(xiàn)長方形與平行四邊形面積計算潛在關(guān)系，同時提出合理問題，為深度“說理”創(chuàng)造條件。

2.繪圖演繹。為解答學(xué)生疑問，教師可借助信息化教學(xué)工具繪制數(shù)學(xué)圖形，在繪圖事實(shí)中解釋平行四邊形底和高與長方形長和寬的聯(lián)系（用PPT 展示平行四邊形）。教師通過將這個平行四邊形中的高向右平移，使其與平行四邊形上底右側(cè)端點(diǎn)相交，與下底右側(cè)延長線垂直。同時將平行四邊形左側(cè)位置向右平移，補(bǔ)充到右側(cè)出現(xiàn)的空白位置上，便能形成長方形，進(jìn)一步引發(fā)思考：“當(dāng)面積相同且平行四邊形底邊長度與長方形的長相同時，平行四邊形的高就相當(dāng)于……”學(xué)生會得出“長方形的寬”，通過S長方形= 長× 寬，平行四邊形面積計算公式就可推理出S平行四邊形= 底× 高。梳理上述過程，深度“說理”伴隨公式回顧、動手操作、繪圖、圖形分析、公式推理一一展開。通過演繹推理平行四邊形底和高與長方形長和寬之間的聯(lián)系，學(xué)生在教師指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)二者面積計算公式的關(guān)聯(lián)，輕松理解并掌握平行四邊形面積計算公式，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

（二）“說理”的關(guān)鍵：時機(jī)

過往小學(xué)數(shù)學(xué)“說理”教學(xué)嘗試并未取得預(yù)期效果，與教師對時機(jī)的把控不當(dāng)有關(guān)，部分教師在組織課程活動的每時每刻都在“說理”，導(dǎo)致學(xué)習(xí)氛圍枯燥，降低了學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏深度。因此優(yōu)化教法，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握“說理”教學(xué)時機(jī)，在必要時“說理”、在核心處“說理”、在學(xué)生思維阻礙處或知識好奇處“說理”，減少長篇大論，防止激發(fā)學(xué)生消極厭學(xué)情緒。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊“角的初步認(rèn)識”教學(xué)，基于“角”抽象特點(diǎn)與學(xué)生思維形象化之間的矛盾，教師選擇借助含有角的實(shí)物優(yōu)化教學(xué)，如張開的剪刀、三角板教具、平鋪的紅領(lǐng)巾、鐘表表盤上停下的指針等，組織學(xué)生對實(shí)物展開觀察。學(xué)生通過觀察對實(shí)物共性“都有一個尖尖的角”產(chǎn)生好奇，這便是“說理”機(jī)會。這些物品中都有角的存在，并且每個角都是尖尖的。教師引導(dǎo)學(xué)生再次對實(shí)物展開觀察，發(fā)現(xiàn)每個尖尖的角旁邊都有兩個直直的東西，如剪刀的“刀”、表盤上直直的指針。通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，一般來說，在“角”中，我們看到的“尖”稱作頂點(diǎn)，將“直直的線”稱作邊。角就是由一個頂點(diǎn)和兩條邊組成的。如此，將學(xué)生基于實(shí)物觀察視為“說理”重要時機(jī)，牢牢把握此時機(jī)，根據(jù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、表述與好奇說角之理，教學(xué)效率獲得極大提升，學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量提高。并且，在實(shí)物觀察與分析學(xué)習(xí)模式下，把抽象問題形象化，學(xué)生幾何直觀思維得到鍛煉，更加促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)。

二、升級學(xué)法，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的主人公，“說理”既是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路，也是他們在學(xué)習(xí)過程中理所應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的責(zé)任，而傳統(tǒng)學(xué)法約束了小學(xué)生“說理”行為，將其放在了“聽理”位置上。所以以“說理”撬開數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的杠桿，教師應(yīng)以升級學(xué)法為輔，并借此引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（一）猜想：“說理”的起點(diǎn)

“說理”要求學(xué)生說出知識原理與應(yīng)用道理，即：是什么、怎樣用、為什么，而將此類信息表達(dá)出來，需要學(xué)生在頭腦中對可能是什么、可能為什么、可能怎樣用形成一定想法，這便是猜想的重要意義。教師在升級學(xué)法基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主“說理”，可以先使其對知識展開猜想，再指導(dǎo)他們根據(jù)猜想進(jìn)行“說理”。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)，遵循學(xué)生自主原則，在“說理”課程活動中，教師可靈活應(yīng)用案例教學(xué)法，通過媒體課件出示“145 × 12”算式及其部分筆算計算過程，形成案例。

基于此案例，學(xué)生主動對剩余部分“積”的計算方式展開思考，并借助“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“兩位數(shù)乘一位數(shù)”等乘法學(xué)習(xí)經(jīng)驗提出“讓12的十位與145分別相乘，將所得之積與12的十位對齊落下來”猜想。而后，教師便可引導(dǎo)學(xué)生說出如此猜想的道理，使其在猜想下闡述計算原理。學(xué)生分析算式已有部分，是145 與12 中個位數(shù)字2 的乘積，因為是與個位數(shù)相乘得到的，積得到后與12 的個位對齊。并且，通過“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的乘法，學(xué)生已經(jīng)知道了豎式筆算乘法的要點(diǎn)就是“先用乘數(shù)個位乘被乘數(shù)，得數(shù)末位和乘數(shù)的個位對齊，再用乘數(shù)十位上的數(shù)乘被乘數(shù)，得數(shù)的末位和乘數(shù)的十位對齊”。接下來的計算，讓145與12中的十位數(shù)字1相乘，并在寫下得數(shù)時使其末位與12十位對齊。這樣的計算方法，在所有“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算中都是通用的。以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”學(xué)習(xí)經(jīng)驗與結(jié)果為佐證，學(xué)生猜想與算理表達(dá)更有說服力，更加準(zhǔn)確。通過“說理”將運(yùn)算思維內(nèi)化于心，學(xué)生加強(qiáng)對案例的認(rèn)知，加深對“三位數(shù)乘兩位數(shù)”運(yùn)算方法的掌握，深度學(xué)習(xí)隨之實(shí)現(xiàn)。

（二）實(shí)踐：“說理”的通道

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，深度學(xué)習(xí)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)杜絕“紙上談兵”問題，讓學(xué)生將知識運(yùn)用在實(shí)踐中，培養(yǎng)其實(shí)踐能力。因此教師可以在教學(xué)中通過設(shè)計實(shí)踐活動建構(gòu)“說理”通道，鼓勵學(xué)生在實(shí)踐中闡述知識應(yīng)用道理，同時借助實(shí)踐契機(jī)培養(yǎng)其解決問題能力。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“解簡易方程”教學(xué)，以充分講解“方程的意義”“等式的性質(zhì)”“解方程”等理論原理為前提條件，教師設(shè)計實(shí)踐應(yīng)用題目并要求學(xué)生進(jìn)行自主解答。在學(xué)生列出正確方程并成功解答題目后，要求他們得列方程、解方程道理說出來。

例如，學(xué)校為舉辦元旦聯(lián)歡會買了一些水果，其中，橘子有15 千克，蘋果有21 千克，共花費(fèi)了230.7元。已知每千克蘋果6.7元，那么每千克橘子的價格是多少？（請列方程進(jìn)行解答）

1.審題，找出未知數(shù)，即：每千克橘子的價格，設(shè)未知數(shù)為x；2.分析題目數(shù)量關(guān)系，找出等量信息——橘子與蘋果的總價是230.7元；3.根據(jù)等量關(guān)系列出方程21 × 6.7 + 15x = 230.7；4.利用“解方程”知識解方程，得出未知數(shù)；5.檢驗、整理答案并回答問題：每千克橘子的價格是6元；6.“說理”解釋實(shí)踐過程。

學(xué)生根據(jù)“實(shí)際問題與方程”學(xué)習(xí)成果可知，列方程解決實(shí)際問題時，需要先找出未知數(shù)并將其用字母x進(jìn)行表示，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程，最后運(yùn)用“移項”方法解方程。當(dāng)解出未知數(shù)結(jié)果后，為保證答案的準(zhǔn)確性，還應(yīng)將其代入原等量關(guān)系中進(jìn)行檢驗。如此，再一次將“列方程解決實(shí)際問題”的原理與道理說出來，同時回顧、應(yīng)用“解方程”基本原理，學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步掌握“簡易方程”知識點(diǎn)，提升解決數(shù)學(xué)問題的能力，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（三）質(zhì)疑：“說理”的創(chuàng)新

質(zhì)疑是小學(xué)生寶貴的思維品質(zhì)，在其數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，若學(xué)生能主動對知識質(zhì)疑，以釋疑為導(dǎo)向，他們自然能加深關(guān)于質(zhì)疑內(nèi)容的思考，進(jìn)而通過此過程提高學(xué)習(xí)效果。所以在因“說理”而“深度”的小學(xué)數(shù)學(xué)課程活動中，教師還可以嘗試創(chuàng)新質(zhì)疑教學(xué)方法，先有意設(shè)計矛盾引發(fā)學(xué)生關(guān)于知識的質(zhì)疑，再組織他們探究質(zhì)疑相關(guān)問題，闡述質(zhì)疑與釋疑之理。例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊“長方體和正方體的表面積”教學(xué)，教師一邊在講臺上展示長、寬、高不同的長方體實(shí)物，一邊提出“計算它的表面積，可以直接用長×寬×6”想法。由此，學(xué)生困惑被引發(fā)，對教師質(zhì)疑，并在合理質(zhì)疑基礎(chǔ)上展開“說理”學(xué)習(xí)。

學(xué)生1：“老師，你這樣計算是不對的，這個長方體的長、寬、高是不同的，長×寬是底面和頂面的面積，無法代表兩個側(cè)面和前后面的面積，所以長×寬×6的計算方法應(yīng)該是錯誤的。”學(xué)生2：“在長×寬×6的啟發(fā)下，我認(rèn)為上下兩面的面積計算方法是長×寬×2，左右兩面的面積可以通過長×寬×2進(jìn)行計算，前后兩個面的面積是長×寬×2。”學(xué)生3：“長方體的表面積是它所有表面的面積和，所以，整個表面積的計算方法就是2 長×寬+2 寬×高+2 長×高，也就是2（長×寬+寬×高+長×高）。”

形成困惑前提下，學(xué)生合作形成。在合作中探究長方體表面積與不同面的面積關(guān)系、不同面的面積計算方法，而后整合所得結(jié)論，分析其內(nèi)在原理，學(xué)生實(shí)現(xiàn)對“長方體表面積計算”的自主學(xué)習(xí)，增強(qiáng)合作意識，提升邏輯思維水平，均促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

三、結(jié)語

“說理”在小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位，是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思維的重要手段，是教師落實(shí)深度教學(xué)的必然趨勢，需要教師有意實(shí)踐，更需要學(xué)生的有意參與。新時期以深度學(xué)習(xí)為導(dǎo)向的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動，教師與學(xué)生應(yīng)深化“說理”研討與嘗試，多維分析打破刻板教學(xué)思維定式、深化“說理”的突破口，為課程活動注入“說理”深意，為學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)動力。