分數教學應先“量”后“率”

【關鍵詞】小學數學;認識分數;認知序;教學序

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）01-0069-03

初步認識分數時，教師常會將“量”（表示數量）與“率”（表示關系）混合起來教學，導致學生在解決問題時經常出現混淆。如遇到“把3米長的繩子平均分成5段，每段長[（? ?）（? ?）]米，每段占全長的[（? ?）（? ?）]”這類問題時，學生經常出錯，教師往往疲于糾錯。為什么教了那么多遍，學生還是記不住呢？我們不妨先來看幾個教學片段。

【案例呈現】

[案例1]“量”“率”混淆

師（板書[12]）：同學們，認識它嗎？（直接教學讀寫）

師：你能用手中的材料表示出[12]嗎？

生操作，反饋：把一個圓片平均分成兩份，每份是它的二分之一，寫作[12];把一張正方形紙平均分成兩份，每份是它的二分之一，寫作[12]……

學生對分數的認識并不是一張白紙，直接讓學生借助手中的圖形表示[12]，看似創設了一個開放的情境，結果卻將學生引入“量”“率”不分的境地。學生表示出來的分數是有大小的，分別是[12]個圓、[12]張正方形紙……而在具體用語言表達時，又將分數表示為兩個量之間的關系，如把一個圓片平均分成兩份，每份是它的[12]……很明顯，這樣做，打亂了分數教學“量”“率”認識的順序。那么，教師該如何來引導學生把握分數認識的進程呢？

[案例2]由“量”進入，逐步過渡到“率”

環節一：由“量”引入，感知分數可以表示物體的數量

1.談話引入。

師（課件出示圖1）：一個圓片代表一個月餅，請大家分別在相應方框中填上月餅的個數。

生：2個、1個、半個（0.5個、[12]個）、小半個、小小半個……

2.從“半個”入手，引導學生初步感知分數。

師：“半個”是怎樣得到的？

生：把一個月餅分成兩塊，其中一塊就是半個。

師（出示<f：＼教育8本書＼江蘇教育2022＼小學1期＼小學1期圖片＼課例評析? 袁恩忠? 人教版三上? 分數的初步認識 （ 芮火才薦，朱老師轉2020.10.10）-B3E6＼image4.pdf>）：這是半個嗎？

生：不是，要平均分成兩半，一樣大。

師：像這樣，把一個月餅平均分成兩塊，其中一塊就是半個月餅，在數學中我們可以記錄成[12]個月餅。（板書：[12]個）

小結：像這樣，我們可以用一條短橫表示平均分，用數字“2”表示分成的塊數，用數字“1”表示拿的塊數。（板演書寫順序）

師：“半個”“把一個月餅平均分成兩塊，拿其中的一塊”“[12]個”，你喜歡哪種記錄方法？

由“半個”過渡到“ [12]個”，讓學生知道可以用“把一個月餅平均分成兩塊，拿其中的一塊”和“ [12]個”兩種不同的記錄方式，初步感悟分數表示的簡潔性，在表達上由語言表征向符號表征轉換。

3.嘗試應用。

師（指 <f：＼教育8本書＼江蘇教育2022＼小學1期＼小學1期圖片＼課例評析? 袁恩忠? 人教版三上? 分數的初步認識 （ 芮火才薦，朱老師轉2020.10.10）-B3E6＼image5.jpeg> ）：你能用一個分數表示嗎？

師：想象一下，原來的那一個完整的月餅在哪里？（出示另外兩塊）你為什么會想到用[13]個月餅來記錄？

師：把一個月餅平均分給四個人，每人分得多少月餅？你能畫一畫或寫一寫嗎？

4.小結分數各部分名稱。

師：剛才，我們會用[12]個月餅、[13]個月餅、[14]個月餅來記錄結果，你覺得分數和整數有什么不同點？

師：為什么要用這樣上下排列的兩個數字來表示分數呢？

師：短橫表示“平均分”，平均分的塊數用幾表示，寫在下面;拿的塊數用幾表示，寫在上面。（板演書寫順序）

師：短橫代表平均分，叫“分數線”;數一數分了多少塊當作“分母”，再數一數拿了其中的幾塊當作“分子”。（板書：先分后數）

通過引導學生用“ [13]個”“ [14]個”等記錄月餅的大小，梳理分數記錄的規律，從而得出分數的表示方法以及分數各部分的名稱。

上述看似兩個環節，其實都是在一個“量”的語境下展開的，是一個完整的“序”，即分數如何記錄分月餅的過程，讓學生完整地經歷用數學符號記錄一種“非整”的物的過程。

環節二：由“量”過渡到“率”，感知分數可以表示關系

出示圖2。

師：菠蘿是蘋果的幾倍？為什么？

生1：2倍。蘋果有2個，菠蘿有4個，4÷2=2。

生2：2倍。將2個蘋果看作一份，菠蘿就有這樣的2份。（如圖3）

師：是以誰為標準進行比較的？

生：蘋果。

師：如果以菠蘿為標準，把菠蘿看作一份，蘋果怎么來表示？

生1： [12]。

生2：把4個菠蘿看作一份的話，2個蘋果就是4個菠蘿的一半，所以用[12]表示。

師：同樣是一幅圖，為什么一下用2倍來表示，一下用[12]來表示呢？

生3：把蘋果看作一份的話，菠蘿就是這樣的兩份，用2倍來表示;把菠蘿看作一份的話，蘋果的個數就是菠蘿的一半，用[12]來表示。

師：怎樣比較兩個量之間的關系？

小結：標準不同;方法不同（數量比、份數比）。

環節三：“量”“率”區分

出示：（1）把2個西瓜平均分給4個人吃，每人吃了[12]個西瓜？（2）把2個西瓜平均分給4個人吃，每人吃了總數的[14]。

師：上述兩種說法對嗎？可以畫一畫，同桌互相說一說。

…………

在“倍的認識”的基礎上順利實現了從“量”到“率”的過渡，促使學生厘清了“量”與“率”的區別，明晰了分數的概念。

【問題思考】

數有兩個功能：一個是用來表示物體的數量;另一個是用來表示關系。關系總是拿來比較的，要比較就一定會有誰和誰比，這時就會出現標準量，所以會比較抽象。把一個抽象的關系表示成一個數，對小學生而言比較難。分數作為一個抽象的數，既可以表示部分與整體的關系，又可以表示除法運算的結果，還可以表示兩個整數量的比率。正因如此，小學生在學習分數時出錯的頻率也就相對較高。

綜上所述，筆者認為，在分數教學中，教師要注意處理好“認知序”和“教學序”的關系。從數的發展史來看，最早產生的數是自然數（非負整數）。自然數“1”開始表示的是物體的數量，如1個月餅、1張桌子;后來在分物或度量過程中不能得到整數個時就產生了分數。從分數產生的過程來看，分數首先是表示數量且有大小，這與學生的認知起點相吻合。教材中“把××平均分成幾份，每份是它的（ ）分之一，寫作[1（? ? ?）]”這樣的表述，忽視了向學生表明分數是描述大小的數，而直接引導其從“率”的角度來認識分數，這與學生的認知規律不符。筆者建議教材補充“一半大小的月餅（或蛋糕）可以表示為[12]個月餅（或蛋糕），記作[12]個”這樣的表述，推動學生建立由“量”到“率”的有序認知。有了上述“率”的教學過渡之后，教師可以從兩個方面進行鞏固：一方面，借助圖形，讓學生體驗和感受到表示“量”的分數的大小，理解分數與以前認識的自然數是一樣的，都可以表示物體的大小;另一方面，可以延展到其他不同的分數，借助不同數量的圖形表征來揭示分數的本質，使學生進一步理解分數。

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