拽住思維的“線頭”

朱宇

小學生在解答應用題的過程中，經常會出現這樣的現象：要么是找不到思路，不知道“從哪里想起”;要么是理不清思路，不知道“下一步往哪里想”;要么是打不開思路，不知道“還可以怎么想”。如果把應用題看作一張“網”，其中的情境、情節、數量（已知的和未知的）等諸多信息就是網上的一條條“線”，教師要緊盯著問題，找到“線頭”，然后拽著這個線頭，順勢而為，條分縷析，精準解答。

一、尋找“線頭”，知道“從哪里想起”

要形成解題的完整思路，通常要關注三個要素：思維方向、思維順序和思維方法。首先要確定思維方向，也就是知道“從哪里想起”。

1.從四則運算的意義想起。從建模的角度看，應用題中的數量關系都可以歸結為加、減、乘、除這四種運算關系。例如，“求比一個數多幾的數是多少”的簡單應用題，求未知的數就是把“作為標準的數”和“多出來的部分”合成一個數，體現了加法的意義。應用題中的關鍵詞句固然值得深究，但是我們更需要準確識別兩個已知數量與所求問題在運算意義上的關聯，在分析數量關系的基礎上，將實際問題準確納入相應的運算模型。

復合應用題雖然步驟多，但是每一步必然是加、減、乘、除關系的某一種。例如，求“一個數比另一個數多（少）百分之幾”的百分數應用題，不管條件怎樣變化，我們都可以把百分數的意義“表示一個數是另一個數的百分之幾”當成思考的起點，而百分數的意義直接反映的就是除法運算的意義。生活中一些常見的數量關系，例如單價與數量、總價之間的關系，工作效率與工作時間、工作總量之間的關系，速度與時間、路程的關系，歸根結底都是乘、除法問題的基本模型。

實踐表明，從四則運算的意義整體捕捉問題的本質特征，可以有效避免見“多”就加、見“少”就減等望文生義的錯誤做法，有助于依托題目的條件和問題進行模式識別，順利地找到解題的切入點。

2.從事物的發展變化想起。應用題中的數量關系一般寓于情節之中，情節的發展通常體現了數量的變化。所以，情節也是解題的主要線索，教師要指導學生通過審題，把已有的生活經驗嵌入應用題描述的情節，尋找解題線索。

數量的變化通常有兩種呈現方式：一種與實際生活中事物發展變化進程相同，我們稱之為順向結構題;另一種則相反，我們稱為逆向結構題。例如：小紅要看一本180頁的故事書，第一天看了48頁，第二天看了32頁，剩下的準備2天看完，每天要看多少頁？此題中變化的數量是頁數，頁數的變化與解題思路的走向一致，解題時只需沿題目敘述的事件進程展開，以“剩下的頁數”為切入點展開思考：是怎么剩下的？剩下多少頁？剩下的頁數幾天看完？

相比較而言，逆向結構題的思維“線頭”就不那么明顯。例如：水果店有6筐蘋果，每筐重量相同。從每筐取出20千克后，剩下的蘋果重量相當于原來2筐的重量。原來每筐蘋果重多少千克？本題需要對數量順序與運算過程的一致性進行再調整。本題變化的數量有兩個：重量與筐數。因為筐數原來和現在的數量已知，所以把筐數的變化作為思考的“線頭”——原來6筐，剩下2筐，少了幾筐？為什么少了？雖然存在聯系的數量順序有些“錯亂”，但是只要抓住數量的變化這個“線頭”，仍然能夠找到明確的思維方向，不會引起解題思路的混亂。

3.從與例題的關聯想起。為了幫助學生有效獲得解題步驟，盡可能增強識別問題中條件線索的能力，教材精心編選了一些典型例題。通過這些例題的學習，學生能夠形成解決某類問題的內隱圖式，遇到新的問題，學生將之與例題進行匹配，把握兩者內在關聯，通常能夠便捷地找到解題的突破口。

例如，蘇教版數學五年級下冊“方程”單元有這樣的兩道題。

例題：一輛客車和一輛貨車同時從相距540千米的兩地出發，相向而行，經過3小時相遇。客車的速度是95千米/時，貨車的速度是多少？

習題：兩艘輪船從一個碼頭向相反方向開出，8小時后兩船相距400千米。甲船的速度是26千米/時，乙船的速度是多少千米/時？

通過畫圖分析，學生發現習題的圖式與例題屬于一類，都是求一個運動物體的速度。學生如果從“未知”看“需知”，逐步向“已知”靠攏，通過圖式表征，可以發現，雖然出發地點、運動方向不同，但是解決兩個問題的充分條件是相同的：甲行的路程+乙行的路程=總距離。領悟了“相遇問題”的本質，在此基礎上及時解決“反向行走”“環形跑道行走”等典型問題，學生在運用策略、對比反思的過程中感受到行程問題的“變”與“不變”，進一步積累了畫線段圖解決實際問題的基本數學活動經驗。

二、厘清“線頭”，解決“下一步往哪里想”的問題

有了思維的“線頭”，為解題奠定了良好的基礎。但是，有時候雖然總有思維“線頭”冒出，卻不能深入;有時候很多的“線頭”在腦子里，卻雜亂無序。為此，在找到思路的第一步以后，我們還要借助思維導圖（思路圖）厘清思路，弄清先想什么，再想什么，然后由此又能想到什么，形成正確的思維順序。

1.著眼整體，導圖指路。學生思維順序受到干擾，很大程度上是因為小學生不能把握整體思路和具體步驟的平衡，經常糾結于每一步的計算結果而忽略了解題目標，制約了系統思路的形成。對此，在平時的教學中，教師要培養學生整體審視應用題題意的習慣，借助“先想……再想……然后再想……”等程序性的表達方式，幫助學生明確解題邏輯，形成整合優化的思路。

例如，要解決如下的分數應用題：李師傅和張師傅同時加工數量相等的零件，當李師傅加工了任務的[13]時，張師傅完成了任務的[27]，照這種效率，當李師傅完成任務時，張師傅還剩200個沒有完成，張師傅應完成多少個零件？此題在敘述中頻繁轉換數量，學生找不到已知數量“200個”的對應分數。我們可以讓學生摘錄關鍵句，勾勒思維導圖，梳理數量關系。

李師傅加工任務的[13]?張師傅加工任務的[27]

3倍 ?

李師傅完成“1”?張師傅加工任務的？

借助思路圖，學生輕松理解了應用題當中的隱含關系，即“張師傅還剩下200個沒有加工的時候，他實際完成了任務的[67]”。思路圖指引學生對煩瑣的思路進行整體審視，有利于其形成清晰的思路。

2.善用轉化，化難為易。對于數量關系比較復雜的應用題，我們可以通過轉化的方法將復雜的問題向基本的問題靠攏。

一是化數為形，把隱蔽的數量關系轉化為具體的圖形，利用示意圖分析數量關系，探索解題思路。例如，一個長方形花圃，長10米，現在把長增加2米，面積增加了12平方米，求現在花圃的面積。這是一道關于長方形的長增加面積隨之增加的實際問題，涉及的對應關系包括長方形原來的長與面積、現在的長與面積、增加的長與面積，線索繁雜。學生可以結合圖示，從所求問題向已知條件推理。

二是把未知轉化為已知，借助結構的力量破解難點。一般而言，學生遇到陌生的問題時，“識別—提取模型—重復應用”的解題流程往往派不上用場，對此，教師需要“經驗重組”，通過拆解、合并等手段帶領學生經歷高級別的識別與應用流程，擴展原有的知識結構。例如，列方程解應用題：今年水產養殖產值26萬元，比去年的2倍少3萬元，去年產值多少萬元？解題時，我們可以把“去年的2倍”看作“一個數”，原題就轉化為兩數相差關系的簡單應用題，原來復雜的數量關系隨之簡化為“一個數減3等于26”或“一個數減26等于3”。

3.及時反思，由表及里。數學解題活動是一個復雜的思維活動過程，整個過程離不開對解題步驟的反思。反思不應該只發生在解決問題的檢驗環節，更應該體現在解題思路的審視與調節過程中。例如，一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一個鐵塊，把鐵塊豎直插入瓶中，水面上升幾厘米？確立了“體積÷底面積=高”的主要關系之后，我們需要思考：鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中？通過分析，可知鐵塊是部分在水中。此時學生發現，無法獲知鐵塊在水中的體積，需要調整原有思路。經過反思，學生找到了解題的突破口：當鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積因為被鐵塊“占據”，變成了3.14×10×10-8×8=250（平方厘米），體積還是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。于是，鐵塊部分沉入水中以后，水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升了10.048-8=2.048（厘米）。

三、開發“線頭”，解決“還可以怎么想”的問題

如前文所述，解應用題需要拽住思維的已有“線頭”。有時候，我們還需要發現新的“線頭”，從不同的角度分析問題，開放解題思維。

1.擺脫思維定式。在解答應用題的過程中，學生往往從習慣入手，或著眼于問題的局部去分析問題。我們要啟發學生延伸思維的觸角，實現思維角度的變換，探索新的解法。

在四年級數學練習中，有這樣一道與“單價、數量、總價”有關的應用題：“小紅買5本同樣的筆記本，用去32元;小明要買15本同樣的筆記本，需要多少元？”按照常規思路，需要先求出每本筆記本的價錢，才能求出15本的總價。然而，32÷5的計算涉及小數除法，超出現階段水平，因而學生的解答止步于列出算式32÷5×15。其實，細細深究，此題思維的“線頭”不僅僅這一個。本題雖然與“單價、數量、總價”有關，但我們不必受此束縛。換個思路：從“5本”到“15本”，筆記本的數量擴大3倍，那么總價也應該擴大3倍。于是，我們就有了新的解法：32×（15÷5）=32×3=96（元）。

2.嘗試不同組合。我們發現，如果把應用題各個條件和問題進行不同的搭配與組合，能引發不同的思考，找到新的思維“線頭”。

例如，①一桶油連桶共重32千克，②倒出一半油后，③油連桶重18千克。桶重多少千克？

將條件①②③兩兩搭配，可以得到不同的思路。思路一：①和③組合，可知倒出的油32-18=14（千克），整桶油14×2=28（千克），桶重32-28=4（千克）。思路二：①和②組合，假設桶也減少一半，可知半桶油和半個桶共重32÷2=16（千克），再與③組合，可知半個桶重18-16=2（千克），一個桶重2×2=4（千克）。思路三：②和③組合，想到一桶油和2個桶共重18×2=36（千克），再考慮①，可知一個桶重36-32=4（千克）。

這種多種解法的應用題，對于活躍學生思維、培養其積極探索的能力是有益的。

3.讓學生自主解釋。數學應用題的思路不是教師的提示，也不是少數優秀學生的分析與解釋，而應該是全體學生通過自己的思維活動，在尋找解題思路的過程中獲得意義的內在建構。

例如，3只貓頭鷹5天捉田鼠60只，每只貓頭鷹每天捉田鼠多少只？這是一道普通的除法應用題，學生知道用連除60÷3÷5或者60÷5÷3，但并未真正理解每一步的思路，以至于對“60÷3”表示這一類的思路分析題亂說一通，有的說“每只貓頭鷹每天捉田鼠多少只”，有的說“3只貓頭鷹每天捉田鼠多少只”，都是錯誤的解釋。所以，在應用題教學中，教師要習慣于深入追問：這一步算的是什么？你是怎么想到要這樣計算的？下一步應該怎么想？學生對追問的解釋，從具體的算式深入思路的規劃，將脫節、零散的思維搭建成連貫的、結構化的思維。

（作者單位：江蘇省高郵市天山小學）

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