基于理解，叩問概念本質

劉賢虎

“小數的意義”一課的教學重點是理解小數的意義。怎么才算是真正意義上的理解？只是記住“一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……”這樣的結論能稱之為理解嗎？學生三年級已經初步認識小數，四年級教學“小數的意義”如何精準定位？選用什么學材才能幫助學生更好地建立小數概念？小數意義的本質是什么？小數與分數、整數的內在聯系是什么？等等。教師厘清上述問題，對于“小數的意義”教學至關重要。

【教學過程】

一、喚醒經驗，提出問題

師：同學們，你們認識小數嗎？生活中你們在哪里見過小數？

生：我在超市見過小數，比如一件商品3.95元。

生：我的身高是1.4米。

師：同學剛才說的小數1.4，它的小數點后面只有一個數字，數學上把它稱為一位小數。那3.95就是——

生（齊）：兩位小數，因為小數點后面有兩個數字。

師：除了一位小數、兩位小數，還會有——

生（齊）：三位小數、四位小數……

師：這節課我們一起來學習“小數的意義”（板書課題）。你們想研究小數的哪些知識？

生：小數表示的意義是什么？小數有什么用？一位小數、兩位小數、三位小數之間有什么關系……

師：同學們對小數充滿好奇，提出了這么多有價值的問題。關于小數的運算我們以后再研究，今天我們先一起研究小數的意義和作用：一位小數、兩位小數、三位小數分別表示什么意思？它們之間有什么聯系呢？小數有什么用？

【思考】學生已經初步認識小數，生活中也經常見到小數，因此他們對小數并不陌生。借助生活經驗，引出小數的外延——一位小數、兩位小數、三位小數，進而提出要研究的問題，明確學習的目標——理解小數的意義，即小數的內涵。

二、探究問題，表征建構

教師出示以下問題串：

（1）一位小數表示什么意思？

圖1

圖1中的正方形表示1元，你們能在正方形里面表示出0.4元嗎？（想一想，畫一畫）

（2）兩位小數表示什么意思？

你們能用自己喜歡的方式表示出0.43嗎？（想一想、寫一寫、畫一畫）

（3）猜一猜三位小數表示什么意思？請舉例說一說。

（4）一位小數、兩位小數、三位小數之間有什么聯系？

1.多元表征，探究一位小數

學生自主探究第（1）題，教師巡視后展示不同作品。

師：怎么表示0.4元，看看上面這4種畫法（如圖2），你們想說點什么？

生：我不同意第①種，這個不是0.4，它表示的是[14]。

生：第①種是把正方形平均分成4份，其中的一份是[14]。

生：我認為第③④種畫法是正確的，它們都是把正方形平均分成10份，涂色的占4份，所以是0.4。

師：第②種畫法對不對？

生：不確定。涂色的部分差不多是0.4，但又不能一眼看出來，如果平均分成10份，那就沒問題了。

師：你說得有道理。第③④種涂色部分形狀各不相同，為什么都是0.4？

生：因為它們都是把正方形平均分成10份，涂了其中的4份，就是[410]，用小數表示就是0.4。

師：也就是說，0.4就是——（[410]）。請畫得不對的同學重新畫一次。如果再涂2格，就是多少？

生：再涂2格就是[610]，也就是0.6。

師：接著涂3格呢？一位小數還有哪些？（0.1、0.2、0.3……）你們發現一位小數表示什么意思？

生：我發現零點幾就是十分之幾，一位小數就是表示十分之幾的數。

師：你們覺得這些一位小數中哪一個最重要？

生：我覺得0.1最重要，因為0.2、0.3……都是在0.1的基礎加起來的。0.1就相當于計數單位，0.4里面有4個0.1，0.9有9個0.1。

師：通過剛才的學習，大家發現一位小數都表示十分之幾，都認為一位小數中0.1最重要，因為一位小數都是由幾個0.1累加的。

【思考】一位小數的意義建構，學生有認知基礎，也有疑惑之處。少數學生會把0.4理解為平均分成4份取其中的一份，教學中教師利用學生錯例引出小數意義。教師一次次追問：“如果再涂2格，就是多少？”“接著涂3格呢？”“一位小數表示什么意思？”“一位小數中哪一個最重要？”從淺入深，由表及里，指向核心概念——計數單位，促進了概念的意義建構和學生的深度理解。

2.對比發現，抽象兩位小數

學生自主探究第（2）個問題，同桌交流。教師展示學生的兩種方法（如圖3）。

師：這兩種表示方法，誰看明白了？

生：第①種方法先把正方形平均分成10份，每一份是0.1，先涂上4份，是0.4。再把一個0.1平均分成10份，涂上3格就是0.03。合在一起就是0.43。

師：為什么要把0.1平均分成10份呢？

生：因為現在的分法只能表示多少個0.1，0.43中的0.03沒有滿0.1。

師：不滿0.1時，繼續把0.1平均分成10份，每份就是0.01。

生：第②種方法是先把正方形橫著平均分成了10份，接著又豎著平均分了10份。一共是10×10=100（份），涂43份就是[43100]，也就是0.43。

師：第②種方法把這個正方形平均分成了多少份？那1小格就是多少？

生：把正方形平均分成了100份，1小格是[1100]，也就是0.01。

師：你們喜歡哪一種表示方法？

生：我喜歡第②種，能清楚地看出平均分成100份，表示其中的43份，所以就是0.43。

生：我喜歡第①種。這一種表示方法畫起來比較簡單，前面的4列表示0.4，后面一列平均分成10份，其中的3份就是0.03，合起來就是0.43。

師：這兩種方法畫法不同，表示的意義相同嗎？

生：雖然它們畫得不一樣，其實都表示平均分成100份，涂其中的43份。

師：不管是1格1格地涂，還是先涂4列，再涂3格，只要是涂了43個小格，都是[43100]，用小數表示就是0.43。如果再涂兩列，就是多少？如果要表示0.99，應該怎么涂？

師：你們發現兩位小數表示什么？兩位小數中哪一個最重要？

生：兩位小數表示百分之幾。我覺得0.01最重要，其他兩位小數都是0.01累加起來的。

【思考】學生利用學習一位小數意義時建構的圖式，學習兩位小數。教師不斷追問，促進學生對兩位小數意義及其計數單位的理解。

3.類比推理，理解三位小數

師：你們能推測一下三位小數表示的意思嗎？并舉例子說明。

生：三位小數表示把“1”平均分成1000份，那其中的1份就是0.001。

生：三位小數就是表示千分之幾，比如[2381000]可以寫成0.238。

師：你們會在百格圖上表示出0.437這個數嗎？

（學生在學習單上自主完成，教師巡視并組織全班交流）

生：把43格后面的那一格平均分成10份，取其中的7份，和前面的43格合起來就是0.437。

師：對于三位小數，你們想說點什么？

生：最大的三位小數是0.999。三位小數表示的都是千分之幾。

生：最重要的是0.001，其他三位小數都是一個個0.001累加起來的。

【思考】借助前面學習活動的經驗，學生進一步理解三位小數就順理成章。學生通過類比推理，自然得出三位小數的意義。

三、解決問題，深化理解

1.填一填。

分數有：

小數有：

2.找一找：你們能在數軸上找到0.7 m、0.07 m和0.007 m嗎？請標出來。

（學生嘗試完成后，匯報交流）

師：你們是怎么找到這三個小數的？你們認為學習小數有什么作用？

生：有時量物體的長度，不能得到整數的結果，就需要用小數來表示。

師：你們能找到1.3 m嗎？

生：先找到1 m，在1 m的后面找到0.3 m，就是1.3 m。

生：把1 m和2 m之間平均分成10份，把其中的3份和1 m合起來就是1.3 m。

【思考】第1題要求學生通過一維的線段、二維的正方形、三維的正方體等素材，分別用一位小數、兩位小數、三位小數來表示，豐富了學生的感性認識。同時再一次將十進制分數與小數進行聯結，夯實學生對小數意義的理解。第2題要求學生在數軸上表示數，通過找一找、說一說、比一比等活動，感受小數大小，培養學生的數感。

四、反思拓展，延伸問題

師：通過今天這節課的學習，你們有哪些收獲？

生：我知道了一位小數就是十分之幾，兩位小數就是百分之幾，三位小數就是千分之幾。我還知道一位小數中0.1最重要，兩位小數中0.01最重要，三位小數中0.001最重要……

師：之前，我們學習整數時，知道整數的計數單位有個、十、百……還知道整數相鄰的兩個計數單位之間的進率是10。今天我們又認識了一位小數、兩位小數、三位小數，它們的計數單位分別是——

生：0.1、0.01、0.001。

師：這些小數相鄰的計數單位之間的進率是多少？為什么？

生：它們的進率也是10。因為把1平均分成10份，每一份就是0.1;把0.1平均分成10份，每一份就是0.01;把0.01平均分成10份，每一份就是0.001。

師：我國使用小數的歷史非常悠久。（播放微課，介紹我國古代十進制計數法、小數的研究情況）對于小數，你們還有哪些問題？

生：怎么計算小數的加減乘除？

生：為什么有了分數，還要學習小數呢？

師：真好，我們解決了一些問題，又產生了新的問題，帶著問題我們繼續思考。

【思考】學習始于問題，終于問題。一節課的結束不代表學習的終結，教師應繼續激活學生的思維，引發新的問題，讓學生產生進一步學習和思考的需求。

本課用正方形作為思維表象的載體，通過前后三次平均分，直觀呈現一位、兩位、三位小數形成的過程。學生在認識小數的過程中，體會小數即十進制分數，把握概念本質，理解概念內涵。

1.逆向設計，表征概念本質。小數意義的教學可以順向思維設計，讓學生根據圖示寫分數和小數，進而發現分數和小數的聯系。這樣教學就會十分順暢，學生很少出現錯誤。然而數學學習不能僅憑會和不會來簡單判斷，教師應了解學生的理解程度，在此基礎上展開教學才更有效。順向設計容易遮掩學生對知識的理解水平，更多地停留在考查學生模仿、記憶的淺層次思維。逆向設計讓學生畫圖來表示小數，學生通過圖像表征、語言表征、符號表征等表示小數意義，指向概念本質，促進分析、應用、創造等高階思維的發展。

2.對比分析，理解概念本質。本課教學重點是抽象一位小數和兩位小數的意義，進而推理三位小數的意義。抽象是以分析比較為基礎的，沒有對比就不能發現概念的特征。學生用不同的方法表示出0.4、0.43，進行比較：畫法不同，為什么表示的意義相同？學生表示完0.4、0.6、0.9后，進行求同比較：你們發現一位小數表示什么？表示出0.43、0.63、0.99后，同樣進行比較，你們發現兩位小數表示什么？教師引導學生對作品進行比較，讓學生進一步理解只要平均分成10份、100份……其中的幾份就是零點幾、零點幾幾……讓學生在不斷的對比中，將經驗化理解、形式化理解上升為結構化理解，概括小數意義，理解概念本質。

3.對話思辨，追問概念本質。保羅·弗萊雷說：“只有通過交流，人的生活才具有意義。只有通過學生思考的真實性，才能證實教師思考的真實性。教師不能替學生思考，也不能把自己的思考強加給學生。真正的思考，是對現實的思考，不是發生在孤立的象牙塔中，而只有通過交流才能產生。”通過畫圖表示0.4和0.43，學生的作品準確地反映出學生的理解水平，有錯誤的、模糊的、清晰的。教師不斷追問，這樣表示對嗎？它們有什么不同，有什么相同？每一個學生積極思考，通過師生對話、生生對話，關聯不同的想法，進而讓不同層次的學生得到發展，思維得以提升。以表征促理解，用對話活思維，叩問概念本質，實現從知識輸入到思維產出的跨越。

（作者單位：廣東省東莞松山湖中心小學）

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