分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用策略

徐偉東（江蘇省蘇州高新區(qū)通安中學(xué)校）

隨著教育改革的不斷深化，數(shù)學(xué)思想也在隨之發(fā)生深刻的變化。分類討論思想作為其中較為常用的一種，直接關(guān)乎著學(xué)生數(shù)學(xué)解題的準(zhǔn)確率。因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)該注重將分類討論思想有效運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)之中。

一、分類討論思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想是在長時間實(shí)踐與生活中總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)，不僅是與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)等科學(xué)意識反應(yīng)，而且也是人類思維活動的獨(dú)特智慧。只有掌握正確合理的數(shù)學(xué)思想才能提高解題效率和準(zhǔn)確率。分類討論思想是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想，目的是在幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識框架體系，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。分類討論思想屬于一種邏輯劃分思想，主張?jiān)跀?shù)學(xué)解題過程中，化整為零然后再積零為整的教學(xué)方式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有效應(yīng)用分類討論思想，能夠更好地揭示出數(shù)學(xué)問題內(nèi)在規(guī)律，這對于學(xué)生有效掌握數(shù)學(xué)知識、提高數(shù)學(xué)解題效率具有十分重要的意義。為此，教師在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，一定要自覺注重分類討論思想的運(yùn)用。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用原則

為了充分發(fā)揮分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的有效性，教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中要按照同

一性、相稱性原則展開教學(xué)。首先，在運(yùn)用之前需要先對討論對象進(jìn)行明確。只有基于明顯的討論對象，有效開展分類討論工作，才能真正優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)；而在分類的時候，其標(biāo)準(zhǔn)也最好是能夠維持統(tǒng)一性。其次，在分類討論思想運(yùn)用的過程中，應(yīng)該堅(jiān)持多層次原則、互斥性原則。所謂多層次原則，是指在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，可能會出現(xiàn)多次分類的情況；所謂互斥性原則，主要是指在具體分類的時候，各子項(xiàng)最好相互排斥，兩個子項(xiàng)之間最好沒有交集。因此，在實(shí)際運(yùn)用分類討論思想時，應(yīng)當(dāng)針對不同的數(shù)學(xué)問題，具體分析、合理運(yùn)用。

三、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用

結(jié)合教學(xué)實(shí)際合理運(yùn)用分類討論思想開展解題教學(xué)，有利于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解和感悟，有助于拓展學(xué)生解題思路及思維，從而提高初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果。

（一）分類討論思想在方程解題教學(xué)中的運(yùn)用

方程教學(xué)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)教學(xué)必不可少的部分，是初中生必學(xué)內(nèi)容之一。我們在常見的應(yīng)用題、深奧的相對論方程題目之中均可見其身影。從初中生方程問題的解題情況來看，部分學(xué)生經(jīng)常會被變幻多樣的方程搞得不知所措，從而無法保證解題的準(zhǔn)確性。針對這一現(xiàn)象，教師可以在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想來進(jìn)行優(yōu)化教學(xué)。具體而言，就是在教學(xué)期間對一些較為常見的方程問題進(jìn)行分類，然后基于此來討論與總結(jié)相應(yīng)的解題技巧，這樣就能有效提高學(xué)生對于方程解題思想的感悟，最大程度發(fā)揮出分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用效果。例如，教師在進(jìn)行“一元二次方程”解題教學(xué)時，即可在解題教學(xué)之前，提問學(xué)生之前學(xué)習(xí)過的方程，然后將一元一次方程、一元二次方程解題方法進(jìn)行分類總結(jié)，然后列舉相應(yīng)的實(shí)例來引導(dǎo)學(xué)生分類討論，這樣就能讓學(xué)生在有效思維碰撞及交流互動中掌握方程解題技巧，從而真正發(fā)揮出分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用效果。

（二）分類討論思想在函數(shù)解題教學(xué)中的運(yùn)用

在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，函數(shù)問題也是較為常見的一種問題。涉及到的內(nèi)容有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等。同時，函數(shù)題型作為考試常見題型，也是初中生數(shù)學(xué)解題中的重難點(diǎn)。教師在教學(xué)過程中，同樣可以將分類討論思想運(yùn)用于函數(shù)解題教學(xué)中。我們以“求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)”為例，題目中的條件并不唯一，在問題中也并沒說明是什么樣的函數(shù)。教師在解題教學(xué)過程中，即可運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生對其中的一次函數(shù)、二次函數(shù)來展開分類討論，這樣就能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同角度思考問題，有效點(diǎn)燃學(xué)生思維火花，讓學(xué)生在分類討論、交流探討、思維碰撞過程中形成新的解題思路，從而切實(shí)提高初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的效果。

（三）分類討論思想在幾何解題教學(xué)中的運(yùn)用

幾何問題也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的常見題型。教師在進(jìn)行幾何解題教學(xué)時，同樣也可以運(yùn)用分類討論思想來優(yōu)化教學(xué)。比如，在判定直線與圓的位置關(guān)系時，可以按照圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系，將其劃分為直線與圓的相離、相交、相切三種關(guān)系。從某些方面講，這就是分類討論思想在數(shù)學(xué)幾何中的實(shí)際運(yùn)用。由此可見，在初中數(shù)學(xué)幾何解題教學(xué)過程中，教師可以運(yùn)用分類討論思想來引導(dǎo)學(xué)生思考，這對于學(xué)生幾何解題能力提升十分重要。以“已知一個直角三角形兩邊長分別為6、8，求第三邊長”這一幾何問題為例，教師可以結(jié)合這一問題來提出如下問題情境：“已知直角三角形的兩條邊規(guī)定其是什么邊了嗎？是斜邊還是直角邊？”借由這一問題情境來有效引導(dǎo)學(xué)生分類討論，這樣就能讓學(xué)生在分類討論中對這一幾何問題解題思路形成有效感知，從而優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

（四）分類討論思想在有理數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有理數(shù)解題教學(xué)同樣也是必不可少的部分。教師同樣也可以在有理數(shù)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行教學(xué)。如，在有理數(shù)教學(xué)課堂上，教師可以為學(xué)生設(shè)計(jì)這樣的問題：“請?jiān)囍鴮Ρ萣與1/2b的大小”，考慮到這里的b是一個未知數(shù)，說明b可以是一個任意的有理數(shù)，教師在解題教學(xué)課堂上即可要求學(xué)生對b進(jìn)行分類討論，即當(dāng)b＞0的時候，b與1/2b均是負(fù)數(shù)，這個時候1/2b自然也＞b；而當(dāng)b=0的時候，b=1/2b-0……這樣就能真正提高學(xué)生解題思維，有效利用分類討論思想來優(yōu)化初中有理數(shù)數(shù)學(xué)解題教學(xué)。

（五）分類討論思想在代數(shù)解題教學(xué)中的運(yùn)用

代數(shù)問題同樣也是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的常見題型，相較于其他知識點(diǎn)而言，代數(shù)知識具有較強(qiáng)的邏輯性以及嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生要想準(zhǔn)確解決代數(shù)相關(guān)問題，不僅需要具備較好的邏輯推理能力，同時還要具備良好的綜合思維能力。為此，傳統(tǒng)模式下的初中代數(shù)解題教學(xué)效果并不理想，為了改善這一問題，教師可以在解題教學(xué)過程中運(yùn)用分類討論思想來引導(dǎo)學(xué)生分析與思考。以“一個公司決定購買5臺機(jī)器用于生產(chǎn)活塞，希望借此來擴(kuò)大經(jīng)營。目前有兩種機(jī)器可以選擇，每臺機(jī)器價格分別為50000美元和40000美元，相應(yīng)的日產(chǎn)能力分別是80個、50個活塞，購買這一批機(jī)器的預(yù)算為22萬；假設(shè)公司要購買5臺日產(chǎn)能力不少于280，可以選擇哪種方式？”為例，教師對于該問題即可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，進(jìn)行全面分析。通過這種方式，可以提高解題的完整性。