以學生為中心的偏微分方程課程設計

陳 輝

（浙江科技學院，浙江 杭州 310023）

0 引言

偏微分方程是現代數學的一個重要分支，在微分幾何，連續介質力學和量子力學等學科中有著重要的應用。例如，最優輸運問題相關的Monge-Amp re方程，流體力學中的Navier-Stokes方程組和Euler方程組，刻畫電磁場變化的Maxwell方程，描述物理系統的量子態隨時間演化的Schr dinger方程，廣義相對論中確定引力場的Einstein方程等等。

偏微分方程的起源最早可以追溯到18世紀，當時歐拉，伯努利和達朗貝爾等圍繞著樂器中的弦振動問題展開了大討論。特別是在1746年，達朗貝爾引入了偏導數的概念作為對弦振動的數學描述，這促成了偏微分方程的誕生。從19世紀開始，隨著對不斷涌現的數學物理問題的深入研究，偏微分方程這門學科也有了蓬勃發展。現如今，偏微分方程的應用范圍已經遠遠超出了傳統的自然科學領域。在經濟與金融，環境污染與治理，材料工程等社會科學和工程技術中有大量應用偏微分方程來解決所遇到問題的實例。

本科生的偏微分方程是理工科專業重要的基礎課程，主要講述傳輸方程和三個經典的二階方程：波動方程，熱傳導方程和調和方程的物理背景、定解條件和求解的方法。通過教學，使學生掌握偏微分方程的基本概念，理解有關數學物理方程建模的基本思想和邏輯推理過程，掌握常用偏微分方程定解問題求解方法，為學生日后從事解決較復雜的數學物理問題研究以及應用型科研工作奠定基礎。

但是偏微分方程課程的教學往往有諸多困難。以本校為例，我在理學院開設的偏微分方程課程的選修課，常常是數學專業的學生能堅持到最后的不多，而且留下來的學生成績也不好。從學生反饋的情況來分析，在教學過程中存在著諸多突出的問題：課程理論基礎多，應用實例少；課時與課程內容不匹配；學生基礎參差不齊，這些都給教師的教和學生的學帶來了一定的困難。

1 現狀和教學改革措施

推動本科高校向應用型轉變是教育領域人才供給側結構性改革的重要內容。《國民經濟和社會發展第十三個五年規劃綱要》明確提出推動具備條件的普通本科高校向應用型轉變；《國家職業教育改革實施方案》進一步提出“一大批普通本科高等學校向應用型轉變”的發展目標。2019年，浙江省提出在鼓勵試點的基礎上，爭取用5年時間，推動更多本科院校加強應用型建設，培養產業轉型升級和公共服務發展急需的高素質應用型人才。本校是浙江省應用型建設試點示范學校，也在積極開展應用性科學研究和科技創新，努力把應用學科優勢和科學研究與技術創新成果及時轉化為人才培養優勢。

但是我們也看到，因為一些客觀原因，我們的生源質量不如雙一流高校，學科建設也存在一些缺陷。而且當代中國社會內卷嚴重，畢業生就業困難。因此我們的學生更加青睞于注重課程的實用性。我們在應建工學院要求而開設的面向高年級學生的偏微分方程課程的教學過程中尤其感受到了這一點。這對偏微分方程課程的教學是巨大的挑戰，但也為課程的建設和改革指明了方向。

1.1 教材和教學內容的改革

偏微分方程是一個邏輯嚴密的系統學科。但是國內流行的教材往往會過于注重理論體系的建立，內容編寫深奧晦澀，對背景知識和偏微分方程的應用很少在教材中體現，教材所附習題也是基礎的數學運算題，強調的是數學技巧而基本不涉及實際問題。這對我們學校工科專業的學生，學習成本較高，難以真正地將偏微分方程工具融入實際學科領域。由此，我們在教學過程中嘗試一些調整，秉承以學生為中心的思想重新整理了教學方案，取得了一定的教學效果。

（1）對于傳輸方程，我們講線性和擬線性方程的特征線方法和爆破點判定。

（2）對于波動方程，我們講一維波動方程的達朗貝爾方法和初邊值問題的分離變量方法。對分離變量法的物理意義，比如駐波和共振的內容，要做充分的展開。由于高維波動方程解的推導非常細致和煩瑣，學生不一定能在課堂上消化。所以，我們舍去這部分內容，在課外制作視頻講解高維方程解，讓同學們自習。

（3）對于熱傳導方程，我們把利用Fourier變換求解柯西問題和利用分離變量法求解初邊值問題作為重點來講解。對于Sturm-Liouville特征問題，我們可以做一個簡化精練的介紹，并且制作視頻，讓感興趣的同學們自習研究。

（4）對于調和方程，我們講泊松公式，并簡單介紹下格林函數，把調和函數的性質這一小部分內容舍去。

（5）對于一般二階線性偏微分方程，我們簡單講下利用特征理論，對二階線性方程的分類。

1.2 增加知識的應用案例，降低學生的學習成本

我們在上課時要避免枯燥乏味的復述課本的內容，否則容易引起學生的反感；要培養學生的學習興趣和求知欲，鼓勵學生在學習過程中提出問題，提高學生學習的積極性和主動性。將傳統的以教師為中心的課堂教學模式轉變為以學生為主體的教學模式，這樣既可以活躍課堂氣氛又能充分提高學生的學習效率。

具體的，在推導一階/二階方程的定解問題時，我們可以以身邊常見物理現象的簡化模型為例，從而引起學生的興趣，增加課程的親和力。在課程期間，可以布置一個小組作業。比如引入貝塞爾函數、勒讓德函數等工程應用上常用的特殊函數，然后請學生完成對這些特殊函數性質的描述和刻畫；或者偏微分方程模型在物理、力學等學科中的具體實例，比如交通擁堵，新冠病毒傳播和控制等問題。如果學生參與度高，后續可以去申請大學生科技創新項目，提升實踐能力和創新能力，比如浙江省大學生新苗人才計劃等。

1.3 增強過程管理，考核評價方式多元化

由于教學學時非常有限，除了精心設計我們的課堂教學，也要留給學生看書和琢磨的余地，以提高學生獨立思考和自主學習的能力。所以，我們會在課后留一些作業，使得學生能夠熟練掌握相應模塊的知識。與高等數學，線性代數那種基礎大課相比，偏微分方程課程選修的學生數量一般不多，我們有充足的時間批改作業和答疑。從2020年突發公共衛生事件后，我們普遍采用和適應新的作業提交方式：學生完成作業后，在QQ課程群上在線提交和修訂。上交的作業一般在一天內就能批改完，并且自動返還學生。作業有問題的也可以及時雙向溝通。與傳統紙質作業相比，這大大縮短了學生提交作業到收到反饋的時間。另外，平時我們也通過微信、QQ跟學生互動和答疑，幫助學生培養合理的學習習慣和學習方法。

在考核方面，除以基本要求為主的期末考試外，我們鼓勵學生總結學習成果，積極參加課堂討論和小組作業。平時成績根據學生平時表現和答疑情況等給出，和期末成績折合的方式計入總評成績。這也是督促學生重視平時學習積累的一個有效的措施。

1.4 建立課程的在線學習資源

為了幫助學生課后學習，我們用視頻錄制/剪輯軟件Cam tasia錄制了一些短視頻，主要是課程的重要章節或者課程的補充內容。我們把視頻資料放在受當代大學生歡迎的主流的流媒體網站，比如嗶哩嗶哩（B站）上，讓學生充分利用碎片化的時間來學習。這里我們利用 Cam tasia錄制的網課視頻，主要是基于三點考慮。一是覺得這樣更能拉近與學生的距離，創建良好互動溝通氛圍；二是方便我們根據實際教學情況，及時修改和調整內容；三是為了節省課程建設人力和物力成本。等課程建設更加成熟和完善時，我們將適時推動下一步的課程在線資源建設。

2 結語

00后這一代大學生的認知風格和思維方式發生了重大的變化。我們的教學要適應時代的變化和發展，積極實踐教學改革和創新，這樣才能有效地提升教學質量，促進學生知識水平以及綜合能力的提高，才能滿足時代對人才的需求。偏微分方程課程的教學除了培養學生的基本數學概念和計算方法外，更重要的是培養他們運用數學思維解決實際問題的能力。特別是在應用型大學建設新形勢下，偏微分方程改革應該秉承以學生為中心的理念，探索符合學校定位和學科發展的實際情況。我們在這里提出了一些教學改革思考，也會在后續的教學工作中不斷改進完善，使得偏微分方程這門課程的教學可以取得更好的效果，讓學生學有所得，學有所成。