平面2 自由度對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的傳動性能研究

吳澤啟，張玥玥

（1.唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 唐山 063299；2.國網(wǎng)冀北電力有限公司唐山供電公司，河北 唐山 063000）

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究現(xiàn)狀

現(xiàn)有的機(jī)械結(jié)構(gòu)可以從結(jié)構(gòu)上分為串聯(lián)式和并聯(lián)式。相比于串聯(lián)式，并聯(lián)機(jī)構(gòu)更善于運(yùn)動/力的傳遞。并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)較為簡單，分析也已經(jīng)比較成熟，應(yīng)用較為廣泛。其中，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)除了經(jīng)濟(jì)性較高的優(yōu)點(diǎn)外，還兼有結(jié)構(gòu)清楚，易于控制等優(yōu)點(diǎn)。并聯(lián)領(lǐng)域中，自由度最少的2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是最為實(shí)用的機(jī)構(gòu)。

2 平面2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動空間分析

2.1 工作空間的定義

機(jī)構(gòu)的工作空間是其工作區(qū)域，是指參考點(diǎn)所能夠到達(dá)的所有點(diǎn)的集合，是衡量機(jī)構(gòu)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個主要弱點(diǎn)是工作空間相對小。

2.2 PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析

PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖如圖1 所示，圖中D1和D2表示兩個驅(qū)動副，兩驅(qū)動桿的交匯點(diǎn)是P 點(diǎn)，作為輸出參考點(diǎn)。建立固定參考坐標(biāo)系O-xy，有D1P=D2P=L。

圖1 平面PRRRP 對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)

P 點(diǎn)所能到達(dá)的所有點(diǎn)的集合，即為PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。

我們看到在該機(jī)構(gòu)中只有一個幾何參數(shù)即L，為了方便計算，可消除機(jī)構(gòu)尺寸的物理屬性，令桿長的無量綱尺寸為1[1-2]。

PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形包括圖2 所示的2 種形式，即兩桿件PD1和PD2在同一條直線上的位形。

圖2 平面PRRRP 對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形

3 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力傳遞性能

3.1 傳動角的概念

傳動角是我們非常熟悉的一個概念。對于如圖3 所示的四桿機(jī)構(gòu)而言，如果O1A 是輸入桿，輸出桿BO2上的力是通過連接桿AB 傳遞的。對于一個給定的力，傳遞AB 和輸出桿BO2的夾角μ 是90°的時候，傳遞到O2點(diǎn)的力最大。我們把ABO2也就是圖中所示的夾角μ 定義為傳動角。

圖3 平面四桿機(jī)構(gòu)

如果傳動角遠(yuǎn)大于或遠(yuǎn)小于90°，輸出桿上的扭矩就會減小以至于不足以能夠克服系統(tǒng)的摩擦力。因此，傳動角不能過大或過小，即|90°-μ|不能太大，否則會影響機(jī)構(gòu)的力傳遞性能。

當(dāng)輸入桿O1A 和聯(lián)接桿AB 之間的夾角即γ 是0°或180°時（如圖3 虛線所示），輸出點(diǎn)將失去一個自由度。因此。|90°-γ|也不能夠太大。在本論文中，將μ 定義為正傳動角，γ 定義為逆?zhèn)鲃咏恰?/p>

3.2 LTI（局部傳遞性能指標(biāo)）的定義

機(jī)構(gòu)的靈巧度，可以描述一個并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿與奇異位形的接近程度，這里定義一個指標(biāo)LTI（局部傳遞性能指標(biāo)）[3]。

遵循[3]對傳遞性能指標(biāo)的定義，基于傳動角的指標(biāo)定義如下：

通過式（1）和式（2）能夠得知，χ 值越大，傳動角越接近90°，這意味著此時機(jī)構(gòu)的運(yùn)動/傳遞性能越好。指標(biāo)χ 在本文中就是局部傳遞性能指標(biāo)LTI（局部傳遞性能指標(biāo)）。

為了使機(jī)構(gòu)有更高的速度和運(yùn)動/力傳遞性能，傳動角的范圍一般選取在（45°，135°）的范圍之內(nèi)。能夠看出，在LTI 的限制范圍內(nèi)，傳動角μ 和γ 不會到達(dá)0°和180°，能有效地避開奇異位形。

3.3 最優(yōu)力傳遞工作空間的定義

通過LTI 的最小值，也就是sin（π/4），能夠?yàn)闄C(jī)構(gòu)確定一個工作空間，我們把這個相應(yīng)的工作空間定義為最優(yōu)力傳遞工作空間[4]，它是機(jī)構(gòu)的LTI 大于sin（π/4）情況下所有位姿的集合，在這個工作空間內(nèi)，機(jī)構(gòu)具有較好的運(yùn)動/力傳遞性能。

關(guān)于PRRRP 機(jī)構(gòu)正、逆?zhèn)鲃咏堑亩x如圖1 所示，從圖中可以看出，兩桿長相等，即PD1=PD2=L，因此γ1=γ2。由該機(jī)構(gòu)的逆向運(yùn)動學(xué)方程可求得：

3.4 全局傳遞性能指標(biāo)

一般來說，機(jī)構(gòu)執(zhí)行任務(wù)是在一個特定的工作空間而不是單個點(diǎn)。在實(shí)際設(shè)計中，應(yīng)該在一個連續(xù)的工作空間內(nèi)判斷機(jī)構(gòu)的好壞。為了能夠在機(jī)構(gòu)的最優(yōu)工作空間內(nèi)評價其運(yùn)動/力傳遞性能，本文定義了全局傳遞性能指標(biāo)如下：

式中W 代表最優(yōu)力傳遞工作空間，n 為傳動角的數(shù)目，并且有Γmin<Γ<1（Γmin等于sin（π/4））。可以看出，全局傳遞性能指標(biāo)與坐標(biāo)軸也是獨(dú)立的。

PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全局傳遞性能指標(biāo)值由定義可以計算出：

4 平面PRRRP 對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

從PRRRP 的運(yùn)動學(xué)分析可知，該機(jī)構(gòu)桿長的無量綱尺寸為1。最優(yōu)力傳遞工作空間值為Wy-GTW=0.2168，全局傳遞性能指標(biāo)值為Γ=0.8485。

用一款可視化軟件，制作了PRRRP 機(jī)構(gòu)的輔助優(yōu)化設(shè)計軟件。

通過該軟件，PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化界面如圖4 所示，該界面中包含有該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡圖，使用者能夠直觀地看到各傳動角的定義情況。

圖4 PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計界面

首先給定預(yù)期工作空間的大小，這里假設(shè)給定工作空間大小為x×y=3 mm×10 mm，點(diǎn)“確定”后得到實(shí)際桿長L＝46.13 mm。滑塊D1的輸入范圍為D1∈（2.65 mm，47. 62 mm），由對稱性得到D2的輸入范圍為D2∈（-47.62 mm，-2.65 mm）。點(diǎn)“運(yùn)動仿真”按鈕觀看其運(yùn)動仿真效果如圖5 所示。

圖5 中矩形以內(nèi)區(qū)域即為期望工作空間。導(dǎo)軌上豎線所在的位置表示滑塊所能到達(dá)的最大及最小值位置。同樣，仿真過程中3 個傳動角γ1，γ2和μ 的值以及滑塊位置的橫坐標(biāo)值隨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動實(shí)時變化。仿真過程中可以改變桿件顏色和機(jī)構(gòu)運(yùn)行速度，完成仿真后可打開仿真對應(yīng)的結(jié)果數(shù)據(jù)。值得注意的是，該機(jī)構(gòu)沿x 方向的運(yùn)動是任意的。

圖5 PRRRP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動仿真界面

5 結(jié)論

本文以PRRRP 對稱型平面2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，首先對其進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)分析，然后利用傳動角的概念，提出了一種評價平面2 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)力傳遞性能的度量指標(biāo)，并討論基于該指標(biāo)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，最后開發(fā)出了相應(yīng)的計算機(jī)輔助優(yōu)化設(shè)計軟件。