基于最小二乘法模型的FAST 反射面形狀調節問題研究

羅忠旭，秦小華，陳 旭

（新疆農業大學，新疆 烏魯木齊 830000）

1 問題重述

射電天文學對天體物理研究的多個領域做出了巨大貢獻，引起越來越多天文學家的重視，世界各國都在努力突破毫米波射電望遠鏡的技術困難，以建造更大的高精度的天線和實現對較短波段的觀測[1]。“中國天眼”是一架500 m 口徑球面射電望遠鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，縮寫FAST），是目前世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠鏡[2]。主動變形反射面是FAST 主要創新點之一，中國天文界公認整體索網支撐是作為大射電望遠鏡（FAST）主動反射面的最佳支撐結構[3]。其工作原理是通過下拉索與促動器的配合來完成基準球面到工作拋物面的轉換，使被觀測體發出的電磁波經反射后聚集在饋源艙處。工作拋物面隨著物體的移動而不斷變化，形成一個動態的“照明區域”，實現動態接收。天線對于射電望遠鏡來說，主要是把微弱的宇宙射電輻射信號收集起來，傳送到接收機中去。收集到的信號越強烈，得到的訊息也就越豐富[4]。因此，調節成拋物面是主動反射面技術的關鍵。

根據主動反射面技術建立數學模型和算法解決如下問題。

問題：關于反映觀測天體S 的方位角度α，仰角β 分別等于0°和90°，即被觀測天體位于基準球面正上方時，確定理想拋物面。如圖1 所示。

圖1 天體S 方位角與仰角示意圖

2 問題分析

對于問題，當方位角α、仰角β 分別等于0°和90°時，確定理想的拋物面，建立了以下3 種模型。模型1：理想拋物面的頂點與基準態球面的最低點重合；模型2：理想拋物面的頂點與基準態球面的最低點不重合時，但是理想拋物面的口徑端點在基準態球面上；模型3，理想拋物面的一般情況。

3 模型假設

（1）基準態下，所有主索節點均位于基準球面上。

（2）認為反射面板是無孔的。

（3）電磁波信號及反射信號均視為直線傳播。

（4）三角形反射面板面積相等且是均質的。

4 符號說明

表1 符號說明

5 模型的建立與求解

5.1 問題模型的建立與求解

模型1：

由圖2 可知，F=0.466R=139.986 4 m，p=2F=279.6 m，R 為基準態球面的半徑。

圖2 模型1 示意圖

可以確定一個理想拋物面，其母線方程，即zOx 坐標面的拋物線方程：

將數據代入方程（2），可得理想拋物面方程：

模型2：當理想拋物面的頂點與基準態球面的最低點不重合，但口徑端點落在基準態球面上時，如圖3 所示。

圖3 模型2 示意圖

設理想拋物面的母線，即zOx 坐標面的拋物線的方程：

由幾何關系可求得該拋物線與基準態球面的一個交點，將這點坐標，和已知條件R、F 代入拋物線方程中，可求解p，從而求出此拋物線方程，將該拋物線繞z 軸旋轉得理想拋物面。流程圖如圖4 所示。

圖4 模型2 計算流程圖

如圖3 所示，在△CMN 中，

下面將利用“FAST 基準態的2 226 個主索節點空間位置坐標”，基于最小二乘法原理，通過建立和求解優化模型，計算得出方程（8）中的參數d1，從而確定最終的理想拋物面方程。

通過分析照明區域的口徑長度范圍，在照明范圍內的主索節點滿足x2+y2≤1502條件。通過Excel 設置條件語句，篩選出滿足的706 個節點，即照明范圍內共有706個主索節點。但是由于python 軟件的技術限制，無法同時對706 個節點進行數據分析，通過系統抽樣法，按照5∶1 比例，簡化程序的運算量，篩選得到118 個最有代表性的節點，進行分析計算參數。

首先做如下假設：

設（xi，yi，zi）來表示初始狀態第i 個主索節點坐標，其中i 表示“附件1”的從上往下第i 個節點。用（xi′，yi′，zi′）來表示（xi，yi，zi）對應的FAST 在工作狀態的各個主索節點坐標。di為由點（xi，yi，zi）變化到點（xi′，yi′，zi′）時，對應的徑向伸縮量，即基準態主索節點到最終的工作態主索節點之間的距離，且伸縮范圍為-0.6～0.6 m。

現在，對基準態第i 個主索節點，其坐標為（xi，yi，zi），將其單位化為

所以（xi′，yi′，zi′）與（xi，yi，zi）的坐標關系：

再根據所篩選出來的118 個主索節點，定義118 個徑向伸縮變量di（i=1，2，...118），基于最小二乘法原理，設目標方程：

當|di|≤0.6 時，在這個約束條件下，聯立所有方程組，從而就得到了目標函數Drt，其自變量為di（經篩選存于“照明區域主索節點坐標.xlsx”，i 為1 到118）。然后，用python 求這個多元函數最小值，從而找到最優的工作拋物面。

5.2 模型的優點

模型的優點在于，問題中的模型3 里考慮了706 個變量的影響，把拋物面全部的點都考慮進去了，讓求出的理想拋物面更加精確。基于這些節點坐標數據，建立了基于最小二乘法的優化模型，得到了相對于模型1 和模型2，更加精確的理想拋物面方程。