基于對偶四元數移動機械臂運動學建模與控制

陳良港 ，張 方，張建光，蔣 祺，朱 偉

（1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016；2.昆山華恒焊接股份有限公司，江蘇 昆山 215300）

移動機械臂由可移動底座和機械臂組成，兼具了移動底座的移動性和機械臂的靈活性，由于這些優勢移動機械臂在許多方面都有應用，例如倉儲物流、汽車裝配等。然而移動機械臂的高冗余度和靈活性使得運動控制問題變得復雜，其運動學建模與控制可分為2 種基本方法。一些研究學者認為移動底座和機械臂是2 個獨立的子系統，該方法側重于解耦2 個子系統的控制，這使得無法使用一個控制器控制系統。其他研究者則將移動底座和機械臂視為一個系統，考慮它們之間的動態影響。由于本文的任務要求機械手和底座同時工作，故本文采用后一種方法。

在運動控制背景下，移動機械臂的協調控制通常忽略移動底座與機械臂運動跟蹤精度的差異，并且不考慮機械臂的關節極限。單位對偶四元數相比于齊次變換矩陣更加緊湊，計算效率更高，已經被用于機器人運動學建模和位姿控制。本文針對冗余移動機械臂，采用單位對偶四元數來進行運動學建模，并由對偶四元數微分求得微分運動方程。通過閉環算法來進行運動學控制，在不影響主任務的前提下，使關節變量盡可能接近關節極限范圍的中點。

1數學基礎

1.1 四元數

1.2 對偶四元數

2 移動機械臂運動學模型

本文所采用的非完整移動機械臂模型由差速驅動底座和六軸機器人組成，如圖1 所示。

圖1 移動機械臂簡化模型

采用MD-H 參數法建立六軸機器人的運動學模型，圖2 為所有關節角為零位時連桿坐標系的分布情況，由圖2 得MD-H 參數見表1。

圖2 六軸機器人簡化圖和坐標分布

表1 六軸機器人MD-H 參數

圖3 差速驅動底座簡化示意圖

3 移動機械臂微分運動學

對任意的關節位形，末端執行器速度與關節速度之間是線性相關的，可以通過雅可比矩陣建立起二者的映射關系。空間雅可比建立末端執行器空間運動旋量與關節速度之間的映射關系。

將式（19）對時間求導：

4 移動機械臂運動學控制

4.1 微分逆運動學方程

對于冗余系統，從末端執行器任務空間速度到廣義速度映射不唯一，式（31）的通解為：

式中，qiM（qim）表示關節極限的最大（最小）值，qˉci表示關節范圍的中值。

4.2 閉環算法

假定任務空間軌跡與速度，根據末端執行器速度由式（32）得到廣義速度，基于歐拉前向積分法，給定積分時間間隔△t，將速度對時間的積分離散化：

5 仿真及結果分析

為驗證上述算法，仿真程序在Python 平臺完成，仿真所使用六軸機器人的關節角限位見表2。

圖4 閉環逆運動學算法框圖

表2 關節角度限位

設定末端執行器軌跡表達式為：

圖5 表示運動過程中移動底座位置、轉向角和機械臂關節角隨時間的變化，可以看出末端執行器做曲線線運動時，移動底座在移動平面y 方向運動距離非常小，并且機械臂關節變量趨近于關節范圍中值的同時變化平穩。

圖5 移動機械臂廣義坐標變化圖

圖6 表示基于反饋修正后末端執行器位置誤差與四元數表示的姿態誤差變化圖，可以看出在使用基于反饋修正項的閉環逆運動學算法后，誤差在減小并且在數量級上非常小，在實際應用過程中，這將大大減少運動過程中的誤差。

圖6 基于反饋修正的末端執行器位姿誤差圖

6 結論

本文通過單位對偶四元數來建立冗余移動機械臂的運動學模型，并由對偶四元數微分推導出末端執行器任務空間速度間的映射關系，相比于傳統方法通過齊次變換矩陣來推導更加便捷，無需單獨考慮機械臂與移動底座間的速度傳遞關系。提出在給定始末姿態的末端執行器軌跡規劃的方法，通過閉環逆運動學來跟蹤軌跡。通過驗證算法有效性，可以看出采用閉環算法后，位置和姿態誤差減小顯著，并且各關節角在運動過程中軌跡平滑，都趨向于關節范圍中值。